第五章微扰理论习题答案doc.docx
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第五章微扰理论习题答案doc
第五章微扰理论
2
——0<2<1
22
1.设氢原子中价电子所受有效作用班厂)二-玉-几兽其中£,
r厂4矶
试用微扰理论求基态能屋(准确到一级)。
[解]:
氢原子基态波函数
•••Eo=E:
+E冷…
「El守
-a
2r2r
=一手臥九J7石dMQ
=_4a\[^£a。
九-—
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•••Eo=E:
+E;+・・・
2•设在方。
表象中方的矩阵为
’E;)0a、
H=0E;b其中E; ab"E; \3/ 试用微扰理论求能量木征方程的木征值,准确到二级。 /\/V [解]表象中的H的若无微扰吋,应是一个对角矩阵,而此题中H不是对角阵,但它的项应是对角阵。 曾 0 \ a 0 0、 <0 0a} H= 0 E; h — 0 E: 0 + 0 0 b ♦a E為 (O 0 E為 * 2 胪 o> 曾 0 0、 ‘0 0a' 第一项就是H.= 0 E; 0 第二项是H'= 0 0h 0 \ 0 E為 ♦ /? *0, 若准确到二级対三个能级 耳 爲 耳则 E严E: )+E: +E;+… E'=E;+E;+E;+… 式中已知,只要求出0尽即可 ・・•E\=H\E\=H;2 由的矩阵元中对知H: H;=码=0即E;=E;=£;=() ・・F2=y\Hnn]=y r() mm .R⑺_V冋“」 1—乙耳)_£; (m工1)m=1.3此吋只有三项 E'耳-E;'El-El ・・・H;2=oH;3=a・•.E;=于g 同理圧=工磐雷 m匕2一Lm (m工2) 2=E;_E; 加=2或m=2则H^=a £2_yKJ2 3WEP (m主3) %=b* : .E; Et_E: )+E;_E; 2 b2 ・•・对于E严E;+E;+E: +.,耳+-^―+… E? =E;+E;+E;+…=E;++.・・ 匕2—匕3 E产耳+&+砖+…二耳 七3一匕\匕3一匕2 3. 用微扰法计 «/+1)力2 _~21- 转动惯量为I,电偶极矩为方的空间转了处于匀强电场E+,若电场很小,算转了基态能量的二级修下。 [解]在第三章中第13题,我们已知道转动惯屋为I的刚性转了的能级为E;定态波函数H°=—fr 21 但基态1=0E: ;=0阮°尤)是非简并的。 可按定态非简并微扰处理 为方便起见,我们选E方向与坐标Z轴方向一致,则 H'=-D•E=-D^cosd(0与£>与E夹角) E— E。 詔圧—E; E: 产岡卬丽加%dO (-0•肌dQ =-[dejq 4龙」 即一级修正为0 =--DE[cosOdd=04兀」 而H;°=H;)k 1 Ok ~OE\Yi =-誉JX;“Yi()dG 当k=\m=0吋H"0其余均为0 DE 2力2 17 2 1 2I 2_-d2e2i E—E厂 n0k <>/3> ~3忙 心g心 ~2 k ・・・E°=&+E;+琦=0+0+E; d2e2i 4.设体系未受微扰时只有二个能级窣及毋,现在受到微扰H'作用,微扰矩阵元为 H[2=H2]=a,H: =Ht=b;a,b都是实数,用微扰公式计算能量到二级修正. 解: 由微扰公式得 E'=Hr nnn E(o)_e(。 ) 得E\=H: 严b E;=H;2=b •ML E—E: E2=X m I%』—/ E;-E「E;-E; ・・・能量的二级修正值为 2 E厂E;+b+云 5.基态红原子处于平行电场屮,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即 0当tv0 W当t>o(r>o的参数) 求经过长吋间后氢原子处于2p态的儿率。 解: 对于2p态,^=1,m可取0,±1三值,其相应的状态为 氢原子处在2p态的几率也就是从0100跃迁到0210、0211、021—1的几率Z和。 