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零的故事
零的故事
谈到数学,大家一定会想到数字。
试想,要是不会数「数」与加减法,我们甚至不能进行日常采买。
因此,因此我们在学校要学算术;不懂算术的人,就像不会读写一样是个文盲。
这也就是为什么一般人心目中的刻板印象,都认为数学就是算术,在研究数字。
查尔斯.席夫在《零的故事》一书中提到:
「在古文明时期,光是会数数就是一项了不起的本事。
在埃及的死亡之书中记载,运送亡魂到阴间的摆渡人阿圭恩(Aqen)拒绝让任何不会数自己指头的人上船。
亡魂必须要能一面背诵计数的韵诗,一面数他的指头摆渡人才会放行。
」
没有数字怎么算?
在文字产生前数目都是以实物来记录的,如小石子、树枝、竹片或贝壳等等。
斯里兰卡的Vedda族人,要计算椰子的数目,他会收集一堆树枝,每一根树枝代表一个椰子,利用树枝代表椰子的“个数”。
一九三○年代晚期,考古学家卡尔‧艾伯索伦(KarlAbsolom)在捷克发现一根三万年前的狼骨,上面有一系列的刻痕。
卡尔给了这位狼骨雕刻家一个有趣的名字「卡格」(Gog)。
我们无从了解卡格使用这根骨头的目的;然而,可以肯定的是:
早期的人类会数「数」。
易经上记载:
「上古结绳而治,后世圣人易之以书契」,「结绳而治」即是利用结绳的办法来记数;「书契」就是在物体上刻痕。
南美洲古代的印加帝国(Inca,11世纪~15世纪)便广泛地利用结绳来记数,结绳方法实际上遍及世界各地,如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦都有结绳记数的记载或实物标本。
从两河流域的肥沃月湾(现今叙利亚、依朗)一带出土的文物中,考古学家发现许多1~3公分大小,各种不同形状的陶制记数码(下图左)。
大约在公元前6000年左右,肥沃月湾一带便普遍地用陶记数码来记数。
公元前3300年左右,商业行为开始发展。
人们将记数码封在一个的陶制容器内,见上图右,做为帐簿或合约。
然而,将记数码封在陶制容器中,每次算帐或确认时都得将容器打破,事后自然需要重做一个新的。
那实在是一件很麻烦的事,所以就有人想到将记数码翻印在未干的容器外或在容器外面画一些特别的符号,来说明里面有多少记数码。
之后,人们又了解到根本不需要在容器里面放任何东西,只要在一个泥版上画出相同的记号就可以了。
人类竟然花了那么长时间,才看出那么明显的事实,这真是令人感到不可思议。
当然,我们现在认为明显的事,当时绝对一点也不明显。
把数与实际物体分离,了解「数是独立于特定物体」的抽象观念,是人类思想史上的一大进展。
我们每个人在学习过程中不也都经历类似的智能成长吗?
进位制
早期的人类似乎只会区分「一」与「多数」;随着语言的发展,人类开始能分辨一、二及多数。
现代某些语言仍然缺乏称呼较大数目的名词。
玻利维亚的西利欧那印第安人(SirionaIndians)及巴西的雅拿玛族(Yanoama)的语言中没有任何数目字是大于三的;这两个部落的人使用「许多」及「大量」描述大于三的数目,正所谓「三人成众」是也!
由于数字的可加性,数字的系统没有停留在三。
过了一段时间,聪明的人们开始将一些数字符串在一起,产生新的数字。
巴西的巴凯瑞族(Bacairi)及博洛洛族(Bororo)目前所使用的语言就显示出这个过程:
他们的数字系统由「一」、「二」、「二加一」、「二加二」、「二加二加一」……以此类推。
这些民族以二为单位计数,数学上称这个系统为「二进制」系统,其中「二」则称为进位系统的「基数」。
在计算器科学中使用最基本的进位制就是二进制制(除了二进制制之外,四进位、八进位及十六进制也都是计算器科学中常使用之进位方法)。
卡格的狼骨上刻了五十五个小记号,每五个为一组排列;在第廿五个小记号之后另外有一个记号。
由此看来,卡格似乎是以五为一组来计数,然后再计算组的数目。
现代的数学家称这样的计数法是「五进位」计数系统。
为什么选择五呢?
