相似三角形综合大题305解析.docx
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相似三角形综合大题305解析
相似三角形综合大题(30)5
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一.解答题(共30小题)
1.(2013•香坊区二模)在△ABC中,H为BC边上一点,连接AH,且∠BAH=∠BCA,∠ABC的角分线分别交AH、AC于D、E两点,过点D作DF∥BC交于点F.
(1)如图1,求证:
AD=FC;
(2)如图2,若BD=BH,且AE=2EF,作BM⊥DH,垂足为M,BM的延长线交AC于点G,请探究线段DF与CG之间的数量关系,并证明你的结论.
2.(2013•模拟)如图,正方形ABCD中,AB=4,点P是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连接PB,作∠BPE=45°.
(1)求证:
当PC=AB时,PA=EC;
(2)当点P是AC上任意点时,设PA=x,BE=y,求y与x的函数关系式;
(3)是否存在D,P,E三点在同一直线的情况?
如果存在,求此时BP+PE的值;如果不存在,说明理由.
3.(2013•梅列区模拟)已知:
∠DBC=∠ACB,BC=2AC,BD=BC,CD、AB交于点E.
(1)如图①,当∠ACB=90°时,求出线段DE、CE之间的数量关系;
(2)如图②,当∠ACB=120°时,求证:
DE=3CE;
(3)如图③,在
(2)的条件下,F是BC边的中点,连接DF交AB于点G,若CE=2,求DF的长.
4.(2013•模拟)已知等边△ABC边AB上一动点P,连PC,在PC上方作等边△PDC,连AD.
(1)如图1,求证:
AD∥BC;
(2)如图2,若AP=2BP,过P点作PF⊥CD,交AC于E,交CD于F,AC与PD相交于N点,求证:
PN=2DN;
(3)在
(2)中,若CD=3,求PE的长.
5.(2013•区一模)在Rt△ABC中,∠A=90°,D、E分别为AB、AC上的点.
(1)如图1,CE=AB,BD=AE,过点C作CF∥EB,且CF=EB,连接DF交EB于点G,连接BF,请你直接写出的值;
(2)如图2,CE=kAB,BD=kAE,,求k的值.
6.(2013•浦东新区一模)如图,已知在△ABC中,∠A=90°,,经过这个三角形重心的直线DE∥BC,分别交边AB、AC于点D和点E,P是线段DE上的一个动点,过点P分别做PM⊥BC,PF⊥AB,PG⊥AC,垂足分别为点M、F、G.设BM=x,四边形AFPG的面积为y.
(1)求PM的长;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)连接MF、MG,当△PMF与△PMG相似时,求BM的长.
7.(2013•香坊区三模)在四边形ABCD中,点E是CD上一点,BC2=CE•CD,连接BD.
(1)如图1,若BD=DE,求证:
2∠CBD﹣∠BDC=180°;
(2)如图2,在
(1)的条件下,过点A作BC的平行线交BD于点N,交CD于点G,将射线BC沿BE翻折交CD于点F,连接AF交BD于点H,若∠DAN=∠ABD,AD=BE,请探究线段AH与BH之间的数量关系,并证明你的结论.
8.(2013•道里区三模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在CA延长线上,DE⊥CE,CE=CB,DF平分∠EDC交AB于点F,连接DF.
(1)∠EFD=90°+;
(2)设DF的延长线交BC于点G,连接FC,若FG:
DF=3:
2,请你探究线段CF与线段AF之间的数量关系,并证明你的结论.
9.(2013•新洲区模拟)等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是斜边AB上一点,以CD为直角边作等腰Rt△CDE,其中∠DCE=90°,CD=CE,直线BC、DE交于点F.
(1)如图1,若CD=DF,求证:
AD=(﹣1)BD;
(2)如图2,若BD=2AD,判断DF与EF之间的数量关系,并证明;
(3)如图3,当点D在BA的延长线上时,若AB=kAD,则DF= EF.(用含k的式子表示)
10.(2013•镇赉县校级一模)已知点C、A、D在同一条直线上,∠ABC=∠ADE=α,线段BD、CE交于点M.
