最新三年级奥数教材第六讲之数图形.docx
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最新三年级奥数教材第六讲之数图形
三年级奥数教材第六讲之数图形
第六讲数图形
采用鲜艳的颜色,从最简单的视觉角度入手,用心理学的方法让你对数图形感兴趣,并爱上它。
知识要点:
同学们,在数图形时,一定要按顺序仔细数,如果给图形编个号,这样数起来就更方便,不会重复,也不会遗漏。
{例1}数一数图中共有几个三角形?
这样想:
数之前,先将每个图形编号,编好后,先数单个三角形1、4、3号,共3个。
再数两个图形合成的三角形,1+2号,2+3号,3+4号,4+1号,按顺序两个两个合并,共4个三角形。
最后数由1+2+3+4号组成的大三角形,有1个。
所以3+4+1=8,共8个三角形。
{例2}数一数图中有西红柿的正方形有几个?
这样想:
先数单个正方形,有西红柿的正方形有1个。
再数四个正方形合成的大正方形,有西红柿的大正方形有4个。
最后数由9个小正方形组成的大正方形,有1个。
所以1+4+1=6,有西红柿的正方形共6个。
{例3}数一数图中共有几个正方形?
这样想:
先数单个正方形1、2、3、4、5、6号,共6个。
再数四个正方形合成的大正方形,1+2+4+5号,2+3+5+6号,按顺序四个四个合并,共2个正方形。
所以6+2=8,共8个正方形。
{例4}数一数图中共有几个正方形?
这样想:
先数小正方形,共4个。
再数稍大的正方形,共5个。
最后数大正方形,有1个。
4+5+1=10,所以图中共有10个正方形。
{例5}数一数图中共有几个圆形?
这样想:
先数小圆,共5个。
再数大圆有1个。
图中共有6个圆。
数图形
晚饭过后,妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目:
数数窗户上一共有多少个正方形。
小小一看,立即回答:
“窗户上一共有6个正方形。
”妈妈笑了,爸爸在一旁也笑了,小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑”。
小朋友,你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗?
小小数得难道不对吗?
如果不对,那么窗户上究竟有几个正方形呢?
下面我们就一起来研究数图形的问题。
典型例题
例【6】下图中有多少条线段?
分析我们把图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段,那么:
由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE4条;
由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE3条;
由3条基本线段构成的线段有AD、BE2条;
由4条基本线段构成的线段有AE1条。
另外,我们还可以从线段的两个端点出发去数:
以A为左端点的线段有AB、AC、AD、AE4条;
以B为左端点的线段有BC、BD、BE3条;
以C为左端点的线段有CD、CE2条;
以D为左端点的线段有DE1条。
解4+3+2+1=10(条)
所以图中有10条线段。
例【7】下面图形中有几个角?
分析我们把图中的AOB、BOC、COD看作基本角,那么:
由1个基本角构成的角有AOB、BOC、COD3个;
由2个基本角构成的角有AOC、BOD2个;
由3个基本角构成的角有AOD1个。
我们也可以从角的两条边出发来数:
以OA为一边的角有AOB、AOC、AOD3个;
以OB为一边的角有BOC、BOD2个;
以OC为一边的角有COD1个。
解3+2+1=6(个)
所以图中有6个角。
例【8】下图中共有多少个三角形?
分析我们把图中ABC、ACD、ADE看作基本三角形,那么:
由1个基本三角形构成的三角形有ABC、ACD、ADE;
由2个基本三角形构成的三角形有ABD、ACE;
由3个基本三角形构成的三角形有ABE。
解3+2+1=6(个)
所以图中有6个三角形。
例【9】下图中有多少个正方形?
分析我们把最短的一条线段如AB看作基本线段,那么:
边长为1条基本线段的正方形有9个;
边长为2条基本线段的正方形有4个;
边长为3条基本线段的正方形有1个。
解9+4+1=14(个)
所以图中有14个正方形。
例【10】数一数图中共有多少个三角形?