如果我们进一步寻求解释,你会发现这是一个主观的决定。
如果卡格决定以四个为一组计数,他的数字系统照样能运行;同样的,他也可以使用十或六十来计数。
分组的方法不会影响骨头上的刻痕总数,只会影响结算的方法。
也就是说,不管他使用什么「基数」作运算,最后得到的结果都是一样的。
古巴比伦人就是用六十进制制,希腊人、欧洲人将这系统运用于数学计算和天文学计算中,直到现在六十进制制仍被用于角度、时间等记录上。
然而,卡格就是比较喜欢以五为基数计数。
也许这是因为人的每只手有五根指头。
即使在南美洲的二进制系统中,语言学家也看到五进位系统的萌芽。
博洛洛人使用「一只手的指头总数」代替「二加二加一」。
明显地,古代的人喜欢使用身体的部位计数,例如:
五(一只手)、十(双手)及二十(双手双脚)是他们最喜欢使用的基数。
在英文,中十一(eleven)及十二(twelve)似乎是由「比十多一」(oneover“ten”)、「比十多二」(twoover“ten”)衍生出来的,而十三、十四、十五……等等则是「三加十」、「四加十」、「五加十」的缩写。
由此,语言学家下了一个结论:
日耳曼语系的语言(包括英语)是以十为基本单位,因此,这些民族应该是使用十进制系统。
另一方面,在法语中八十是quatre-vingt(四个廿),九十是quatre-vingt-dix(四个廿加十);这可能代表从前住在法国这个地方的原始部落高庐人是使用廿进位系统来计数。
然而,这些系统中没有称为「零」的数字,零的观念根本不存在。
你永远不需要记录零只羊,商人不会说:
「我有零根香蕉。
」他会告诉你:
「我没有香蕉。
」你不需要一个数字来表达缺乏某件东西。
没有人需要使用某个符号来代表不存在。
这就是为什么人类可以长久安于没有零的生活。
人们根本不需要它,所以零一直没有出现。
计数法
埃及象形文字
以十为基数,每一个数字可能有若干写法,以下分别为1、10、100、1000、10000、100000之写法:
而以上两个图形分别表示106及107,这种记法的缺点是每一个更高的单位都须要创造一个新的符号。
埃及的僧侣文
出现在世界上最古老的数学书赖固德纸草书上(于1858为赖固德(Rhind)所得,现藏在伦敦不列颠博物馆),是从象形文字发展而来的,以下为不同数字的表示法:
采用十进制制;然而,除了1、2、3、…、9各有符号外,10、20、30、…、90以及100、200、300、…、900等都有特殊符号。
使用这种记数法的缺点是得记住很多符号。
下面是一些例子:
这种记数法我们称为「简单累数制」。
巴比伦楔形文字
早在公元前4、5千年,两河流域的苏美尔人(Sumerian)用木笔把楔形符号刻在软泥版上,日后被称为楔形文字,也是目前我们所知道最早的文字。
后来楔形文字传给巴比伦人(公元前19世纪至公元前6世纪),巴比伦的工程师及建筑师为了日常生活中的职业需要,发展出一套记数方法是10进位和60进位的混合物,60以下用10进位、60以上用60进位。
而上面两个图形分别表示11及1×60+12=72。
例如﹕
(1)(50+7)(30+6)(10+5)
表示1×603+57×602+36×60+15=423,375
这样计数有很大的缺点,就是有时会分不清哪个数码是在什么位置上,而产生困扰。
例如:
可能表示3,也可能表示1×602+1×60+1=3661
使用「零」是这个问题的解答。
经过一千多年的摸索,在公元前三○○年左右,巴比伦人开始使用两个倾斜的楔形文字
做为「零」的符号,来代表空白的位置。
(请注意﹕这的写法不同与20
)。
例如:
这种记数法我们称为「位值制」。
对巴比伦人来说,零只是个位置记号,不是个数目–它没有数值。
罗马数码
12世纪前盛行于欧洲,目前在某些地方我们仍然使用着,如书本的卷数、章节的序号、正文前的页码等。
其记数方式是用拉丁大写的字母来表示数目:
I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
每一个数都要自左至右书写,单位是大到小排列,如果较小单位写在较大单位之左,则用「减法原则」。
例如:
IV表示5-1=4、VI表示5+1=6、IX表示10-1=9、XI表示10+1=11等,而XXCIIII则代表100-20+4=84。
试试看:
将3888用罗马数码表示
Ans:
MMMDCCCLXXXVIII(请将答案做成连结)
中国数字
中国自古以来便使用10进位制,仅用十三个数字为一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万,就可以表示相当大的数目,如:
二十一万四千五百五十七(=214557),这个数目在甲骨文中已经出现(约4500年前)。
将两个字合起来写,就构成其它的数字,例如:
表示200
表示300
表示500
表示2656
后来,万以上的数又加了一些新字以表示更大的单位,如:
亿、兆、京、垓(ㄍㄞ)、秭(ㄗˇ)、壤、沟、涧、正、载,更有人在载之后增加一个更大的数叫「恒河沙」,天晓得这个数有多大!
