第5章平行线与相交线解答专项练习三学年七年级人教版下册.docx
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第5章平行线与相交线解答专项练习三学年七年级人教版下册
2020-2021学年七年级人教版下册第5章平行线与相交线
总复习之解答专项练习(三)
1.如图,AE平分∠BAC,∠CAE=∠CEA.
(1)如图1,求证:
AB∥CD;
(2)如图2,点F为线段AC上一点,连接EF,求证:
∠BAF+∠AFE+∠DEF=360°;
(3)如图3,在
(2)的条件下,在射线AB上取点G,连接EG,使得∠GEF=∠C,当∠AEF=35°,∠GED=2∠GEF时,求∠C的度数.
2.已知:
如图,∠DAE=∠E,∠B=∠D.直线AD与BE平行吗?
直线AB与DC平行吗?
说明理由(请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由).
解:
直线AD与BE平行,直线AB与DC .
理由如下:
∵∠DAE=∠E,(已知)
∴ ∥ ,(内错角相等,两条直线平行)
∴∠D=∠DCE.(两条直线平行,内错角相等)
又∵∠B=∠D,(已知)
∴∠B= ,(等量代换)
∴ ∥ .(同位角相等,两条直线平行)
3.已知点A在射线CE上,∠BDA=∠C.
(1)如图1,若AC∥BD,求证:
AD∥BC;
(2)如图2,若BD⊥BC,请证明∠DAE+2∠C=90°;
(3)如图3,在
(2)的条件下,∠BAC=∠BAD,过点D作DF∥BC交射线CE于点F,当∠DFE=8∠DAE时,求∠BAD的度数.(直接写出结果)
4.如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,
(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?
加以证明;
(2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数.
5.完成下列推理,并填写完理由.
已知,如图,∠BAE+∠AED=180°,∠M=∠N,试说明:
∠1=∠2.
解:
∵∠BAE+∠AED=180°(已知)
∴ ∥ ( )
∴∠BAE= 又∵∠M=∠N(已知)
∴ ∥ ( )
∴∠NAE= ( )
∴∠BAE﹣∠NAE= ﹣ ( )
即∠1=∠2
6.如图,已知,AB∥PF,∠FPB=∠C,∠FED=30°,∠AGF=80°,FH平分∠EFG.
(1)证明:
AB∥CD;
(2)求∠PFH的度数.
7.已知:
直线GH分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,并且EM∥FN.
(1)如图1,求证:
AB∥CD;
(2)如图2,∠AEF=2∠CFN,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个角,使写出的每个角的度数都为135°.
8.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别在边BC、AB、AC上,且DF∥AB,∠1=∠A,试说明DE∥AC的理由.
解:
因为DF∥AB( ),
所以∠1+ =180°( ).
因为∠1=∠A(已知),
所以∠A+ =180°( ).
所以DE∥AC( ).
9.如图,AC∥EF,∠1+∠3=180°.
(1)AF与CD是否平行?
请说明理由;
(2)若AC平分∠FAB,AC⊥EB于点C,∠4=78°,求∠BCD的度数.
10.已知BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠BED=∠ABE+∠EDC.
(1)如图1,求证:
AB∥CD;
(2)如图2,若∠ABE=3∠ABF,且∠BFD=30°时,试求
的值;
(3)如图3,若H是直线CD上一动点(不与D重合),BI平分∠HBD,画出图形,并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系.
11.已知,如图①,点D,E,F,G是△ABC三边上的点,且FG∥AC,
(1)若∠EDC=∠FGC,试判断DE与BC是否平行,并说明理由.
(2)如图②,点M、N分别在边AC、BC上,且MN∥AB,连接GM,若∠A=60°,∠C=55°,∠FGM=4∠MGC,求∠GMN的度数.
(3)点M、N分别在射线AC、BC上,且MN∥AB,连接GM.若∠A=α,∠ACB=β,∠FGM=n∠MGC,直接写出∠GMN的度数(用含α,β,n的代数式表示)
12.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,
(1)证明:
EF∥AB.
(2)试判断∠AED与∠C的大小关系,并说明你的理由.
13.完成下列的推理说明.