(1)如图1,若AB=AC,AD=AE.
①问线段BD与CE有怎样的数量关系?
并说明理由;
②求∠BMC的大小(用α表示);
(2)如图2,若AB=BC=kAC,AD=ED=kAE,则线段BD与CE又有怎样的数量关系?
并说明理由;∠BMC= (用α表示).
11.(2013春•盐都区期末)如图①,将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中,已知OA=5,OC=4,BC∥OA,BC=3,点E在OA上,且OE=1,连接OB、BE.
(1)求证:
∠OBC=∠ABE;
(2)如图②,过点B作BD⊥x轴于D,点P在直线BD上运动,连接PC、PE、PA和CE.
①当△PCE的周长最短时,求点P的坐标;
②如果点P在x轴上方,且满足S△CEP:
S△ABP=2:
1,求DP的长.
12.(2013春•期末)如图1,直角三角形ABC中,∠ABC=90°,E是边BC上一点,EM⊥AE,EM交边AC于点M,BG⊥AC,垂足为G,BG交AE于点H.
(1)求证:
△ABH∽△ECM;
(2)如图2,其它条件不变的情况下,作CF垂直BC于点C,并与EM延长线交于点F,若E是BC中点,BC=2AB,试判四边形ABCF的形状,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若AB=2,求AH的长.
13.(2012秋•西岗区期末)已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,
(1)如图1,P为AB边上的一动点,连接PD并延长到点E,使得DE=PD,以PE,PC为边作平行四边形PEFC
①平行四边形PEFC能否为矩形?
若能,求出此时AP的长;若不能,说明理由.
②线段FP能否垂直于AB?
若能,求出此时AP的长;若不能,说明理由.
(2)如图2,若P为CD边上一动点,连接PA并延长到点E,使得AE=nPA,以PE、PB为边作平行四边形PEFB,线段PF能否垂直于CD?
若能,求出此时PD的长(用含n的代数式表示);若不能,说明理由.
14.(2013秋•青羊区校级期中)等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1).
(1)求证:
AM=AN;
(2)设BP=x.①若BM=,求x的值;
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值围;
③如图2,当x取何值时,∠BAD=15°?
15.(2013秋•兰溪市校级期中)将一块足够大的三角形板,其直角顶点放在点A(3,2),两直角边分别交x轴、y轴于点B,C.设B(t,0).
(1)如图1,当t=3时,求线段BC的长;
(2)如图2,点B,C分别在x轴,y轴的正半轴上,设△BOC的面积为S,试求S关于t的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)取BC的中点D,过点D作y轴的垂线与直线AC交于点E,△CDE能否成为等腰三角形?
若能,请求出点B的坐标;若不能,请说明理由.
16.(2013春•惠山区期中)如图1,在同一平面,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n
(1)请在图1中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对证明它们相似;
(2)根据图1,求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值围;
(3)以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图2).旋转△AFG,使得BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD2+CE2=DE2;
(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
17.(2013春•亭湖区校级期中)
(1)如图1,把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合.可知:
△BPE∽△CEQ(不需说理)
(2)如图2,在
(1)的条件下,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点E旋转,让三角板两边分别与线段BA的延长线、边AC的相交于点P、Q,连接PQ.
①若BC=4,设BP=x,CQ=y,则y与x的函数关系式为 ;
②写出图中能用字母表示的相似三角形 ;
③试判断∠BPE与∠EPQ的大小关系?
并说明理由.
(3)如图3,在
(2)的条件下,将三角板ABC改为等腰三角形,且AB=AC,三角板DEF改为一般三角形,其它条件不变,要使
(2)中的结论③成立,猜想∠BAC与∠DEF关系为 .(将结论直接填在横线上)
(4)如图3,在
(1)的条件下,将三角板ABC改为等腰三角形,且∠BAC=120°,AB=AC,三角板DEF改为∠DEF=30°直角三角形,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点E旋转,让三角板两边分别与线段BA的延长线、边AC的相交于点P、Q,连接PQ.若S△PEQ=2,PQ=2,求点C到AB的距离.