汉朝所著「数书记遗」书中说:
「黄帝为法,数有十等,及其用也,乃有三焉。
十等者,亿、兆、京、秭、壤、沟、涧、正、载。
三等者,谓上、中、下也。
其下数者,十十变之,若言十万曰亿,十亿曰兆,十兆曰京也。
中数者,万万变之,若言万万曰亿,万万亿曰兆,万万兆曰京也。
上数者穷则变,若言万万曰亿,亿亿曰兆,兆兆曰京也。
从亿至载,终于大衍。
下数浅短,计数则不尽,上数宏廓,世不可用。
其传业,惟以中数耳。
」十年前大陆的某记载,说北京约有三兆人口,可见他们当时用的是下数。
在广播业中,称百万赫为「兆赫」,便是采用大陆的这种译名。
在台湾我们用的记数法则类似中数,但改万万进位为万进位。
这是清代官方订的记数法,载于清朝康熙年间所编的官定教科书「数理精蕴」里。
中国算筹计数
1、2、3、4、5、6、7、8、9之表示法有纵、横两式:
纵式
横式
记数时,个位用纵式,其余纵横相间,空一格表示「零」,例如:
=3763
=3703
由于纵横相间而且个位又必需是纵式,所以数字的位值不致弄错。
中国还有用汉字来表示数,例如:
3764用汉字记法就是三千七百六十四或是简写成三七六四,也有用大写来表示,如参仟柒佰陆拾肆,是为了避免涂改而使用的。
印度-阿拉伯数码
是现今国际通用的数码,采十进制制。
6世纪以前即由印度人所发明,后来传入阿拉伯国家。
公元十二世纪后传入欧洲,又经过几百年的改革,这种数字成为我们今天使用的印度─阿拉伯数码。
在欧洲人的印象中,这些数码来自阿拉伯国家,所以称之为阿拉伯数码,这个名称就一直沿用下来。
「零」及古文明中的数学发展
巴比伦古国位于贸易航线上,商业活动频繁。
巴比伦人利用他们的算术知识,得以有效地处理金钱兑换、商品交换、计算利润、税额、分配收成、划分田地及遗产等问题并发展出了基本的代数学。
由于整数和分数写法的进展,巴比伦人发展了优越的算术以及代数。
——这也要归功于「零」符号的出现(虽然「零」只是个位置符号)。
巴比伦人用特殊的术语和符号代表未知数,使用运算符号,他们解出了几种形式的一元及多元方程式。
他们将算术广泛地应用到实际问题,其是天文及水利方面。
在干燥炎热的气候中,经由他们的运河、水坝和其它灌溉计划,底格里斯河及幼发拉底河,让旱地变成了沃土,也让巴比伦成为繁荣富庶、人口众多的城市。
想想看!