分析我们可以将图形分成上面三个部分来数:
在图1中,一共有5+4+3+2+1=15(个)三角形;
在图2中,一共有5+4+3+2+1=15(个)三角形;
在图3中,一共有5个三角形。
解15+15+5=35(个)
所以图中一共有35个三角形。
小结要想正确数出图形的个数,关键是从基本图形入手:
(1)弄清楚图形中包含的基本图形是什么,有多少个。
(2)从各图形中所包含基本图形的个数多少出发,依次数出它们的个数,并求出它们的和是多少。
(3)有些图形被分成乐几个部分,可以先从各部分的基本图形出发,数出所含图形的个数,再求各部分的总和。
课后练习:
数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。
数图形虽然很简单,但重复计数和遗漏是经常出现的错误,在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。
几何中的计数问题包括:
数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。
通过这一讲的学习,可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯,同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数,最常用的方法就是分类数。
一、数线段
我们把直线上两点间的部分称为线段,这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。
因此,观察图形中的线段,探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系,对于了解图形、分析图形是很重要的。
例1、 数一数,图中有多少条线段?
分析与解:
如果我们按照一定的顺序从左往右数,就会发现:
以A点为共同端点的线段有:
AB AC AD AE AF 5条;
以B点为共同端点的线段有:
BC BD BE BF 4条;
以C点为共同左端点的线段有:
CD CE CF 3条;
以D点为共同左端点的线段有:
DE DF 2条;
以E点为共同左端点的线段有:
EF 1条;
总数为:
5+4+3+2+1=15条。
用图示法表示更为直观明了,如右图。
想一想:
①由例1可知,一条线段AF上有六个点,就有:
总数=5+4+3+2+1条线段。
由此猜想如下规律(见右图):
…… …… …… ……
还可以一直找下去,并且通过实际去按顺序数,经过验证后,能从中得出这样一个结论:
当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时,线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比图形中的总端点数少1.
②如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段,那么线段的总条数也是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本线段的条数(见下图)。
基本线段数
线段总条数
…… …… …… ……
是不是存在这样的规律,同学们可以自己再举些例子试试看。
二、数角
例2、 数一数,图中共有多少个角?
分析与解:
通过观察,我们可以知道,图中包含的所有角都具有O点这一共同端点。
如果我们按照一定的顺序数,就会发现:
以射线OA为角的一边的角有:
∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,∠AOF共5个;
以射线OB为角的一边的角有:
∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠BOF共4个;(不包括已经数过的∠AOB,即数过的不算,下同)
以射线OC为角的一边的角有:
∠COD,∠COE,∠COF共3个;
以射线OD为角的一边的角有:
∠DOE,∠DOF共2个;
以射线OE为角的一边的角有:
∠EOF 1个.
角的总数:
5+4+3+2+1=15(个).
数的过程用图示法表示如下:
想一想:
①由例2可知:
由一点引出6条射线,所组成的角的总数为:
5+4+3+2+1(个),由此猜想出如下规律:
(见下图)
由一点引出的两条射线组成1个角:
由一点引出的三条射线组成2+1=3个角:
由一点引出的四条射线组成3+2+1=6个角:
由一点引出的五条射线组成4+3+2+1=10个角:
…… …… …… ……
还可以一直找下去,并且通过实际去按顺序数,经过验证后,能从中得出这样一个结论:
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比图形中射线的总条数少1。
②与数线段有类似的地方,即为:
如果把相邻两条射线所组成的角叫做基本角,那么角的总数也是从1开始的一串连续自然数之和,而其中最大的自然数等于基本角个数.
注意,例1和例2的情况极其相似。
虽然例1是关于线段的,例2是关于角的,但求总数时,它们有同样的数学表达式。
同学们也可以看出,一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系,这就是数学的魔力。
三、数三角形
例3、 数出下面图中三角形的个数。
分析与解:
仔细观察图形,我们可以发现,图形中所构成的每个三角形,都有两条边是由A点引出的,而第三条边不在线段BC就在线段DE上,并且通过我们去按顺序数,会发现BC和DE上有多少条线段就对应有多少个三角形,这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段的问题了。
根据例1可知,BC边上的线段有15条,那么,以BC边上的线段作为第三边的三角形就有15个。
同理,DE边上的线段也有15条,以DE边上的线段作为第三边的三角形也有15个。
所以,图中共有三角形15×2=30(个)
例4、数出下图中三角形
的个数。
分析与解:
明显地,这个图形不具有例3中三角形的特点,所以例3中的解法不适合此题,为了便于数出三角形的个数,我们可以用分类的方法来数。
怎样分类呢?
可以按三角形的构成来进行分类,为了叙述方便,我们把图中三角形编上号码,如图所示。
明显的,
由1个三角形构成的三角形有6个。
由2个三角形构成的三角形有2个,即(1,2),(4,5)
由3个三角形构成的有4个,即(1,2,3),(4,5,6),(6,1,2),(3,4,5)
所以,此图中共有三角形:
6+2+4=12(个)
四、数长方形
例5、如下图,数一数各图中包含的长方形个数?