如图,已知直线EF分别交直线AB、CD与点M、N,AB∥CD,MG平分∠EMB,NH平分∠END.
求证:
MG∥NH.
证明:
∵AB∥CD(已知).
∴∠EMB=∠END( ).
∵MG平分∠EMB,NH平分∠END(已知).
∴ , ( ).
∴∠EMG=∠ENH( ).
∴MG∥NH( ).
14.已知:
如图,∠1=∠2,∠B=∠C.
(1)求证AB∥CD;
(2)若∠A=30°,求∠D的度数.
15.三角形ABC中,D是AB上一点,DE∥BC交AC于点E,点F是线段DE延长线上一点,连接FC,∠BCF+∠ADE=180°.
(1)如图1,求证:
CF∥AB;
(2)如图2,连接BE,若∠ABE=40°,∠ACF=60°,求∠BEC的度数;
(3)如图3,在
(2)的条件下,点G是线段FC延长线上一点,若∠EBC:
∠ECB=7:
13,BE平分∠ABG,求∠CBG的度数.
参考答案
1.
(1)证明:
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE,
∵∠CAE=∠CEA,
∴∠CEA=∠BAE,
∴AB∥CD;
(2)证明:
过F作FM∥AB,如图,
∵AB∥CD,
∴AB∥FM∥CD,
∴∠BAF+∠AFM=180°,∠DEF+∠EFM=180°,
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM=360°,
即∠BAF+∠AFE+∠DEF=360°;
(3)解:
设∠GEF=∠C=x°,
∵∠GEF=∠C,∠GED=2∠GEF,
∴∠GED=2x°,
∵AB∥CD,
∴∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°﹣x°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=
BAC=
(180°﹣x°)=90°﹣
x°,
由
(1)知:
AB∥CD,
∴∠BAE+∠AED=180°,
∵∠AEF=35°,
∴90﹣
x+x﹣35+2x=180,
解得:
x=50,
即∠C=50°.
2.解:
直线AD与BE平行,直线AB与DC平行.
理由如下:
∵∠DAE=∠E,(已知)
∴AD∥BE,(内错角相等,两条直线平行)
∴∠D=∠DCE.(两条直线平行,内错角相等)
又∵∠B=∠D,(已知)
∴∠B=∠DCE,(等量代换)
∴AB∥DC.(同位角相等,两条直线平行)
3.
(1)证明:
∵AC∥BD,
∴∠DAE=∠BDA,
∵∠BDA=∠C,
∴∠DAE=∠C,
∴AD∥BC;
(2)证明:
如图2,设CE与BD相交于点G,∠BGA=∠BDA+DAE,
∵BD⊥BC,
∴∠BGA+∠C=90°,
∴∠BDA+∠DAE+∠C=90°,
∵∠BDA=∠C,
∴∠DAE+2∠C=90°;
(3)如图3,设∠DAE=α,则∠DFE=8α,
∵∠DFE+∠AFD=180°,
∴∠AFD=180°﹣8α,
∵DF∥BC,
∴∠C=∠AFD=180°﹣8α,
又∵2∠C+∠DAE=90°,
∴2(180°﹣8α)+α=90°,
∴α=18°,
∴∠C=180°﹣8α=36°=∠ADB,
又∵∠C=∠BDA,∠BAC=∠BAD,
∴∠ABC=∠ABD=
∠CBD=45°,
△ABD中,∠BAD=180°﹣45°﹣36°=99°.
答:
∠BAD的度数是99°.
4.解:
(1)EF和AB的关系为平行关系.理由如下:
∵CD∥AB,∠DCB=70°,
∴∠DCB=∠ABC=70°,
∵∠CBF=20°,
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=50°,
∵∠EFB=130°,
∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°,
∴EF∥AB;
(2)∵EF∥AB,CD∥AB,
∴EF∥CD,
∵∠CEF=70°,
∴∠ECD=110°,
∵∠DCB=70°,
∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB,
∴∠ACB=40°.