这需要多么大量的计算功夫。
由于没有零,埃及人从未曾发展方便的运算数字的方法,尤其是分数。
埃及人的算术基础是建立在「倍乘」的观念上,埃及人的乘和除,基本上是利用加法运算,例如
埃及人需要用到下列的〝乘法表〞:
1
12
2
24
4
48
8
96
这和我们现在惯用的方式
不同。
不过,显然古埃及人已经熟知整数的乘法及加法的基本性质——加法及乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
埃及人的整数除法也是相当有趣的,例如:
:
1
8
2
16ˇ
4
2ˇ
1ˇ
结果为
埃及人在几何方面十分有成就。
其中有一种说法认为几何是「尼罗河的礼物」,尼罗河水每年一次的定期泛滥,淹没河流两岸的谷地。
大水过后,法老要重新分配土地,长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学──geometry(几何)的geo表示土地,metron表示测量。
古埃及与巴比伦的数学都是建立于经验累积之上。
直线指的就是拉紧了的绳索或田地的边界(古埃及的测量工具为绳索,因而称测量员为拉绳人);希腊语的hypotenuse(斜边)实际上是「拉紧在……之下」的意思──拉紧在直角三角形的两股之下。
平面只不过是一片平坦土地的表面,长方形就是田地的周界,长方形的面积即是土地的面积,两数相乘即是长方形的面积。
古埃及人与巴比伦人把他们的数学用到许多实际的问题上。
在留下的草纸及瓦片上,我们可以看到期票、信用状、抵押、延期付款以及商业盈利的分配。
但他们在了解或推展数学方面的贡献都不怎么样。
他们累积一些简单公式,还有无数的规则或技巧,但都只能回答特殊情形下所引起的问题。
他们无从建立理论,以连结或阐明许多观察结果之间的关系。
希腊人则不然。
他们定居下来之后,便与埃及人及巴比伦人交往,学习埃及人及巴比伦人的数学知识,加以更进一步的探讨及推广。
在研究的态度上古希腊人和埃及人、巴比伦人是截然不同的,他们在计算出结果之后,犹不满足,必须用尽他们想得出的最好方法,严格的逻辑来加以证明。
虽然如此,希腊人仍然没有把零纳入他们的数字系统,「零」在古希腊数学的架构中是没有地位的。
事实上,希腊人继承了埃及人的几何学;在希腊数学中「图形」与「数字」其实是同一回事。
图形与数字的共通性使得希腊人成为几何大师。
然而,它妨碍希腊人把零看成一个数字——毕竟,零在几何上似乎没有任何意义。
对于希腊人而言,数被视为长度或是面积,两个数字的乘积等于一个长方形的面积。
想想看,一个长是零而且宽是零的长方形的面积是什么?
很难想象某个没有长也没有宽的形状会是长方形……根本没有东西存在。
这也意味着零的乘积没有意义,零表示一无所有。
所以,希腊人选择不把零纳入数字系统。
对古代的人而言,零的性质是难以理解的,因为零与其它数字大不相同。
任何数字加上一个数字,结果会变成另一个数字。
一加一不等于一,它的答案是二。
二加二的答案是四。
但是,零加上零却等于零;这违反了数学运算的基本原则——阿基米得公设(axiomofArchimedes),也就是任何数字一再相加,最后的总和会远超过任何数字。
(当然,阿基米得公设中的数字是表示面积。
)零拒绝变大,也拒绝让其它数字变大。
二加上零还是等于二;什么事也没发生,就好像没有进行这项运算。
同样的情形也出现在减法的运算里。
二减去零,还是得到二。
这个诡异的数字对数学产生威胁,它不但破坏了数的加法及减法运算,也破坏了数的另外两个基本运算——乘法及除法。
我们可以把乘、除法看成是长度的伸缩。
考虑一条伸缩自如的绳子;实在一点,一条弹簧吧!
乘以二的运算可以想象为将弹簧拉长两倍;除以二的运算可以被想象为将弹簧收缩成原来的一半。
可见,除法会将乘法还原;同样地,乘法也会将除法还原。
但是,当你乘上零时,会发生什么事?
弹簧不见了?
!
零乘上任何数字的答案一定是零,因为数字还必须拥有「分配律」。
我们知道0+0=0,所以任何数乘上0与这个数乘上(0+0)是一样的。
以2为例:
2×0=2×(0+0)
按照分配律
2×(0+0)=2×0+2×0
所以2×0=2×0+2×0。
也就是说,不论2×0是什么,它加上自己还是等于自己。
这个性质就像零一样。
如果我们从等式的两边同时减去2×0,最后就得到0=2×0。
因此,任何数乘以零的结果一定是零。
但是,零最麻烦的地方不是在乘法运算,而是在进行除法运算的时候。
之前,我们得到2×0=0。
因此,若要将这个乘法运算还原,我们应该得到(2×0)÷0等于2。
同样的,(3×0)÷0应该等于3;而(4×0)÷0也应该等于4。
然而,2×0、3×0、4×0都等于0,
所以
2=(2×0)÷0=0÷0
3=(3×0)÷0=0÷0
4=(4×0)÷0=0÷0
天啊!
这不就表示0÷0等于2,又同时等于3,也等于4吗?
这完全不合理!
当我们从另一个方向检视1÷0的时候,奇怪的事也发生了。
“乘以零”应该会还原“除以零”的结果,所以,(1÷0)×0应该等于1。
然而,我们知道任何数乘以零的答案还是零!
所以,没有任何数目乘以零,可以得到1。
某个数字除以零,这根本就超出希腊人的数字规则!
