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相似三角形压轴经典大题解析
1•如图,已知一个三角形纸片ABC,BC边的长为8,BC边上的高为6,B和C都为锐角,M为AB一动点(点M与点AB不重合),过点M作MN//BC,交AC于点N,在△AMN中,设MN的长为x,MN上的高为h•
(1)请你用含x的代数式表示h•
(2)将△AMN沿MN折叠,使△AMN落在四边形BCNM所在平面,设点A落在平面的点为A,
△AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,当x为何值时,y最大,最大值为多少?
【答案】解:
(1)QMN//BC
△AMNABC
hx
68
h3x
4
(2)QAAMNAMN
△A,MN的边MN上的高为h,
1当点A落在四边形BCNM内或BC边上时,
1133
yS—mn=MN-hx•—xx2(0x<4)
2248
2当A落在四边形BCNM外时,如下图(4x8),
设厶A“EF的边EF上的高为h,
3
则h12h63x6
Q△A1MNABC△A,EFABC
Sa仲
A(4,0),B(1,0),C(0,2)三点.
2.如图,抛物线经过
Qy
SaA1MNSaA1EF
x
8
所以
y
92
x
12x
24
8
综上所述:
当0
x<
4时,
当4
x
8时,
y
92
x
取x
16
8
y最大
8
3
Q8
6
12x
24
2
12x24
(4
8)
,取x
y最大6
12x24,
Saabc
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PMx轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与AOAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
1
/口16a4b20,么/口
a
2
得解得
ab20.
一5
2
此抛物线的解析式为y
12
x
5x2
2
2
\X
\
则P点的纵坐标为
1
2m
5
m2,
2
2
当1
m4时,
AM
4m,PM
丄歸2
2
2
又Q
COAPMA
90°
①当誥0°2时,
△APMACO,
15
即4m2m2m2
22
(2)存在.
如图,设P点的横坐标为m,
类似地可求出当m4时,P(5,
2).
将A(4,0),B(1,0)代入,
当1m4时,P(2,1).
当m1时,P(3,14).
28
3.如图,已知直线11:
yx与直线l2:
y2x16相交于点C,l1>l2分别交x轴于A、B两点•矩
33
形DEFG的顶点D、E分别在直线h、J上,顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合.
(1)求△ABC的面积;
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;
(3)
y
若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为
S,求S关于t的函数关系式,并写出相应的
t(0 又•••点E在l2上且yEyD8, 2xE 16 8. Xe 4. •D点坐标为8,8. •E点坐标为4,8. •OE844,EF8. (3)解法一: ①当0 时,为四边形CHFG).过C作CMAB于M,则Rt△RGBsRtACMB. BG BM 2t. 即S 42 16 44 t2 t 3 3 3. 当3 t8时, 如图 2,为梯形面积, 1刖2一-8c2t, s14[2(4t)88? QRtAAFHsRtAAMC, 2t •-S SAABC SABRGSAAFH 36 4•如图,矩形ABCD中,AD3厘米,ABa厘米(a3)•动点M,N同时从B点出发,分别沿BA,BC运动,速度是1厘米/秒•过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时,点M也随之停止运动•设运动时间为t秒. (1)若a4厘米,t1秒,则PM厘米; (2)若a5厘米,求时间t,使△PNBPAD,并求出它们的相似比; (3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围; (4)是否存在这样的矩形: 在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等? 若存在,求a的值;若不存在,请说明理由. N (2)t2,使△PNBPAD,相似比为3: 2 所以,存在a, 23时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、 梯形PQCN的面积相等. QM 6a Qt<3,-6久<3,则a<6,3a<6, 6a (4)Q3a<6时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等 5.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由; (2)设厶BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APRs^PRQ? 【答案】解: (1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2X1=2,BQ=2X2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为/B=600,所以△BPQ是等边三角形. ⑵过Q作QE! AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t•sin60°=一3t,由AP=t,得PB=6-t, 所以BPQ」XBPXQE=l(6-t)X、3t=t2+3.3t; 222 ⑶因为QR//BA,所以/QRC2A=6d,/RQCNB=60°,又因为/C=60°, 1 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t因为BE=BQcos60°=X2t=t, 2 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP//QR,EP=QR所以四边形EPRC是平行四边形 所以PR=EQ=3t,又因为/PEQ=90,所以/APR=/PRQ=90.因为△APR-APRQ, 所以/QPR2A=60°,所以tan60°=坐,即62t.3,所以t=6, PRV3t5 所以当t=6时,△APFHAPRQ 5 6.在直角梯形OABC中,CB//OA,ZCOA=90o,CB=3,OA=6,BA=3.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系. (1)求点B的坐标; (2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式; (3)点M是 (2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以O、D、M、 N为顶点的四边形是菱形? 若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 解: ! I)作砌丄工抽F点舐网边年nitnc为加序、 VH-<;tir3.U W-OA-1=3. 在屮(BK--加-7(3^)*-3=-^(2#} I叮带川1T轴于点昨.翩扒 M帕. <)£_ 上IJt-2,Al: ^4, A点鰻的肆掠为W-(5 点"的卷赫为他Sk 设r(线砒的第折式为"如*4. (if: -2EB, 讷A赴讴fH 门点h的耶-标为m点)(3余) 亀X站的H析式九一i爲“ (和评;T7fl;*(#沪) I如圏1.*\m=tilt=AH\0“时*网边瞻CUH八孩f曼形一fl-肿丄»半1于点代則轴尸八tin..'.凸册05匕刚•'躊"懵m跖时”-yj+J«OP二卜A的坐标为(HL1卜》・二OF二闇4 伍Rimm沖ip*tv血ModG亦■VPVio1■ 小mp=2Js^m>AL;点w的堡h为-■■h、射爭村为〔・2廣.方I* i如阳2・峙ffO=z='SW*.Vf? -5arFHi/JME29%^培托VW左工繃干庸P・MliW输・ Y点v=-V1*51: T 徙M点串林为5・-y-flT3)* 第得叫只.気冈(會扫.点肘骑豎肛为2.3片 嵐、的士杯为2.帕+(12沪) nw»-w■■耳-召r■f 3一刨图乩書川F=灯&=”\吋 边"谭风目卷吩- 连搖Y叭交M|点儿 &)'U~>Y-^1*2F *--1*»*5=V' .7.在图15-1至图15-3中,直线MN与线段AB相交于点O,/1=/2=45° (1)如图15-1,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系; (2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2,其中AO=OB. 求证: AC=BD,AC丄BD; (3)将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到 图15-3,求BD的值. AC O 图7-3 【答案】解: (1)AO=BD,A0丄BD; •••/DEB=45° 又•••AO=OB,ZAOC=/BOE, •••△AOC也△BOE.aAC=BE. 又•••/1=45°ACO=/BEO=135° •••/2=45°•BE=BD,/EBD=90°.•AC=BD.延长AC交DB的延长线于F,如图4.TBE/AC, •••/AFD=90°•AC丄BD. •••△BOEs△AOC. (3)如图5,过点B作BE//CA交DO于E,•/BEO=/ACO. BE=BD.•k AC N若点P从O点出发,沿OM作匀速运动,1分钟可到达M点,点Q从M点出发,沿MA乍匀速运动,1分钟可到达A点。 (1)经过多少时间,线段PQ的长度为2? (2)写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围; (3)在P、Q运动过程中,是否可能出现PQLMN若有可能,求出此时间t;若不可能,请说明理由; (4)是否存在时间t,使P、QM构成的三角形与厶MONf似? 若存在,求出此时间t;若不可能,请说明理 由; V
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