5.解:
∵∠BAE+∠AED=180°(已知),
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠BAE=∠AEC,又∵∠M=∠N(已知),
∴AN∥EM(内错角相等,两直线平行),
∴∠NAE=∠MEA(两直线平行,内错角相等),
∴∠BAE﹣∠NAE=∠CEA﹣∠MEA(等量减等量,差相等),
即∠1=∠2.
故答案为:
AB,CD,同旁内角互补,两直线平行;∠AEC;AN,EM,内错角相等,两直线平行;∠MEA,两直线平行,内错角相等;∠CEA,∠MEA,等量减等量,差相等.
6.
(1)证明:
∵∠FPB=∠C,
∴CD∥PF,
∵AB∥PF,
∴AB∥CD;
(2)解:
∵DC∥FP,∠FED=30°,
∴∠FED=∠EFP=30°,
∵AB∥FP,∠AGF=80°,
∴∠AGF=∠GFP=80°,
∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°,
∵FH平分∠EFG,
∴∠GFH=
∠GFE=55°,
∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25°.
7.
(1)证明:
∵EM∥FN,
∴∠EFN=∠FEM.
∵EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,
∴∠CFE=2∠EFN,∠BEF=2∠FEM.
∴∠CFE=∠BEF.
∴AB∥CD.
(2)∠AEM,∠GEM,∠DFN,∠HFN度数都为135°.理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠AEF+∠CFE=180°,
∵FN平分∠CFE,
∴∠CFE=2∠CFN,
∵∠AEF=2∠CFN,
∴∠AEF=∠CFE=90°,
∴∠CFN=∠EFN=45°,
∴∠DFN=∠HFN=180°﹣45°=135°,
同理:
∠AEM=∠GEM=135°.
∴∠AEM,∠GEM,∠DFN,∠HFN度数都为135°.
8.解:
因为DF∥AB(已知),
所以∠1+∠DEA=180°(两直线平行同旁内角互补).
因为∠1=∠A(已知),
所以∠A+∠DEA=180°(等量代换).
所以DE∥AC(同旁内角互补两直线平行).
故答案为:
已知,∠DEA,两直线平行同旁内角互补,∠DEA,等量代换,同旁内角互补两直线平行.
9.解:
(1)AF∥CD,
理由如下:
∵AC∥EF,
∴∠1+∠2=180°,
又∵∠1+∠3=180°,
∴∠2=∠3,
∴FA∥CD;
(2)∵AC平分∠FAB,
∴∠2=∠CAD,
∵∠2=∠3,
∴∠CAD=∠3,
∵∠4=∠3+∠CAD,
∴∠3=
∠4=
×78°=39°,
∵EF⊥BE,AC∥EF,
∴AC⊥BE,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCD=90°﹣∠3=51°.
10.解:
(1)如图1,延长BE交CD于点C,则∠BED=∠C+∠EDC.
∵∠BED=∠ABE+∠EDC,
∴∠ABE=∠C,
∴AB∥CD;
(2)由
(1)可知,AB∥CD,
∴∠ABD+∠BDC=180°,
∵BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,
∴∠BED=
(∠ABD+∠BDC)=90°,
由∠ABE=3∠ABF,设∠ABF=α,则∠ABE=3α
过F作FG平行于AB,如图2,
则有∠ABF+∠CDF=∠F,
∴∠CDF=30°﹣α
过E作EH平行于AB,则有∠ABE+∠CDE=∠BED,
∴∠CDE=90°﹣3α,∴∠FDE=60°﹣2α
∴
=
=
;
(3)当点H在点D的左侧时,如图3所示,∠BHD=2∠EBI.
理由如下:
∵AB∥CD
∴∠ABH=∠BHD,
∵BE平分∠ABD,BI平分∠HBD,
∴∠ABE=∠EBD,∠HBI=∠IBD
∵∠ABH=∠ABE+∠EBH=∠EBD+∠EBH=2(∠EBH+∠HBI),
∴∠BHD=2∠EBI.
当点H在点D的右侧时,如图4所示,∠EBI=90°﹣
∠BHD.