因此,零是不被允许的。
希腊人拒绝零并非出于无知,也不完全是因为数字受几何图形的限制。
亚里士多德主张,不可能存在无限多层层环绕的星球。
由于采用这套哲学,西方没有「无限」存在的余地,然而「零」和「无限」却又是挛生兄弟,亚里士多德拒绝「无限」就必须拒绝「零」。
查尔斯.席夫在《零的故事》一书中提到:
「零」与西方哲学的基本信念相冲突,因为「零」包含着两个危险的概念一—空无和无限(「撒旦(Satan)」的字面意义就是「无」)。
幸好!
在印度情况完全不同,在印度的宗教中,空无占有重要的地位。
在最早期的诸神时代,存在由不存在而生。
——吠陀经
公元前四世纪,由于亚历山大帝的波斯军队入侵印度,印度的数学家认识了巴比伦的数字系统及「零」。
印度的数学家不仅接受「零」,他们还把「零」由位置记号转变为数字。
印度人显然不像希腊人那样深深着迷于平面图形。
印度的数字系统让他们可以巧妙地进行加、减、乘、除的运算。
他们采用十进制位值系统,所以他们可以使用与我们今日类似的方式进行大数目的加减运算。
数字终于脱离几何学,数字的应用不再仅止于测量。
印度人不像希腊人一样把两个数字的乘积视为长方形的面积;印度人看到数字之间的相互作用——脱去几何卷标的数字,这就是「代数」的诞生。
虽然这种思考方式使印度人对几何学没有太多的贡献,但它有个出人意外的影响:
它使印度人挣脱希腊的思想体系,以及希腊人对零的抗拒。
一旦数字摆脱它们的几何卷标,就不需要再担心数学运算是否符合几何意义。
虽然,我们不能从两亩地中挪走三亩地,但是,我们仍然可以做
的运算。
现在我们都知道二减三等于
。
然而,这样的运算在古代并不是那么显而易见,当时他们若解出方程式的答案为负数时,就认为无解。
毕竟,如果以几何的角度来看,负的面积是什么意义?
这在希腊人的眼中实在不合理。
对印度人而言,负数是很合理的。
事实上,负数的首次出现就在印度(还有中国)。
公元七世纪的印度数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta)为负数的除法定下规则:
「正数除以正数,或负数除以负数,答案是正数;正数除以负数,或负数除以正数,答案是负数。
」这也是我们现代所使用的规则:
当两个性质符号相同的数字相除时,结果为正数。
就像2减3的结果是个数字,2减2也是个数字;它的答案是零。
零不只是个位置符号;零自己就是个数字,它有特定的数值,在数在线拥有固定的位置。
既然零等于2减2,那么它一定要被放在2减1与2减3之间——也就是1与
之间。
再也没有比这更合理的安排。
零终于在数在线登场!
然而,即便是印度人,也觉得零是很怪异的数字。
毕竟,零乘上任何数字都等于零;它吞噬了所有东西。
而且,当你以零做除数的时候,天下大乱。
婆罗摩笈多试着搞清楚0÷0与1÷0是多少,他写道:
「零除以零得到零,任何正数或负数除以零是一个以零为分母的分数。
」换句话说,他认为0÷0=0,这是错的!
而且,对于1÷0他也说不出个所以然。
婆罗摩笈多的错误并没有持续很久,印度人便发觉1÷0的答案是无限。
十二世纪的印度数学家婆什迦罗(Bhaskara)谈到1÷0所得到的数值时,他说:
「分母为零的分数是无法计量的。
即使你再加上或减去很大的数目,结果还是没有改变。
就像无穷大与不朽的神,永远不会发生任何改变。
」
对于「零」的发明,许多历史书上说,观念的突破在于为「什么都没有」发明了一个符号。
也许对于算术的实用性而言,这的确是一项突破,但是对于数学本身来说,更重要的是在于出现了一种新的数,一个代表「什么都没有」这个抽象概念的数。
参考数据﹕
1.《零的故事:
动摇哲学、科学、数学、宗教的概念》(Zero:
TheBiographyofaDangerousIdea),查尔斯.席夫着,吴蔓玲译,商周出版,台北市,1999。
2.经验累积而成的数学—巴比伦与埃及数学的探讨,曹亮吉,原载于科学月刊第十五卷第二期。
http:
//episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_15_02_1/index.html
3.记数制度,淡江大学数学系网页—数学欣赏,http:
//www.math.tku.edu.tw/mathhall/mathinfo/lwymath.htm
4.数学史,教育信息站数学网
http:
//www.edp.ust.hk/math/
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