18.(2013秋•丘县校级期中)有两个全等的等腰直角△ABC、△DEF,∠BAC=∠EDF=90°,AB=AC=DE=DF=2.将△DEF的顶点E放在BC上移动(E与B、C不重合),在E点移动过程中,始终保持DE经过点A,EF交BC于点G.当E为BC的中点时,如图①,易证△ABE∽△ECG.
(1)当E不是BC的中点时,如图②,△ABE∽△ECG还成立吗?
请说明理由
(2)在图②中,如果BE=1,求CG的长;
(3)在E点移动过程中,CG的长也在变化,请直接写出CG的最大值.
19.(2012•)在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1)当点P与点C重合时(如图1).求证:
△BOG≌△POE;
(2)通过观察、测量、猜想:
= ,并结合图2证明你的猜想;
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图3),若∠ACB=α,求的值.(用含α的式子表示)
20.(2012•)如图,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中点,点E是线段AB上一动点,连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.
(1)如图1,求证:
AE=DF;
(2)如图2,若AB=2,过点M作MG⊥EF交线段BC于点G,判断△GEF的形状,并说明理由;
(3)如图3,若AB=,过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G.
①直接写出线段AE长度的取值围;
②判断△GEF的形状,并说明理由.
21.(2012•)等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1).
(1)求证:
AM=AN;
(2)设BP=x.
①若BM=,求x的值;
②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值;
③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H(如图2).当x为何值时,∠BAD=15°?
此时,以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由.
22.(2012•)
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D.求证:
AB2=AD•AC;
(2)如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为BC边上的点,BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F.,求的值;
(3)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合),直线BE⊥AD于点E,交直线AC于点F.若,请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表示),不必证明.
23.(2012•)已知:
在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN.
(1)如图1,求证:
PC=AN;
(2)如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,∠DKE=∠ABC,EF⊥PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:
CF=2:
3,求DQ的长.
24.(2012•)如图所示,直线y=与x轴相交于点A(4,0),与y轴相交于点B,将△AOB沿着y轴折叠,使点A落在x轴上,点A的对应点为点C.
(1)求点C的坐标;
(2)设点P为线段CA上的一个动点,点P与点A、C不重合,连接PB,以点P为端点作射线PM交AB于点M,使∠BPM=∠BAC
①求证:
△PBC∽△MPA;
②是否存在点P使△PBM为直角三角形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
25.(2012•枣阳市模拟)如图
(1),长方形纸片ABCD的边长AB=2AD,将它沿EF折叠(点E,F分别在边AB,CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD相交于点P,连接EP,设,其中0<n<1.
(1)当n=,即M为AD的中点时,如图
(2),求证:
EP=AE+DP;
(2)随着n的变化,的值是否发生变化?
说明理由.
26.(2012•新区二模)在图形的全等变换中,有旋转变换,翻折(轴对称)变换和平移变换.一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.
(1)第一小组的同学发现,在如图1﹣1的矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到,请你写出这种变换的过程 .
(2)第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:
对折、展平,得折痕EF(如图2﹣1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B′处(如图2﹣2),这样能得到∠B′GC的大小,你知道∠B′GC的大小是多少吗?
请写出求解过程.
(3)第三小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3﹣1的方式剪下△ABC,其中BA=BC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图3﹣2.已知AH=AI,AC长为a,现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形,已知这个新三角形面积小于15,请你帮助该小组求出a可能的最大整数值.
(4)探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:
如图4﹣1,已知AA′=BB′=CC′=2,∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°,请利用图形变换探究S△AOB′+S△BOC′+S△COA′与的大小关系.
27.(2012•宝安区二模)如图1,已知矩形ABCD中,,O是矩形ABCD的中心,过点O作OE⊥AB于E,作OF⊥BC于F,得矩形BEOF.
(1)线段AE与CF的数量关系是 ,直线AE与CF的位置关系是 ;
(2)固定矩形ABCD,将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图2的位置,连接AE、CF.那么
(1)中的结论是否依然成立?
请说明理由;
(3)若AB=8,当矩形BEOF旋转至点O在CF上时(如图3),设OE与BC交于点P,求PC的长.