理由如下:
∵AB∥CD
∴∠GBH=∠BHD,
∵BE平分∠ABD,BI平分∠HBD,
∴∠ABE=∠EBD,∠HBI=∠IBD
∵∠EBI=∠EBD+∠DBI=
∠ABD+
∠DBH=
∠ABH=
(180°﹣∠HBG)
∴∠EBI=90°﹣
∠BHD.
11.解:
(1)DE∥BC,理由如下:
∵FG∥AC,
∴∠FGB=∠C,
∵∠EDC+∠ADE=180°,∠FGC+∠FGB=180°,∠EDC=∠FGC,
∴∠ADE=∠FGB,
∴∠ADE=∠C,
∴DE∥BC;
(2)∵∠A=60°,∠C=55°,
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣60°﹣55°=65°,
∵FG∥AC,
∴∠FGB=∠C=55°,
∵∠FGM=4∠MGC,
∴∠FGM+∠MGC+∠FGB=5∠MGC+55°=180°,
∴∠MGN=25°,
∵MN∥AB,
∴∠MNC=∠B=65°,∠MNC=∠MGN+∠GMN,
∴∠GMN=∠MNC﹣∠MGN=65°﹣25°=40°;
(3)①如图②所示:
∵∠A=α,∠ACB=β,
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣α﹣β,
∵FG∥AC,
∴∠FGB=∠C=β,
∵∠FGM=n∠MGC,
∴∠FGM+∠MGC+∠FGB=(n+1)∠MGC+β=180°,
∴∠MGN=
,
∵MN∥AB,
∴∠MNC=∠B=180°﹣α﹣β,∠MNC=∠MGN+∠GMN,
∴∠GMN=∠MNC﹣∠MGN=180°﹣α﹣β﹣
=
(180°﹣β)﹣α.
②如图③所示:
设∠MGN=x,
则∠GMN=∠GMA+∠NMC=α+180°﹣nx,
∵(n﹣1)x+β=180°,
∴x=
,
∴∠GMN=α+180°﹣nx=α+180°﹣n
=α+
.
12.解:
(1)∵∠1+∠DFE=180°(平角定义),∠1+∠2=180°(已知),
∴∠2=∠DFE,
∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行);
(2)∠AED与∠C相等.
∵EF∥AB,
∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等),
∵∠3=∠B(已知),
∴∠B=∠ADE(等量代换),
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行),
∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等).
13.证明:
∵AB∥CD(已知)
∴∠EMB=∠END(两直线平行,同位角相等)
∵MG平分∠EMB,NH平分∠END(已知),
∴∠EMG=
∠EMB,∠ENH=
∠END(角平分线的定义),
∴∠EMG=∠ENH(等量代换)
∴MG∥NH(同位角相等,两直线平行).
故答案为:
两直线平行,同位角相等;∠EMG=
∠EMB,∠ENH=
∠END;角平分线的定义;等量代换;同位角相等,两直线平行.
14.解:
(1)∵∠1=∠2,∠1=∠FMN,
∴∠2=∠FMN,
∴CF∥BE,
∴∠C=∠BED.
又∵∠B=∠C,
∴∠B=∠BED,
∴AB∥CD.
(2)∵AB∥CD,
∴∠A=∠D.
又∵∠A=30°,
∴∠D=30°.
15.
(1)证明:
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,
∵∠BCF+∠ADE=180°.
∴∠BCF+∠B=180°.
∴CF∥AB;
(2)解:
如图2,过点E作EK∥AB,
∴∠BEK=∠ABE=40°,
∵CF∥AB,
∴CF∥EK,
∴∠CEK=∠ACF=60°,
∴∠BEC=∠BEK+∠CEK=40°+60°=100°;
(3)∵BE平分∠ABG,
∴∠EBG=∠ABE=40°,
∵∠EBC:
∠ECB=7:
13,
∴设∠EBC=7x°,则∠ECB=13x°,
∵DE∥BC,
∴∠DEB=∠EBC=7x°,∠AED=∠ECB=13x°,
∵∠AED+∠DEB+∠BEC=180°,
∴13x+7x+100=180,
解得x=4,
∴∠EBC=7x°=28°,
∵∠EBG=∠EBC+∠CBG,
∴∠CBG=∠EBG﹣∠EBC=40°﹣28°=12°.
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