分析与解:
图(Ⅰ)中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关,每一条线段对应一个长方形,所以长方形的个数等于AB边上线段总条数,即长方形个数为:
4+3+2+1=10(个).
图(Ⅱ)中AB边上共有线段4+3+2+1=10条。
BC边上共有线段:
2+1(条),把AB边上的每一条线段作为长,BC边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图(Ⅱ)中共有长方形为:
(4+3+2+1)×(2+1)=10×3=30(个).
图(Ⅲ)中,依据计算图(Ⅱ)中长方形个数的方法:
可得长方形个数为:
(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个).
知识小结:
一般情况下,对于类似图(Ⅲ)的图形中所包含的长方形的个数,我们就可以用外围大长方形中:
长边上的线段总条数×宽边上的线段总条数,求得。
五、数正方形
例6、如下图,数一数图中包含的正方形个数?
分析与解:
为方便起见,我们把小正方形的边长设为1,则正方形的边长可分别为1、2、3、4、5,我们可以借助分类的思想来数,按大小不同将图形中正方形分为如下几类:
边长为1的正方形有25个;
边长为2的正方形组成的正方形有16个;
边长为3的正方形组成的正方形有9个;
边长为4的正方形组成的正方形有4个;
边长为5的正方形组成的正方形有1个;
正方形总数:
25+16+9+4+1=55个.
例7.在下图中,包含“*”号的长方形和正方形共有多少个?
分析与解:
按包含的小块分类计数。
包含1小块的有1个;包含2小块的有4个;
包含3小块的有4个;包含4小块的有7个;
包含5小块的有2个;包含6小块的有6个;
包含8小块的有4个;包含9小块的有3个;
包含10小块的有2个;包含12小块的有4个;
包含15小块的有2个。
所以共有
1+4+4+7+2+6+4+3+2+4+2=39(个)。
六、练习题
1、数一数下图中共有多少条线段?
2、 数一数下图中共有多少个三角形?
3、数出下图中锐角的个数。
4、数一数下图中一共有多少个长方形?
5、下图中有多少个正方形?
6、 数一数图中有多少个三角形?
7、下图中有多少个正方形?
例题与方法
例1.下图中有多少条线段?
例2.
下面图形中有几个角?
例3.下图中共有多少个三角形?
例4.右图中有多少个正方形?
例5.
数一数图中共有多少个三角形?
练习与思考
1.下图中各有多少条线段?
(1)
自制饰品一反传统的饰品消费模式,引导的是一种全新的饰品文化,所以非常容易被我们年轻的女生接受。
(2)
9、如果你亲戚朋友送你一件DIY手工艺制品你是否会喜欢?
就算你买手工艺品来送给朋友也是一份意义非凡的绝佳礼品哦。
而这一份礼物于在工艺品店买的现成的礼品相比,就有价值意义,虽然它的成本比较低但它毕竟它是你花心血花时间去完成的。
就像现在最流行的针织围巾,为何会如此深得人心,更有人称它为温暖牌绝大部分多是因为这个原因哦。
而且还可以锻炼你的动手能力,不仅实用还有很大的装饰功用哦。
1996年“碧芝自制饰品店”在迪美购物中心开张,这里地理位置十分优越,交通四通八达,由于位于市中心,汇集了来自各地的游客和时尚人群,不用担心客流量的问题。
迪美有300多家商铺,不包括柜台,现在这个商铺的位置还是比较合适的,位于中心地带,左边出口的自动扶梯直接通向地面,从正对着的旋转式楼梯阶而上就是人民广场中央,周边4、5条地下通道都交汇于此,从自家店铺门口经过的90%的顾客会因为好奇而进去看一下。
(3)
(二)创业弱势分析
据调查统计,有近94%的人喜欢亲戚朋友送给自己一件手工艺品。
无论是送人,个人兴趣,装饰还是想学手艺,DIY手工制作都能满足你的需求。
下表反映了同学们购买手工艺制品的目的。
如图(1-4)
2.下图中有多少个角?
3.下图中各有多少个三角形?
(1)
(2)
(3)(4)
4.下图中各有多少个长方形?
(1)
(2)
(3)
5.下图中有多少个正方形?
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