届湖北七市州高三数学三月联考试题文科有解析.docx
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届湖北七市州高三数学三月联考试题文科有解析
2016届湖北七市州高三数学三月联考试题(文科有解析)
2016年湖北省七市(州)高三三月联考数学试卷(科)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.i0的虚部为( )
A.﹣iB.i.﹣lD.l
2.命题“∀x∈[﹣2,+∞),x+3≥l“的否定为( )
A.∃x0[﹣2,+∞),x0+3<1B.∃x0[﹣2,+∞),x0+3≥l
.∀x∈[﹣2,+∞),x+3<1D.∀x∈(﹣∞,﹣2),x+3≥l
3.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时,
小赵说:
我没去过;
小钱说:
小李去过;
小孙说;小钱去过;
小李说:
我没去过.
假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是( )
A.小赵B.小李.小孙D.小钱
4.公比不为1的等比数列{an}满足aa6+a4a7=18,若a1a=9,则的值为( )
A.8B.9.10D.11
.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s=( )A.4B..6D.7
6.《九算术》商功有题:
一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,l尺=10寸,斛为容积单位,l斛≈162立方尺,π≈3),则圆柱底圆周长约为( )
A.l丈3尺B.丈4尺.9丈2尺D.48丈6尺
7.己知直线ax+b﹣6=0(a>0,b>0)被圆x2+2﹣2x﹣4=0截得的弦长为2,则ab的最大值是( )
A.9B..4D.
8.T为常数,定义fT(x)=,若f(x)=x﹣lnx,则f3[f2(e)]的值为.( )
A.e﹣lB.e.3D.e+l
9.设,N是抛物线:
2=2px(p>0)上任意两点,点E的坐标为(﹣λ,0)(λ≥0),若•的最小值为0,则λ=( )
A.0B..pD.2p
10.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是正三角形,则该几何体的体积为( )
A.B.2.3D.4
11.已知集合P={n|n=2﹣1,∈N+,≤0},Q={2,3,},则集合T={x|x∈P,∈Q}中元素的个数为( )
A.147B.140.130D.117
12.设向量=(1,),=(x,),记与的夹角为θ.若对所有满足不等式|x﹣2|≤≤1的x,,都有θ∈(0,),则实数的取值范围是( )
A.(﹣1,+∞)B.(﹣1,0)∪(0,+∞).(1,+∞)D.(﹣1,0)∪(1,+∞)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题分.
13.观察下列等式
l+2+3+…+n=n(n+l);
l+3+6+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2);
1+4+10+…n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3);
可以推测,1++1+…+n(n+1)(n+2)(n+3)= .
14.函数f(x)=3﹣x+x2﹣4的零点个数是 .
1.如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得
塔顶在西偏北20°的方向上,仰角为60°;在点B处测得塔顶在东偏北40°的方
向上,仰角为30°.若A,B两点相距130,则塔的高度D= .16.平面区域A={(x,)|x2+2<4,x,∈R},B={(x,)||x|+||≤3,x,∈R).在A内随机取一点,则该点取自B的概率为 .
三、解答题:
解答应写出字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知函数f(x)=sinx+sx(x∈R).
(Ⅰ)若a∈[0,π]且f(a)=2,求a;
(Ⅱ)先将=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原的倍(纵坐标不变),再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=对称,求θ的最小值.
18.某电子商务公司随机抽取l000名网络购物者进行调查,这1000名购物者201年网上购物金额(单位:
万元)均在区间[03,09]内,样本分组为:
[03,04),[04,0),
[0,06),[06,07),[07,08),[08,09],购物金额的频率分布直方图如下:
电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:
元)与购物金额关系如下:
购物金额分组[03,0)[0,06)[06,08)[08,09]
发放金额010010200
(I)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数;
(Ⅱ)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于10元的概率.19.如图,一个侧棱长为l的直三棱柱AB﹣A1B11容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱A,B,B11,A1l的中点D,E,F,G.
