中学数学竞赛讲义不等式不等式.docx
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中学数学竞赛讲义不等式不等式
(1)
中学数学竞赛讲义一一不等式
一、基础知识
不等式的基本性质:
(I)a>ba-b>0;
(2)a>b,b>ca>c;
(3)a>ba+c>b+c;(4)a>b,c>0ac>bc;
(5)a>b,c<0ac
(7)a>b>0,n€N+an>bn;(8)a>b>0,n€N+nanb;
(9)a>0,|x|
(10)a,b€R,则|a|-b|w|a+b|+^a|
(II)a,b€R,则(a-b)2>0a2+b2>2ab;
(12)x,y,z€R+,则x+y>2.xy,x+y+z33xyz.
前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。
(6)因为a>b>0,c>d>0,所以ac>bc,bc>bd,所以ac>bd;重复利用性质(6),可得性质(7);再证性质(8),用反证法,若nanb,由性质(7)得(na)n(n.b)n,即a
与a>b矛盾,所以假设不成立,所以VaVb;由绝对值的意义知(9)成立;-|a| 所以-(|a|+|b|) 所以|aHb|<|a+b所以(10)成立;(11)显然成立;下证(12),因为x+y-2,xy(•、x,y)2>0所以x+y>2.xy,当且仅当x=y时,等号成立,再证另一不等式,令3xa,3yb,3zc,因为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc 3322222 =(a+b)+c-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)-(a+b)c+c]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)= 1(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]>,0所以a3+b3+c3>3abc即x+y+z>33xyz,等号当且仅当x=y=z时成立。 二、方法与例题 1•不等式证明的基本方法。 A 比较法,在证明A>B或A0)与1 B 最后得出结论。 设a,b,c€R+,试证: 对任意实数x,y,乙有 所以左边>右边,不等式成立。 例2若a |loga(1-x)|与|loga(1+x)|. 【解】因为1-x1,所以loga(1-x)0, |loga(1__=|log(i-x)(1+x)|=-log(i-x)(1+x)=log(i-x)—>log(i-x)(1-x)=1(因为0<1-x2<1,所以 |loga(1x)|1x kk1(k1)k2 kr1,所以只需证(k[)k1 (k1)k(k2)k1 即证k2+2k+1>k2+2k.显然成立。 所以由数学归纳法,命题成立。 (4)反证法。 例6设实数ao,a1,…,an满足ao=an=0,且a>2a1+a2>0,a2a2+a3>0;・,an-2-2an-什an>0求证akW0(k=1,2厂,n-1). 【证明】假设ak(k=1,2,…,n-1)中至少有一个正数,不妨设ar是a1,a2,…,an-1中第一个出现的正数,则a1<0,2a<0;・,ar-1<0,r>0.于是ar-ar-1>0,依题设ak+1-ak>&-ak-1(k=1,2,…,n-1)。 所以从k=r起有an-ak-1>n-1-an-2>^ar-1>0. 因为an>k-1>r+1>a>0与an=0矛盾。 故命题获证。 (5)分类讨论法。 22例7已知x,y,z€R+,求证: —y y 【证明】不妨设x>y,x>乙 i)x>y>,z贝U 22 xy 2 x yz ii)x>z》,y则 x2 1 xy 2 z xy 1 xz 2 z 1 xz 2 y yz 1 xy 2 y yz 1 yz 2 z zx 1 yz 2 z x2>y>2,由排序原理可得 2 ,原不等式成立。 xy x2>2>y,由排序原理可得 2 ,原不等式成立。 xy (6)放缩法,即要证 A>B,可证A>C1,C1…,Cn-1>(n,Cn>B(n€N+). 例8求证: 【证明】 111 23 1 3 1 n. 21 1 2n1 1 尹1 例9已知a,b,c是厶ABC的三条边长, 得证。 2). 11 111 44 nnn 222 2“1 m>0,求证: abc ambmcm n(n 1 2 bab,m 1- bmabmabm 【证明】 aba ambmabm (因为a+b>c),得证 cm m 1- cm 7)引入参变量法。 例10 已知x,y€R+,I,a,b为待定正数, 求f(x,y)=—£的最小值 xy [解] y kl 1 f(x,y)= (1k)2 l2 b3 1 l7 b3 a3k a3kb3 b3 b3 a3k2 2(a3+b3+3a2b+3ab2)= 0 l2 例11设x1>x>x>x>2,2+X3+X4>1, (a ,等号当且仅当旦 x 所以f(x,y) min— (ab)3 求证: (X1+X2+X3+X4)2W4xx2X3X4. 【证明】设X1=k(X2+X3+X4),依题设有1 3 (1+k)(X2+X3+X4)<4kXX3x4(x2+X3+X4),g卩 (1k)211、、 (X2+X3+X4) 4kk3 (1k)211 所以 (X2+X3+X4)=(k2)(X2+X3+X4) 4k4k 3 <_ 1 2 •3X2=4X2<2X3X4. 4 所以原不等式成立。 (8)局部不等式。 3.3 2 例12已知x,y,z€R+,且x2+y2+z2=1,求证: X2- 1x1 【证明】先证忌于x2 妨设a>b》,c则0 3c1c1ab 解关于a+b的不等式得a+b>2(c1-c). 考虑函数g(t)=»「g(t)在[c21,)上单调递增。 又因为Owc^3,所以3c2<1.