TJ‘ n210J00 由讣=詈側;肿恂 (Wz=ee(t)rcos0) 「£^io^oocos&sin阳&d© =^R2lY^e£(t)rcos0R^Y^dr(取E方向为Z轴方向) =££(『)[R2[rRl0dr ee(t)f「£Y];)*ri0sin0d6d(p /={R;i(厂)&o0"),d厂=&Qo 114! x255_256 35 石不丁心帀r° 陽⑴256128^2/、 ■TFilTT厂FT咬呱 =«£(『)[/? 2ir£y,,cos0Y^sin&d&d/ ££(/)J/? 2i心io刃『fK: 咅KosinOdOdcp ^21-1,100=(021-1穴0100〃。 =«£(》)(/? 2lr3/? l()Jr£「乙打cos&Ek)sinFd〃d© 厉岭)s\n0dOd(p 叽21 由上述结果可知, W1st2“=W100t210+W100t211+"100—21-1 h224300A 如一一. eT-1 _4(皀)2护尿2方八24300 当/Too时, 其中◎广即二給(1冷)=豁二萨力2方48力8加() 6•粒子处于宽为a的一维无限深势阱中,若微扰为 -b +b 当— 2 求粒了能量的一级修止。 2.nze•nxt —sin—xHsin—xdx aaa 2b备.2处,2b$.°nx. psin—xdxHLsin—xdx a*aa\a cos+—C(l-cos aas b ——+ 22兀rt =——sinn7tsin2n/r n7r2nx =0 即粒子能量的一级修正为0 7. 计算氢原了由第一激发态到基态的自发发射几率。 由选择定则心=±1,知2ET1S是禁戒的 故只需计算的儿率 2 (Z)2I,”M()=f瞪(门&()(门广加•”二COS&V//2 ⑵211,10()=。 ⑵21-1.100=° ⑵计算X的矩阵元 x=rsin&cos©=-^sin&(严+严。 ) (兀)21讪00=*[/? ;1(厂)尺0("加脱亦&(严+严%加 箱+Sm-\) W210J00=0 (兀)211,100 21-1J00 =云厂j§(-盅1-盅T) d(y)210J00—° ^=(2xr+2xr+in=r ⑷计算/ f=f^21(^)^10(r)r3dr=-^=aQ 114! x25525627 ^=8176^=^07 ? 8血1° -•^=1.91x10^- r=—=5.23x10_,05=0.52xlO-9人21 8.用狄拉克符号求线性谐振了偶极跃迁的选择定则 [解]因为线性谐振了跃迁几率叱 当W-枷工0时,跃迁才有可能发生 即X^kHo且W=V% 2V2 +1> 或当m=k+1时Xmk=— 即Am=—1或Am=1时,X脉工0%»工0 当也等于其他值,即心心±1吋X腻=0光》=0 所以谐振子的偶极跃迁定则为A/? ? =±l 即只有相邻能级发生跃进,其他都不能发牛。 9.对于宽度为a的一维无限深势阱中的粒子(质量为“))受到微扰、/v2x v(x)=vocosyx 求能量(准确到二级) [解]宽为a的一维无限深势阱的本函和能级 ..[2.nx厂7rh2n2 0(兀)=—sin—兀En=-—r Vaa2maa 2V()『・2nx2tt —[fcos——(n+l)xdx+[cos——(n-\)xdx]2a山aa 2v0pn7U2tix.mx- —-Isom——兀cossin——xdx aaaa 二r—[cos—(m-n)x-cos—(m+n)x]cos a』)2aa =—fcos—(m-n)xcos—xdxfcos—(m+/t)xcos aaaaa =—r[cos—(m-n-2)x+cos—(//? -n+2)x]dx 2aaa V()「[cos—(m+m一2)x+cos—(m+n+2)x]dx 1a2 —xJxa 71 —xdxa 2a闪=0 ••・E: =0 9^.97 ••・E产E: 【+E: +E右字笃 2m(}a 10.