(I)求证:
平面DEFG∥平面ABB1A1;
(Ⅱ)当底面AB水平放置时,求液面的高.20.已知圆心为H的圆x2+2+2x﹣1=0和定点A(1,0),B是圆上任意一点,线段AB的中垂线l和直线BH相交于点,当点B在圆上运动时,点的轨迹记为椭圆,记为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于P,Q和E,F,求的取值范围.
21.设n∈N+,a,b∈R,函数f(x)=+b,己知曲线=f(x)在点(1,0)处的切线方程为=x﹣l.
(I)求a,b;
(Ⅱ)求f(x)的最大值;
(Ⅲ)设>0且≠l,已知函数g(x)=lgx﹣xn至少有一个零点,求的最大值.
请考生在第(22)、(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.[选修4-1:
几何证明选讲]
22.如图,E是圆内两弦AB和D的交点,F为AD延长线上一点,FG切圆于G,且FE=FG.
(I)证明:
FE∥B;
(Ⅱ)若AB⊥D,∠DEF=30°,求.
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系x中,曲线1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,曲线2的极坐标方程为ρ=2as(θ﹣)(a>0).
(I)求直线,与曲线1的交点的极坐标(P,θ)(p≥0,0≤θ<2π).
(Ⅱ)若直线l与2相切,求a的值.
[选修4-:
不等式选讲]
24.设函数f(x)=|x﹣a|,a∈R.
(Ⅰ)若a=1,解不等式f(x)≥(x+l);
(Ⅱ)记函数g(x)=f(x)﹣|x﹣2|的值域为A,若A⊆[1,3],求a的取值范围.
2016年湖北省七市(州)高三三月联考数学试卷(科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12小题,每小题分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.i0的虚部为( )
A.﹣iB.i.﹣lD.l
【考点】虚数单位i及其性质.
【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案.
【解答】解:
i0=(i4)126•i=i,
∴i0的虚部为1.
故选:
D.
2.命题“∀x∈[﹣2,+∞),x+3≥l“的否定为( )
A.∃x0[﹣2,+∞),x0+3<1B.∃x0[﹣2,+∞),x0+3≥l
.∀x∈[﹣2,+∞),x+3<1D.∀x∈(﹣∞,﹣2),x+3≥l
【考点】命题的否定.
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【解答】解:
因为全称命题的否定是特称命题,所以“∀x∈[﹣2,+∞),x+3≥l“的否定为,∃x0[﹣2,+∞),x0+3<1
故选:
A.
3.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时,
小赵说:
我没去过;
小钱说:
小李去过;
小孙说;小钱去过;
小李说:
我没去过.
假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是( )
A.小赵B.小李.小孙D.小钱
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】利用3人说真话,1人说假话,验证即可.
【解答】解:
如果小赵去过长城,则小赵说谎,小钱说谎,不满足题意;
如果小钱去过长城,则小赵说真话,小钱说谎,小孙,小李说真话,满足题意;
故选:
D.
4.公比不为1的等比数列{an}满足aa6+a4a7=18,若a1a=9,则的值为( )
A.8B.9.10D.11
【考点】等比数列的性质.
【分析】由已知结合等比数列的性质可得a1a10=9,又a1a=9,得a1a10=a1a,从而得到=10.
【解答】解:
在等比数列{an}中,由aa6+a4a7=18,得2a1a10=18,
∴a1a10=9,又a1a=9,
∴a1a10=a1a,则=10.
故选:
.
.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s=( )A.4B..6D.7
【考点】程序框图.
【分析】用列举法,通过循环过程直接得出S与n的值,得到n=3时退出循环,即可计算得到s的值.
【解答】解:
由题意,模拟执行程序,可得:
s=1,n=1
n=2,s=﹣3,
满足条n<3,n=3,s=﹣3+(﹣1)4•32=6,
不满足条n<3,退出循环,输出s的值为6.
故选:
.
6.《九算术》商功有题:
一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,l尺=10寸,斛为容积单位,l斛≈162立方尺,π≈3),则圆柱底圆周长约为( )
A.l丈3尺B.丈4尺.9丈2尺D.48丈6尺
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面周长,从而求出圆周的底面周长.
【解答】解:
由题意得,圆柱形谷仓底面半径为r尺,谷仓高h=尺.