28.(2012•金牛区二模)在矩形纸片ABCD中,AD=12cm,现将这纸片按下列图示方式折叠,AE是折痕.
(1)如图1,P,Q分别为AD,BC的中点,点D的对应点F在PQ上,求PF和AE的长;
(2)①如图2,DP=AD,CQ=BC,点D的对应点F在PQ上,求AE的长;
②如图3,DP=AD,CQ=BC,点D的对应点F在PQ上.直接写出AE的长(用含n的代数式表示).
29.(2012•简阳市模拟)如图,在△ABC中,点E、D是AB、AC上两点,满足ED∥BC,ED=2,BC=4,点M时ED的中点,△MBC是等边三角形.
(1)求证:
△ABC是等腰三角形.
(2)动点P、Q分别在线段BC、MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式.当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.
30.(2012•二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CP平分∠ACB,CP与AB交于点D,且PA=PB.
(1)请你过点P分别向AC、BC作垂线,垂足分别为点E、F,并判断四边形PECF的形状;
(2)求证:
△PAB为等腰直角三角形;
(3)设PA=m,PC=n,试用m、n的代数式表示△ABC的周长;
(4)试探索当边AC、BC的长度变化时,的值是否发生变化,若不变,请直接写出这个不变的值,若变化,试说明理由.
相似三角形综合大题(30)5
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.(2013•香坊区二模)在△ABC中,H为BC边上一点,连接AH,且∠BAH=∠BCA,∠ABC的角分线分别交AH、AC于D、E两点,过点D作DF∥BC交于点F.
(1)如图1,求证:
AD=FC;
(2)如图2,若BD=BH,且AE=2EF,作BM⊥DH,垂足为M,BM的延长线交AC于点G,请探究线段DF与CG之间的数量关系,并证明你的结论.
考点:
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分析:
(1)过D作DP∥AC交BC于点P,∵DP∥AC,DF∥BC根据平行四边形性质得出FC=DP,∠C=∠DPH,求出∠DPH=∠ABD,证△ABD≌△PBD,推出AD=DP即可;
(2)求出AD=AE,证△FDE∽△FAD,推出DF2=EF•AF,,设AE=2a,EF=a,求出DF=a,DE=a,根据DF∥BC得出,,求出BC=3a,BD=a,延长DF交BG延长线于点Q,求出BD=DQ=a,QF=a,证△FGQ∽△CGB求出GC=a,即可得出答案.
解答:
证明:
(1)过D作DP∥AC交BC于点P,
∵DP∥AC,DF∥BC,
∴四边形FDPC是平行四边形,
∴FC=DP,∠C=∠DPH,
∵∠BAH=∠C,
∴∠DPH=∠ABD,
∵在△ABD与△PBD中
∴△ABD≌△PBD(AAS),
∴AD=DP,
∵DP=FC.
(2)DF=GC,
证明:
∵BD=BH,
∴∠BDH=∠BHD,
∵∠BDH=∠ABD+∠BAD,∠BEA=∠EBC+∠BCA,∠ABD=∠EBC,∠BAD=∠BCA,
∴∠AED=∠BDH=∠BHD=∠ADE,∠ABD=∠HAC=∠DBH,
∴AD=AE,
∵DF∥BC,
∴∠EDF=∠EBC=∠DAE,
∵∠DFE=∠DFE,
∴△FDE∽△FAD,
∴DF2=EF•AF,,
设AE=2a,EF=a,
∴AD=FC=2a,DF2=a•(2a+a)=3a2
∴DF=a,
∴=
∴DE=a,
∵DF∥BC,
∴,,
∴=,=,
∴BC=3a,BD=a,
延长DF交BG延长线于点Q,
∴∠Q=∠QBC=∠QBD,
∴BD=DQ=a,
∴QF=DQ﹣DF=a﹣a=a,
∵∠BGC=∠FGQ,
∴△FGQ∽△CGB,
∴,
∴=,
∴GC=a,
∴==
∴DF=GC.
点评:
本题考查了平行四边形的性质和判定,三角形外角性质,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,本题综合性比较强,难度偏大.
2.(2013•模拟)如图,正方形ABCD中,AB=4,点P是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连接PB,作∠BPE=45°.