设在//()表彖中 (1) (2) [解]: ‘E;)+ab 、bE;+a 用微扰法求能量至二级修正。 严格求解能量,与微扰法比较。 (1)由己知可知E;E;H.=qH[2=aH: =H;2=b (a,b为实数) ・・•E1+E;+E;+E; E2=E;+E;+E; .・.只需求出E: E;E\ E; ・・・E\=H\E\=Hl (mH1) •E2 |E;-E;)E;-E; b2 同理= £S0—JD]匕2—上i b2 ..E[=E]+a+_go b2 E2=E2+a~£0_E0 (2)设体系木函用矩阵表示 £)+db、 =E %、 、bE;+a』 9 4 1 (E: )+d-E)a+0b=Oba+(E;+a-E)0=O 要使上述线性方程冇非零解,则必须使其系数行列式为0E;+a_EbbE;+a_E 宀(E: )+d—E)(E;)+d—E) E;E;+(E,+E: )a-+a+耳+a)E+a2E2-b2=0 E2-(E^++2a)E+(a2++Efa+E^a-b2)=0 .已少+园+2°)土J(E: +园+2a)2—4[(d+E;)(E;+戾)] E,°+园+2q±Jei02+E^2-2£1°£^+4/72)] 理+耳+2°土(E.°-叫1+(耳土尸 2(岸-耳丿 E=|[E,°+E;+2d±(E;-E;)[l+- b2 h2 •: E\=flE: +E;+2a+E;-E;+严]=耳+。 +尸)_£ E2=E;+a_e: _e; 与用微扰理论计算的结果相同。 11.若设%=AC"(A>0)作为波函数,用变分法求氢原了基态能量 [解]先求归一化常数A 由归一化条件\y/y/di: =1^A2e~2Ardr=1 oo A1^e-2Arlr2drd^l=\ co 47rA2[r2e-2Ar2dr 71 47rA 4-2/1V2A_1 71 7TA2— 22V221 要构造的波函数已给出,B|J讥门=Ae~Ar~ 对于氢原了哈密顿算符为 /.Ha=^Hy/dv 舒右叙堆)-沙“必 2“ e~Ar2Ag(八)dr—A运#*-e~Xrldr r2drdr A2h2 A2^2 宀2-T4-(-2Ar3e-2r2)dr-A2e^ie'2^rdrd^orJ AArg[3厂纭一"-2/lr4e~A,]dr-47rA2e^Jg e'2Ar2dr 2A2AU2 e~2Ar'r2dr-47rA2e^^e~2Ar~rdr ^e~2Ar2r4clr-4/rA2e^^e~2Ar'rdr 由公式 3 8? 7iS7rA2h2A2 •••瓦必柑. x—— 82 22 “32A2 22 71 2“ 3/4? 力2 224“ 3/42沪 22 3加4讦 2“ J”2 1 —Tie;—— 2'71 222/2A 9方4_4J_ 4/Z257T几 即2=眩£时,万\冇最小值,也就是基态能屋。 9兀h 4叹8叹 5兀力23龙沪 其屮 4疋 3") 沪 所以氢原了基态能录为 12.设某体系方木征值是|+1小到大顺序排列的 E。 … 证明在任一态肖态中的平均值大于或等于棊态能量耳),即H>E [证明]: 引入波函数屮⑺ 设方的木征函数为久 则任一波函数0 (2)均町按®线性展开,即 0 (2)=工%9” 则方在0(刃中的平均值 H=J必#0(A)必 =忆a;0: A工a禺心 nn =JIX%工d" nn •・•必是〃的共同本函数,设木征值为E” 则: H(pn=En(pn •••h=忆^: 亦卩工eg nn =忆咖上禺工a曲 nn 二忆40上誠卩小 n n 由%的正交归一性\(Pn(PndT=1 22222 -H=LEn\an\=|ao|£O+|^o|垃)+如乞+如E3+…… •/Eo .・.ko『E°+同『E°+血『坨+……一定比最小的E°要大,最多是相等即H=XMEn^EQ n HAE° 得证 •bb•宀• [sin/t^-O]+1sin2ri7i一sinn7i\ 22n/r
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