于是谷仓的体积V==2000×162.
解得r≈9.
∴圆柱圆的周面周长为2πr≈4尺.
故选B.
7.己知直线ax+b﹣6=0(a>0,b>0)被圆x2+2﹣2x﹣4=0截得的弦长为2,则ab的最大值是( )
A.9B..4D.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】由圆的性质及点到直线的距离公式得圆心(1,2)在直线ax+b﹣6=0上,而a+2b=6,由此利用均值定理能求出ab的最大值.
【解答】解:
∵圆x2+2﹣2x﹣4=0的圆心(1,2),半径r==,
直线ax+b﹣6=0(a>0,b>0)被圆x2+2﹣2x﹣4=0截得的弦长为2,
∴圆心(1,2)在直线ax+b﹣6=0上,
∴a+2b=6,
∵a>0,b>0,
∴2ab≤()2=9,∴ab≤,
∴当且仅当a=2b=3时,ab取最大值.
故选:
B.
8.T为常数,定义fT(x)=,若f(x)=x﹣lnx,则f3[f2(e)]的值为.( )
A.e﹣lB.e.3D.e+l
【考点】函数的值.
【分析】由条先求出f(e),根据fT(x)求出f2(e),再求出f3[f2(e)]的值.
【解答】解:
由题意可得,f(e)=e﹣lne=e﹣1<2,
则f2(e)==2,
又f
(2)=2﹣ln2<2,
所以f3
(2)==3,
即f3[f2(e)]=3,
故选:
.
9.设,N是抛物线:
2=2px(p>0)上任意两点,点E的坐标为(﹣λ,0)(λ≥0),若•的最小值为0,则λ=( )
A.0B..pD.2p
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】利用数量积公式,结合配方法、的最小值为0,即可求出λ.
【解答】解:
设(x1,1),N(x2,2),则
=(x1+λ,1)•(x2+λ,2)=x1x2+λ(x1+x2)+λ2+12=+λ•+λ2﹣p2,
∵的最小值为0,
∴λ=.
故选:
B.
10.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是正三角形,则该几何体的体积为( )
A.B.2.3D.4
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知:
该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥(底面在侧面上)剩下的几何体.
【解答】解:
由三视图可知:
该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥(底面在侧面上)剩下的几何体.
∴该几何体的体积=×22×3﹣
=2.
故选:
B.
11.已知集合P={n|n=2﹣1,∈N+,≤0},Q={2,3,},则集合T={x|x∈P,∈Q}中元素的个数为( )
A.147B.140.130D.117
【考点】元素与集合关系的判断;集合的表示法.
【分析】由题意得到集合P的元素是大于等于1且小于等于99的奇数,逐一与2,3,相乘,除去重复的元素得答案.
【解答】解:
P={n|n=2﹣1,∈N+,≤0}={n|n为大于等于1且小于等于99的奇数},
Q={2,3,},
T={x|x∈P,∈Q},
当x∈P,=2时,x为偶数,有0个;
当x∈P,=3时,x为奇数,有0个;
当x∈P,=时,x为奇数,有0个.
在满足条的奇数中,重复的有:
1,4,7,10,13,16,19,22,2,28共10个.
故集合T={x|x∈P,∈Q}中元素的个数为10﹣10=140.
故选:
B.
12.设向量=(1,),=(x,),记与的夹角为θ.若对所有满足不等式|x﹣2|≤≤1的x,,都有θ∈(0,),则实数的取值范围是( )
A.(﹣1,+∞)B.(﹣1,0)∪(0,+∞).(1,+∞)D.(﹣1,0)∪(1,+∞)
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】画出不等式|x﹣2|≤≤1的可行域:
△PQR及内部,画出直线l:
x+=0,旋转直线l,观察直线在可行域的位置,即可得到所求范围.
【解答】解:
画出不等式|x﹣2|≤≤1的可行域:
△PQR及内部,
画出直线l:
x+=0,当=0时,x>0显然成立;
旋转直线l,当l∥QR,即有直线l的斜率为1,可得=﹣1,
由图象可得>﹣1,
又θ≠0,所以与不能同向,因此>1或<0;
所以的范围是﹣1<<0或>1;
故选:
D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题分.
