数值计算方法考博复习资料5非线性方程的解法.docx
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数值计算方法考博复习资料5非线性方程的解法
数值计算方法考博复习资料(5)
第七章非线性方程的数值方法
【概念整理】
一、二分法
泄理:
给泄方程f(x)=0,设/⑴在上连续、单调,且则由二
分法产生的序列{忑}收敛于方程的实根F:
若取忑为根才的近似值,则英绝对误差限为:
/-xA|<导淇中k为二分的次数。
二、简单迭代法
将方程f(x)=0改写成等价形式x=(p(x),并作出心+]=©(无),{忑}称为迭代序列,0(.丫)为迭代函数,若0(尤)连续,且linix,=/,则有T=0(F)。
当迭代序列{兀}有极限时,迭代公式收敛。
收敛宦理:
设0(尤)满足条件:
(1)当xe[a.b]时,[«,/?
]:
(2)存在正数L<\,对于任意的xe有|0(x)|5厶<1,则
(1)方程x=(p(x)在[“,/?
]上有唯一的根F
⑵对于任意初始值冷於[",闰,迭代公式忑+]=©(无)收敛,且迭代序列比}收敛于F
(3)有误差估计式:
“一卅S占K一兄」;|x*一忑卜吕X-对
要注意的是,当厶时收敛缓慢,即使卜一耳_]|很小,误差仍然可能很大。
收敛速度阶设心加,••••,忑…收敛于记勺="-母称为第k次迭代误差,如果存
在实数pni和非零常数C,使得!
坐忡l=c成立,则称序列«}是卩阶收敛的。
特別的,erd
当”=1为线性收敛:
”>1超线性收敛;p=2平方收敛。
卩越大,收敛越快。
对于收敛的迭代公式无+严卩(忑),设迭代函数0(X)在F邻近有连续的”阶导数,并
且0(F)=0,矿X)=0,...,"心収)=0,0叫才)工0,则迭代公式忑+1=0(无)为p阶收
敛。
三、Newton迭代法
立理:
给左方程/(x)=0,如果满足条件
(1)/(x)在根”邻域内具有连续的二阶导数⑵M为方程的单根,即/(F)=O,/'(F)hO,则Newton迭代公式具有至少二阶的收敛速度。
在应用牛顿法时,为了避免牛顿法中的导数汁算,用差商土上丄U代替公式中无一无-
的导数广(母),导出下面的公式:
有超线性的收敛速度,收敛阶约为1.618o
当f(x)=0有重根时,牛顿迭代格式的收敛速度要减慢,且不再是平方收敛.而是线
性收敛。
为了提髙其迭代法的收敛速度,需要对原来的迭代格式进行适当修改.使其仍能保持平方收敛,于是得到求加重根的二阶迭代的牛顿迭代公式为:
(\/(X)f(xk)
四、迭代收敛的加速方法
Aitken方法
五、抛物线法
抛物线法的思想是以f(X)=0的三个近似根母-2,母-1內为节点,构造二次插值多项式
A(x)并适当选取4(x)的一个零点无F作为新的近似根。
A⑴=/U)+/[“,畑X%一“)+/,x-2b
令人6)=0,求出两个根,取与兀较为接近的一个。
抛物线法是超线性收敛的,苴收
敛的阶约是1.839
六、牛顿下山法
为防止发散,对迭代过程附加单调性条件,即|/G,+I)|<|/(%,)|
X如|=苟+]+(1_2)兀,即
每步迭代时从A=1开始逐次减半,即令2=1丄丄,•…直到满足单调性条件为止。
24
七、重根情况
f(x)
(1)直接用牛顿法,x“=Xk_三二,线性收敛:
iM
(3)加未知,X—]=>
.fMf(xk)一阶收切
1Lr(ms)'」収厶
八、解非线性方程组得牛顿迭代法工(州‘2,・••儿)=°
<
•••••••■••••••••••■
戈(几勺,…儿)=0
设严=(屮),"普)是一个近似根,将函数F(x)在严处用多元泰勒展开,取线性部分,则有:
F(x)aFb"〉)+F'(x(和)(大一,和)
期(X)恥)関…去”
•••••••
…dXn
严"=严_片(严)『尸(』))
为了避免求逆阵,可以令△兀⑹=*3)-乳求解关于的线性方程组
F(x⑷皿⑹=求出卅),再加上严)可得兀叫即兀如)=屮)+心。
【白皮书例题】
[解]
取/(X)=-^--a=x~2-a,f\x)=-2x~yx~
按照牛顿迭代法
例2设T是方程/(%)=0的川重根m>2,证明求方程f(x)=0的根F的牛顿迭代法是线性收敛的。
[证明]
设/(a)=(x-£)n^(x),且g(F)H0
则广(0=加7厂金)+(x7丁昨)
按照牛顿迭代法:
°(尤)=乂—zw=x(兀-町1(0=x_G_“)g(q
广(X)Z7?