所以c2+a>4c所以2(山21c)>c21.3 所以f(a, 2c b,c)=2c ab1 1 c21a b >2c 2(•、c21 c) 1 c21 c21 2(c21 c) 2c ■c21 c =c21 =21 c21 c3c2 1 vc2 1 ...c2 Vv 1 22 >4c 2 3c21 5 3(1.c2 1) c 2 2 2 2 下证3(1 、c21) c 0①3 c 3.c21c2+6c+9>9+9c—c>0 4 c.因为c,所以①式成立。 434 55 所以f(a,b,c)—,羽所以f(a,b,c)min=—. 22 2•几个常用的不等式。 nnn (1)柯西不等式: 若R,bi€R,i=1,2,…,n,则(a: )(b2)(ag)2. i1i1i1 等号当且仅当存在入€R,使得对任意 i=1,2,,n,a=入b 变式1: 若a€R,bi€R,i=1,2,…,n, 2 bi n (ai)2 i1 n (bi)2 i1 等号成立条件为a=^b,(i=1,2,…,n)。 变式2: 设a,bi同号且不为O(i=1,2,…,n),则 a i1bi n (ai)2 i1 n aibi 等号成立当且仅当3=b2=—=bn. (2)平均值不等式: 设ai,82,…,力€R+,记Hn= n 1 1 Gn=naia2an, aia2an 222 An二__8,Qn、ai—a28n,则HnWGWAWQ.即调和平均w几何平均<算术 n: n 平均w平方平均。 其中等号成立的条件均为ai=a2=—=an. 【证明】由柯西不等式得AnWQ,再由GnWAn可得HnWG,以下仅证GnWA. 1)当n=2时,显然成立; 2)设n=k时有GkWA,当n=k+i时,记ikaia2akaki=Gk+1.因为ai+a2+…+ak+ak+i+(k-I)Gk+i>kkca2akkkakiG: i》2k%: ~~ak站2k2£GK2kGk+i, 所以a什a2—ak+i》(k+I)G+i,即Ak+i》G+i.所以由数学归纳法,结论成立。 (3)排序不等式: 若两组实数aiwaw・・wn且biw2w・wb,则对于bi,b2,…,bn的任意排列b.,b.,,b.,有aibn+a2bn-i+…+anbiWaibia2b.anb.wibi+a2b2+…+anbn. ii.2.n.i.2.n kn 【证明】引理: 记Ao=0,Ak=a.(ikn),则a.b. .i.i nni (s.s.i)b.=s.(b.b.i)snbn(阿贝尔求和法)。 .i.i 证法一: 因为bi .i.2.k 记sk=b.b. .i.2 札-(bi+b2+…+bk),则sk>0(k=i,2,…,n)。 n 所以aib.a2b.anb.-(aibi+a2b2+…+anbn)=aj(b.bj) .i.2.kJ.jJ Ji n sj(ajaji)+snan<0. ji 最后一个不等式的理由是aj-aj+iw0(j=i,2,…,n-i,sn=0),所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。 证法二: (调整法)考察aib.a2b.anb.,若b.bn,则存在。 .i.2.k.j 若b.bn(Jwn,则将b.与b.互换。 jn'j 因为anbnajb.(anb.ajbn)(a.aj)bn(ajan)b.(a;aj)(bnb.)>0 nnnn 可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理可得 左边不等式。 22例I5已知ai,电…,an€R+,求证;鱼亚a2a3 2 ani an 2an ai a+a2+…+an. 【证明】证法一: 因为 2 a1a1a2 2 上述不等式相加即得 a2 2 a2 a3 2 2 2a1,色 a3 2 an1 an 证法二: 由柯西不等式 2 a2 a2a3 22因为a1+a2+…+an>0,所以岂aa2a3 证法三: a.a. inIn1 ai1ai a32a2,… 2 an1 ,an an 2 》aa2+…+an. a1 2 an1 an 2 an1 an 设a1,a2,…,a从小到大排列为 1 —,由排序原理可得 a i1 '1 2an1,电a1>2a ai 2 an2 (a1+a2+…+an)>(a-a2+…+an),a1 2 色 a1 a. .2 》i+a2+…+an. ain,则ah 2 a. i2 2 ai, 1n 2 1 a.=a1+a2+…+an— ina2 2 a2 a3 2 更,得证。 a 注: 本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用, 2 an1 an 希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题 1.已知0 a,b€R+,则a—的最小值是 x1x 丄的最小值是 x 2.已知x€R+, 3.已知a,b,c€R,且a+b2+c2=1,ab+bc+ca的最大值为M,最小值为N, MN= 4. 5. 6. 7. 21 若不等式3x2ax12对所有实数x成立,则a的取值范围是 xx1 若不等式v5x―1x+a的解是x>m,则m的最小值是 “a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-2 若a,b€R+,贝Ua+b=1,以下结论成立是 条件• ①a4+b4>^: ②-<3+b3<1;③ 84 丄 b2 ’;®^lgablga- jr 8.已知0<<,若sin(1cos)-- 29 Xn—2—2—2222 -,p=(X1-x)+(x2-x)+…+(xn_x),q=(x1-a)+(x2-a)+…+(xn-a), ,则 x1x2 n 若ax,则比较大小: pq. 10.已知a>0,b>0且ab,m=aabb,n=abba,则比较大小: 1 11.已知n€N+,求证: 1 2 9.已知x n.
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- 中学数学 竞赛 讲义 不等式