13.观察下列等式
l+2+3+…+n=n(n+l);
l+3+6+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2);
1+4+10+…n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3);
可以推测,1++1+…+n(n+1)(n+2)(n+3)= n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),(n∈N*) .
【考点】归纳推理.
【分析】根据已知中的等式,分析出第个等式右边系数和因式个数的变化规律,归纳可得答案.
【解答】解:
根据已知中的等式:
l+2+3+…+n=n(n+l);
l+3+6+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2);
1+4+10+…n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3);
归纳可得:
第个等式右边系数的分母是!
,后面依次是从n开始的个连续整数的积,
故1++1+…+n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),(n∈N*)
故答案为:
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),(n∈N*)
14.函数f(x)=3﹣x+x2﹣4的零点个数是 2 .
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】函数f(x)=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为函数=3﹣x与=4﹣x2的图象的交点的个数;从而作图滶解即可.
【解答】解:
函数f(x)=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为方程3﹣x=4﹣x2的解的个数;
即函数=3﹣x与=4﹣x2的图象的交点的个数;
作函数=3﹣x与=4﹣x2的图象如下,
,
故函数=3﹣x与=4﹣x2的图象共有2个交点,
故答案为:
2.
1.如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得
塔顶在西偏北20°的方向上,仰角为60°;在点B处测得塔顶在东偏北40°的方
向上,仰角为30°.若A,B两点相距130,则塔的高度D= 10 .【考点】解三角形的实际应用.
【分析】根据方位角求出∠ADB,利用仰角的正切值得出AD,BD关系,在△ABD中使用余弦定理解出AD,BD,从而得出D.
【解答】解:
作出平面ABD的方位图如图所示:
由题意可知∠AD=20°,∠EAD=40°,设∠ABE=θ,则∠AB=θ,
∴∠DBA+∠DAB=40°﹣θ+20°+θ=60°,∴∠ABD=120°,
设BD=x,AD=,则由余弦定理得AB2=x2+2﹣2xs∠ADB,
即16900=x2+2+x.
在Rt△BD中,∵tan∠BD=,∴D=,
在Rt△AD中,∵tan∠AD=,∴D=.
∴x=3.
解方程组得.
∴D==10.
故答案为:
10.
16.平面区域A={(x,)|x2+2<4,x,∈R},B={(x,)||x|+||≤3,x,∈R).在A内随机取一点,则该点取自B的概率为 .
【考点】几何概型.
【分析】利用几何关系的概率公式求出相应的面积即可得到结论.
【解答】解:
平面区域A={(x,)|x2+2<4,x,∈R},表示为半径为2的圆及其内部,其面积为4π,
B={(x,)||x|+||≤3,x,∈R),表示正方形,其面积为6×6×=18,
∴A内随机取一点,则该点取自B的概率为=
故答案为:
.
三、解答题:
解答应写出字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知函数f(x)=sinx+sx(x∈R).
(Ⅰ)若a∈[0,π]且f(a)=2,求a;
(Ⅱ)先将=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原的倍(纵坐标不变),再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=对称,求θ的最小值.
【考点】函数=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】(Ⅰ)有条阿金利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式,再利用f(a)=2,求得a的值.
(Ⅱ)根据=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,求得θ的最小值.
【解答】解:
(Ⅰ)∵函数f(x)=sinx+sx=2sin(x+),
∵a∈[0,π],∴a+∈[,],∵f(a)=2sin(a+)=2,
∴sin(a+)=,∴a+=,∴a=.
(Ⅱ)先将=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原的倍(纵坐标不变),
得到=2sin(2x+)的图象;
再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到=2sin(2x﹣2θ+)的图象,
再结合得到的图象关于直线x=对称,可得﹣2θ+=π+,
求得θ=﹣,∈Z,故θ的最小值为.