(x-X*)?
,_1^(x)+(X-Xyg(x)加g(0+m?
(x)
0(x)=]_丄工0
in
因此,为线性收敛。
第二步为止(保留两位小数)。
解:
解线性方程组:
-0.19'
<110>
【白皮书习题】
1.用二分法求解方程加-1在区间[0,1]内的根。
解:
令f(x)=xex-\,/(O)=-L/(l)=^-1^1.718282
计算列表如下:
k
ak
符号
0
0
1
0.5
<0
1
0.5
1
0.75
>0
2
0.5
0.75
0.625
>0
3
0.5
0&5
0.5625
<0
4
0.5625
0&5
0.59375
>0
5
0.5625
0.59375
0.578125
>0
6
0.5625
0.578125
0.570313
>0
7
0.5625
0.570313
0.566407
<0
8
0.566407
0.570313
0.568360
>0
9
0.566407
0.568360
0.567384
>0
10
0.566407
0.567384
0.566896
/(0.566896)=-6.83xl0~l
2.对于方程/(x)=0,使用迭代格式xn^=xn+cf(xn)(n=0丄2,…),若广⑴工0,如
何选取C才能保证迭代收敛。
[解]
迭代函数为(p(x)=x+cf(x)
即一1v1+cf'(x)<1-2 —2 5)〉0时,两-VO 3.证明: 当心充分接近于而时,按迭代公式辆=£(勺+3小(«=0,1,2....)产生的迭代3兀+a 序列{a„}收敛于程,且收敛阶为3。 [证明] 迭代函数为: 卩(对=«二+3") 3x+a 佝=(3宀3巴+,)—f®畑),妙僦)=o(3x2+a) 令g(x)=(3A'2+3t/)(3x2+a)-(x‘+3ax^6x),g(^[a)=0 g,(x)=12x(x2-a),g仏)=0 g"(x)=24x2,g"(需)=24“ ^ff(x)(3%2+af+g〈x)2(3x,+a)6x—/? (x)|3x2+aJ—J(x)—(3x2+a几)=————'———— 其中: /心)=(3x2+aY+g(x)2-(3十+,显然/? (Vd)=O dvdd 土丄,由于g”G=24a,因此,矿(苗)工0 =g'(x^x2+a^-^(x)A(3x2+g),丿僦)=0于是,0仏)」血十: : 因此,迭代序列&讣收敛于丽,且收敛阶为3。 4.试用Newton法推导出脳的迭代格式,并求苗的近似值,要求误差不超过10? 【解] 解: x=^Jax"-a=0,则MXf(x)=xp-a Newton法的迭代格式为: 1_7? + f(xk)x[-a1a 1+1=Xk一\=母~n-l=Xk一—Xk+—丙 iMpx"ppx" 欲求亦的近似值,则可用迭代格式: 232卅+3 %严沪+丈 取勺=1.X1=1.666667,x2=1.471111,x3=1.442812x3=1.442250 耳=1.442250,误差小于10」 5.若■/是方程的f(x)=0的r重根,即/(/—兀丁讽兀),其中0(兀)工0,i正明: (1)Newton法在F领域内是线性收敛的匚 (2)改进的Newton法忑+】=忑-件乂在F领域内是二阶收敛的。 /(母•丿 [证明] (1)参照白皮书例2 (2) 水)=A-_=x石-讨曲)=—(丁陆) 广心右―汀1处)+(兀一盯0(兀)爲+(;-: )亦 %)=1- 於)处)+卜二 处)+ 於) r 了(F)=1-1=O 令眄 处)+"'丿0(0 0(*(兀)+(rbd) *)+(」0(彳 0(x)+! r 2 S^)= 了⑴T-g(Q-G-F)g'(x) %)=-g'(x)-皿)+(x-F)g饲 龙卜沁•卜制Q 因此,改进的Newton法是二阶收敛的。 6.用斯蒂芬森迭代法求方程疋-兀-1在[1,1・5]内的根,取初值a0=1.25 【解] 由题意: 取f(x)=x3-x-\=0,构造迭代函数(p(x)=vm 勺=1・25,y()=0(兀)=1.310371,=©(%)=1.321987 (儿-心)' %_2儿+勺 (1.310371-1.25)2 1.321987-2x1.310371+1.25 =1.324745 y{=(p(xx)=1.324723,石=0(yJ=1.324719 7.用抛物线方法求疋―3x—1在x0=2附近的一个根,取仏=1,召=3,心=2,已知根的 准确值为/=1.87938524...要求汁算结果准确到四位有效数字。 [解] 将f(x)=x3-3x-1构造二次牛顿插值多项式: /(x)=/(Xo)+/k),X|Xx-Xo)+/k)'Xi,X2b-XoXx7j =-3+1睑-1)+6(%-l)(x-3)=6x2-14x+5求方程6x2-14x+5=0的正根,得禺=1.893150重新构造 呂(x)=/⑷+f\x\,勺b-州)+/bi,花,“b-州-七) =17+16(—3)+6.893153(x-3Xx-2) =6.893153x2-18.46576乂+10.358918 求P2(x)=0的正根1.879135 P2(X)=f(勺)+fk,习\X一“)+f[-V2,可,兀4K^-XjXx-^) =1+8.370314(x-2)+5.77205l(x-2X^-1.893150) =5.77205V_14.101146r+6.114089 求P2(x)=0的正根兀=1.879385 8.对0(x)=x+x°,x=0为0的一个不动点,验证耳+]=0(电)迭代对人)工0不收敛,但改用斯蒂芬森方法确是收敛的。 [证明J 0(X)=1+F,XH0时,0(x)>o,因此迭代不收敛。 如果改用斯蒂芬森方法, 儿=无+*,乞=(忑+#)+(母+总)' 故取如*丘可7厂"乔可二 0(对=&+21: +&“+呼+€,^(0)=-=-,因此改用斯蒂芬森方法是收敛的。 (3+32+^793 9.用牛顿下山法求方程x3-x-l=0的根,x0=0.6,计算精确至IJ10" [解] f(x)=x3-x-\f\x)=3x2-1 耳+i=xt~^¥(;\,|f(期=134 f(x}-I384 J,=x0一2牛乂=0.6-2一-一=0.6+17.32fM0.08 取兄=1,=0.6+17.3=17.9,|/(17.9)|=5716>/(x0) 几=丄,X,=0.6+1X17.3=9.25,|/(9.25)|=781.2>/(x0) 22 2=i,x,=0.6+1x17.3=4.925,『(4.925]=113.5>仮) 2=|,石=0.6+£><17.3=2.7625,|f(2.7625)|=l7.32>/(勺)几=£,%! =0.6+^x17.3=1.6813,|/(1.6813)|=2.0710>/(x0) A=-L,^=0.6+—x17.3=1」40625,『(1.140625)=0.656vy(x())3232 取=1.140625此时用2=1 /CyJ“收不_里上2竺=1・366814/(l.366814)=0J86M1 1广⑷广(1.140625)八7 =1326279-监八曲丿⑴^)一.8⑸53苗 1.324041• -3^1X1'-1=1-325012,/(1.325012)=1MxlO^ =,325012-3tX121(-l=1324590,/0-32459O)=-5.456256加 依次讣算直到精度满足。 •>•> 兀・+)厂= 10.用牛顿法解方程 * 2一厂= [解] )』0、 推(。 ))=俨2.4、 <0.12, '7[3.2_2・4丿 解方程 解方程 x⑵一1・58125)_(9.765625x107' y⑵一1.225)(-2.734375xlO'4, 解得: “⑵—1.58125) ,-1・111660x107) Q.581139" [y (2)-1.225丿 一2・551020xl(F* 3丿 、1.224745丿 【考傅真题】 1.选择题 设非线性方程f(x)=0数值解法的弦截法的收敛阶数是卩,抛物线法的收敛阶数是 P1,则() A.p}=1.618p2=2 B.门=1.618=1.839 C.门=1P2=2 D・I"=1p、=1.618 11 答: IB] 2.填空题 用牛顿迭代法求方程F+2疋+1Ox-20=0的根的迭代公式是 答: x.3+2x.2+1Ox.一20 V*—人人人 人jl+1_人£Z~2\7Z 3xk+4兀+10 3.填空题 (p(x)=x+a(x2-11),要使迭代法忑+严eg)局部收敛到x=4n,则几的取值范围 是 答: 4.计算题 迭代两步后.结果: xalya2.0277785.填空题 (p(x)=x+A(x2-9)9要使得迭代法母+严0(九)局部收敛与/=3,则几的取值范围 解: 要求0(3)=|1+2_U|=卩+6列<1,所以一*<兄<06・选择题 设F是方程/(x)=0的m重根(加>2),贝IJ求方程f(x)=0的根%*的Newton迭代格 式收敛的阶数为() A.1B.1.618C.2D.与川有关 答: A
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- 数值 计算方法 复习资料 非线性 方程 解法