学年人教版 七年级下册 第5章 《相交线与平行线》 培优训练二.docx
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学年人教版七年级下册第5章《相交线与平行线》培优训练二
2020-2021学年人教版七年级下册第5章
《相交线与平行线》培优训练
(二)
1.完成下面的证明:
如图,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠α+∠β=90°,求证:
AB∥CD.
证明:
∵BE平分∠ABD( )
∴∠ABD=2∠α( )
∵DE平分∠BDC(已知)
∵∠BDC= ( )
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)( )
∵∠α+∠β=90°(已知)
∴∠ABD+∠BDC=180°( )
∴AB∥CD( )
2.已知:
AB∥CD,点E在直线AB上,点F在直线CD上.
(1)如图
(1),∠1=∠2,∠3=∠4.
①若∠4=36°,求∠2的度数;
②试判断EM与FN的位置关系,并说明理由;
(2)如图
(2),EG平分∠MEF,EH平分∠AEM,试探究∠GEH与∠EFD的数量关系,并说明理由.
3.阅读理解,补全证明过程及推理依据.
已知:
如图,点E在直线DF上,点B在直线AC上,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证∠A=∠F
证明:
∵∠1=∠2(已知)
∠2=∠DGF( )
∴∠1=∠DGF(等量代换)
∴ ∥ ( )
∴∠3+∠ =180°( )
又∵∠3=∠4(已知)
∴∠4+∠C=180°(等量代换)
∴ ∥ ( )
∴∠A=∠F( )
4.如图,直线AB,CD相交于O,OE是∠AOD的平分线,∠AOC=28°,求∠AOE的度数.
5.如图,已知l1∥l2,MN分别和直线l1、l2交于点A、B,ME分别和直线l1、l2交于点C、D,点P在MN上(P点与A、B、M三点不重合).
(1)如果点P在A、B两点之间运动时,∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由;
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时,∠α、∠β、∠γ有何数量关系(只须写出结论).
6.如图,已知AB∥CD,EF分别交AB、CD于点E、F,FB是∠EFD的平分线,AF⊥FB,∠AEF=68°.试求∠AFC的度数.
7.如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?
(直接回答成立或不成立)
(3)当动点P落在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
8.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC
(1)如图①,分别作∠BAD与∠BCD的角平分线交BC和AD于点E,F,猜想AE与CF的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,点M是AD上一动点,从点D向点A滑动(不与A、D重合),BA与CM的延长线交于点O,若∠O=α°,分别作∠BAD与∠BCM的角平方线,两条角平分线所在的直线交于点P,请用含α的代数式表示∠APC的大小,并说明理由.
9.【初步感知】
定义:
两条相交直线的夹角的角平分线所在的直线叫做相交线的和谐线.
如图①,直线AB与直线CD相交于点O,l1是∠AOD的角平分线所在的直线,l2是∠AOC的角平分线所在的直线,则l1与l2就是AB、CD的和谐线.
(1)直线AB、CD的两条和谐线的位置关系为 ;
【问题解决】
如图②,已知a∥b,直线c与直线a、b交于点A、B.
(2)直线a、c的和谐线与直线b、c的和谐线有怎样的位置关系,并说明理由.
【延伸推广】
如图③,已知直线c与直线a、b交点A、B,若a、c的夹角为α,直线b、c的夹角为β,α+β≠180°,a、c的和谐线与b、c的和谐线交于点C.
(3)画出图形,直接写出∠ACB的度数.(用含α、β的代数式表示)
10.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行,结合该图,试探究这两个角之间的关系,直接填空.
(1)如图1,AB∥EF,BC∥DE,∠1与∠2关系是 .
(2)如图2,AB∥EF,BC∥DE,∠1与∠2关系是 .
(3)经过上述探究,我们可以发现一个结论是:
.(用文字语言描述)
参考答案
1.证明:
BE平分∠ABD(已知),
∴∠ABD=2∠α(角平分线的定义).
∵DE平分∠BDC(已知),
∴∠BDC=2∠β(角平分线的定义)
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)(等量代换)
∵∠α+∠β=90°(已知),
∴∠ABD+∠BDC=180°(等量代换).
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
故答案为:
已知,角平分线的定义,2∠β,角平分线的定义,等量代换,等量代换,同旁内角互补两直线平行.
2.解:
(1)①∵AB∥CD,
∴∠1=∠3,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠2=∠4=36°;
②位置关系是:
EM∥FN.理由:
由①知,∠1=∠3=∠2=∠4,
∴∠MEF=∠EFN=180°﹣2∠1,
∴∠MEF=∠EFN
∴EM∥FN(内错角相等,两直线平行)
(2)关系是:
∠EFD=2∠GEH.理由:
∵EG平分∠MEF,
∴∠MEG=∠GEH+∠HEF①
∵EH平分∠AEM,
∴∠MEG+∠GEH=∠AEF+∠HEF②
由①②可得:
∴∠AEF=2∠GEH,
∵AB∥CD,
∴∠AEF=∠EFD,
∴∠EFD=2∠GEH.
3.解:
∵∠1=∠2(已知)
∠2=∠DGF(对顶角相等)
∴∠1=∠DGF(等量代换)
∴BD∥CE(同位角相等,两直线平行)
∴∠3+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)
又∵∠3=∠4(已知)
∴∠4+∠C=180°
∴AC∥DF(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等);
故答案为:
对顶角相等;BD;CE;同位角相等,两直线平行;C;两直线平行,同旁内角互补;AC,DF;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等.