(1)求证:
当PC=AB时,PA=EC;
(2)当点P是AC上任意点时,设PA=x,BE=y,求y与x的函数关系式;
(3)是否存在D,P,E三点在同一直线的情况?
如果存在,求此时BP+PE的值;如果不存在,说明理由.
考点:
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分析:
(1)通过证明△ABP≌△CPE(AAS)可以证得PA=EC;
(2)首先根据勾股定理求得AC=4;然后通过“两角法”证得△ABP∽△CPE,则该相似三角形的对应边成比例:
=,把相关线段的长度代入比例式并整理得到y=x2﹣x+4(0<x<4);
(3)存在D,P,E三点在同一直线的情况.
如图2,易证△ABP≌△ADP(SAS),则对应边、对应角相等:
BP=DP,∠3=∠4.由∠1=∠7=45°、三角形角和定理及平角的定义求得∠5=∠3,所以AB=AP=4.再利用
(2)中的关系式得到:
BE=y=8﹣4,EC=4﹣BE=4﹣4,由BP=DP得到:
BP+PE===4.
解答:
(1)证明:
如图1,在正方形ABCD中,∠1=45°,
∠6=45°.
∵∠4=∠1=45°,
∴∠1+∠2+∠3=∠3+∠4+∠5=180°,
∴∠2=∠5,
在△ABP与△CPE中,
,
∴△ABP≌△CPE(ASA),
∴PA=EC;
(2)如图1,当点P是AC上任意一点时.
∵AB=BC=4,
∴AC=4,
∴PC=4﹣x,EC=4﹣y,
∵由
(1)知,∠1=∠6,∠2=∠5,
∴△ABP∽△CPE,
∴=,即=,
则y=x2﹣x+4,即y与x的函数关系式是:
y=x2﹣x+4(0<x<4);
(3)存在D,P,E三点在同一直线的情况.
如图2,在△ABP与△ADP中,
,
∴△ABP≌△ADP(SAS),
∴BP=DP,∠3=∠4.
∵∠1=∠7=45°,
∴∠1+∠3+∠5=∠4+∠3+∠7=180°,
∴∠5=∠4,
∴∠5=∠3,
∴AB=AP=4.
由
(2)知,BE=y=x2﹣x+4=×16﹣×4+4=8﹣4,
EC=4﹣BE=4﹣4,
由BP=DP得到:
BP+PE=DE===4.
点评:
本题综合考查了全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,三角形角和定理等知识点.难度较大,解题时,注意找准全等三角形的对应边和对应角.
3.(2013•梅列区模拟)已知:
∠DBC=∠ACB,BC=2AC,BD=BC,CD、AB交于点E.
(1)如图①,当∠ACB=90°时,求出线段DE、CE之间的数量关系;
(2)如图②,当∠ACB=120°时,求证:
DE=3CE;
(3)如图③,在
(2)的条件下,F是BC边的中点,连接DF交AB于点G,若CE=2,求DF的长.
考点:
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专题:
综合题.
分析:
(1)由∠DBC=∠ACB=90°,利用同旁角互补得到DB与AC平行,由平行得到两对错角相等,进而确定出三角形DBE与三角形ACE相似,由相似得比例,根据BC=BD=2AC,求出相似比,求出DE与EC之比,即可确定出DE与CE的数量关系;
(2)过B作BM⊥DC,交DC于点M,由三角形DBC为顶角为120°的等腰三角形,得到DM=DC,∠D=∠DCB=30°,在直角三角形BDM中,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到DB=2BM,即BC=2BM,由BC=2AC,得到BM=AC,再由一对直角相等,一对对顶角相等,利用AAS得到三角形BME与三角形ACE全等,利用全等三角形的对应边相等得到ME=CE=MC=DC,即可得证;
(3)延长CB,过D作DN⊥CN,过M作BM⊥DC,交DC于点M,由
(2)的结论求出DE的长,进而求出DC的长,在直角三角形DCN中,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DN的长,在直角三角形BDN中,利用外角性质求出∠DBN=60°,求出∠BDN=30°,利用30度角所对的直角边
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