18.某电子商务公司随机抽取l000名网络购物者进行调查,这1000名购物者201年网上购物金额(单位:
万元)均在区间[03,09]内,样本分组为:
[03,04),[04,0),
[0,06),[06,07),[07,08),[08,09],购物金额的频率分布直方图如下:
电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:
元)与购物金额关系如下:
购物金额分组[03,0)[0,06)[06,08)[08,09]
发放金额010010200
(I)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数;
(Ⅱ)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于10元的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.
【分析】(I)列出购物者的购物金额x与获得优惠券金额的频率分布表,计算获得优惠券金额的平均值;
(Ⅱ)由获得优惠券金额与购物金额x的对应关系,计算一个购物者获得优惠券金额不少于10元的概率.
【解答】解:
(I)购物者的购物金额x与获得优惠券金额的频率分布表如下,
x03≤x<00≤x<0606≤x<0808≤x≤09
010010200
频率0403028002
这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为:
×(0×400+100×300+10×280+200×20)=96;
(Ⅱ)由获得优惠券金额与购物金额x的对应关系,有:
P(=10)=P(06≤x<08)=(2+08)×01=028,
P(=200)=P(08≤x≤09)=02×01=002;
所以,一个购物者获得优惠券金额不少于10元的概率为:
P(≥10)=P(=10)+P(=200)=028+002=03.
19.如图,一个侧棱长为l的直三棱柱AB﹣A1B11容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱A,B,B11,A1l的中点D,E,F,G.
(I)求证:
平面DEFG∥平面ABB1A1;
(Ⅱ)当底面AB水平放置时,求液面的高.【考点】点、线、面间的距离计算;平面与平面平行的判定.
【分析】(I)证明DE∥平面ABB1A1,DG∥平面ABB1A1,即可证明:
平面DEFG∥平面ABB1A1;
(Ⅱ)当底面AB水平放置时,水的形状为四棱柱形,由已知条求出水的体积,由于是三棱柱形容器,故水的体积可以用三角形的面积直接表示出,不必求三角形的面积.
【解答】(I)证明:
∵棱A,B的中点D,E,
∴DE∥AB,
∵DE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,
∴DE∥平面ABB1A1,
同理DG∥平面ABB1A1,
∵DE∩DG=D,
∴平面DEFG∥平面ABB1A1;
(Ⅱ)解:
当侧面AA1B1B水平放置时,水的形状为四棱柱形,底面是梯形.
设△AB的面积为S,则S梯形ABFE=S,
V水=S•AA1=Sl.
当底面AB水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面高为h,则有V水=Sh,
∴Sl=Sh,∴h=l.
故当底面AB水平放置时,液面高为l.
20.已知圆心为H的圆x2+2+2x﹣1=0和定点A(1,0),B是圆上任意一点,线段AB的中垂线l和直线BH相交于点,当点B在圆上运动时,点的轨迹记为椭圆,记为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于P,Q和E,F,求的取值范围.
【考点】轨迹方程.
【分析】(Ⅰ)由圆的方程求出圆心坐标和半径,由|A|+|H|=|B|+|H|=|BH|=4可得点的轨迹是以A,H为焦点,4为长轴长的椭圆,则其标准方程可求;
(Ⅱ)利用向量减法法则得=,然后分直线PQ的斜率不存在、直线PQ的斜率为0及直线PQ的斜率存在且不为0时分别求解.当直线PQ的斜率存在且不为0时,设出直线方程,联立直线方程和椭圆方程,利用根与系数的关系结合配方法求得的取值范围.
【解答】解:
(Ⅰ)由x2+2+2x﹣1=0,得(x+1)2+2=42,
∴圆心为H(﹣1,0),半径为4,
连接A,由l是线段AB的中垂线,得|A|=|B|,
∴|A|+|H|=|B|+|H|=|BH|=4,
又|AH|=2<4,
故点的轨迹是以A,H为焦点,4为长轴长的椭圆,其方程为;
(Ⅱ)由直线EF与直线PQ垂直,可得,
于是.
(1)当直线PQ的斜率不存在时,则直线EF的斜率的斜率为0,此时不妨取
P(),Q(),E(2,0),F(﹣2,0),
∴;
(2)当直线PQ的斜率为0时,则直线EF的斜率不存在,同理可得;
(3)当直线PQ的斜率存在且不为0时
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