4.解:
∵∠AOC+∠AOD=180°,∠AOC=28°,
∴∠AOD=152°.
∵OE平分∠AOD,
∴∠AOE=
∠AOD=76°.
5.解:
(1)如图,过点P做AC的平行线PO,
∵AC∥PO,
∴∠β=∠CPO,
又∵AC∥BD,
∴PO∥BD,
∴∠α=∠DPO
,
∴∠α+∠β=∠γ.
(2)①P在A点左边时,∠α﹣∠β=∠γ;
②P在B点右边时,∠β﹣∠α=∠γ.
(提示:
两小题都过P作AC的平行线).
6.解:
∵AB∥CD,∠AEF=68°,
∴∠EFD=∠AEF=68°,
∵FB是∠EFD的平分线,∴∠BFD=
∠EFD=
×68°=34°,
∵AF⊥FB,
∴∠AFC=90°﹣∠BFD=90°﹣34°=56°.
7.解:
(1)解法一:
如图1延长BP交直线AC于点E.
∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD.
∵∠APB=∠PAE+∠PEA,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD;
解法二:
如图2
过点P作FP∥AC,
∴∠PAC=∠APF.
∵AC∥BD,∴FP∥BD.
∴∠FPB=∠PBD.
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD;
解法三:
如图3,
∵AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD=180°,
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°.
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)不成立.
(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时,结论是:
∠PBD=∠PAC+∠APB.
(b)当动点P在射线BA上,结论是:
∠PBD=∠PAC+∠APB.
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°,
∠PAC=∠PBD(任写一个即可).
(c)当动点P在射线BA的左侧时,
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.
选择(a)证明:
如图4,连接PA,连接PB交AC于M.
∵AC∥BD,
∴∠PMC=∠PBD.
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
选择(b)证明:
如图5
∵点P在射线BA上,∴∠APB=0度.
∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC.
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD.
选择(c)证明:
如图6,连接PA,连接PB交AC于F
∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD.
∵∠PAC=∠APF+∠PFA,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD.
8.解:
(1)结论:
AE∥CF.
理由:
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴∠BAD+∠D=180°,∠BCD=∠D=180°,
∴∠BAD=∠BCD,
∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴∠2=
∠BAD,∠3=
∠BCD,
∴∠2=∠3,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠1=∠2,
∴AE∥CF.
(2)如图②中,当点P在AD的下方时,
作MR平分∠AMO,交PA的延长线于R,设∠BAP=∠DAP=x,∠AMR=∠OMR=y,
则有
,
可得
∠O,
∵AD∥BC,
∵∠AMO=∠BCO,
∵PC平分∠BCO,RM平分∠AMO,
∴∠PCO=
∠BCO,∠RMO=
∠AMO,
∴∠ACO=∠RMO,
∴MR∥CP,
∴∠CPT=∠R=
∠O=
α°,
∴∠APC=180°﹣
α°.
当点P在AD的上方时,备用图2中,同法可得∠APC=∠R=
α°
综上所述,满足条件的∠APC的值为180°﹣
α°或
α°.
9.解:
(1)∵OE平分∠AOD,
∴∠DOE=
∠AOD,
∵OF平分∠BOD,
∴∠DOF=
∠BOD,
∵∠AOD+∠BOD=180°,
∴∠DOE+∠DOF=90°,即l1⊥l2,
故答案为:
互相垂直;
(2)直线a、c的和谐线与直线b、c的和谐线垂直或平行,
理由如下:
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAB=
∠DAB,
∵BC平分∠ABE,
∴∠ABC=
∠ABE,
∵a∥b,
∴∠DAB+∠ABE=180°,
∴∠CAB+∠ABC=90°,
∴∠ACB=90°,
∴n⊥p,
由
(1)可知,m⊥n,
∴n∥p,
综上所述,直线a、c的和谐线与直线b、c的和谐线垂直或平行;
(3)由题意得,∠DAB=180°﹣α,
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAB=
∠DAB=90°﹣
α,
∵BC平分∠ABE,
∴∠ABC=
∠ABE=
β,
∴∠ACB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=90°+
α﹣
β,
∵m⊥n,p⊥q,
∴直线n与p的夹角=180°﹣(90°+
α﹣
β)=90°﹣
α+
β,
直线n与q的夹角=180°﹣90°﹣(90°﹣
α+
β)=
α﹣
β,
直线m与p的夹角=
α﹣
β,
综上所述,∠ACB的度数为90°+
α﹣
β或90°﹣
α+
β或
α﹣
β.
10.解:
∵AB∥EF,
∴∠1=∠3,
∴BC∥DE,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
故答案为:
∠1=∠2;
(2)AB∥EF,
∴∠1=∠4,
∴BC∥DE,
∴∠2+∠4=180°,
∴∠1+∠2=180°,
故答案为:
∠1+∠2=180°;
(3)结论:
如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补,
故答案为:
如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.
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- 相交线与平行线 学年人教版 七年级下册 第5章 相交线与平行线 培优训练二 学年 人教版 年级 下册 相交 平行线 训练