陕西省中考数学模拟冲刺.docx
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陕西省中考数学模拟冲刺
2017年陕西省中考数学真题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2017•陕西)计算:
(﹣)2﹣1=( )
A.﹣B.﹣C.﹣D.0
【考点】有理数的混合运算.
【解答】解:
原式=﹣1=﹣,
故选C
2.(3分)(2017•陕西)如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的,则它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】简单组合体的三视图.
【解答】解:
从正面看下边是一个较大的矩形,上边是一个较小的矩形,
故选:
B.
3.(3分)(2017•陕西)若一个正比例函数的图象经过A(3,﹣6),B(m,﹣4)两点,则m的值为( )
A.2B.8C.﹣2D.﹣8
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【解答】解:
设正比例函数解析式为:
y=kx,
将点A(3,﹣6)代入可得:
3k=﹣6,
解得:
k=﹣2,
∴函数解析式为:
y=﹣2x,
将B(m,﹣4)代入可得:
﹣2m=﹣4,
解得m=2,
故选:
A.
4.(3分)(2017•陕西)如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上,若∠1=25°,则∠2的大小为( )
A.55°B.75°C.65°D.85°
【考点】平行线的性质.
【解答】解:
∵∠1=25°,
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣25°=65°.
∵a∥b,
∴∠2=∠3=65°.
故选:
C.
5.(3分)(2017•陕西)化简:
﹣,结果正确的是( )
A.1B.
C.D.x2+y2
【考点】分式的加减法.
【解答】解:
原式=
=
.
故选B
6.(3分)(2017•陕西)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中点A′与点A重合,点C′落在边AB上,连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,则B′C的长为( )
A.3B.6C.3D.
【考点】勾股定理.
【解答】解:
∵∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,
∴AB=
=3,∠CAB=45°,
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同,
∴∠C′AB′=∠CAB=45°,AB′=AB=3,
∴∠CAB′=90°,
∴B′C=
=3,
故选:
A.
7.(3分)(2017•陕西)如图,已知直线l1:
y=﹣2x+4与直线l2:
y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的交点为A(﹣2,0),则k的取值范围是( )
A.﹣2<k<2B.﹣2<k<0C.0<k<4D.0<k<2
【考点】两条直线相交或平行问题;一次函数图象上点的坐标特征.
【解答】解:
∵直线l2与x轴的交点为A(﹣2,0),
∴﹣2k+b=0,
∴
解得
∵直线l1:
y=﹣2x+4与直线l2:
y=kx+b(k≠0)的交点在第一象限,
∴
解得0<k<2.
故选:
D.
8.(3分)(2017•陕西)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE交AE于点F,则BF的长为( )
A.
B.
C.D.
【考点】相似三角形的判定与性质;矩形的性质.
【解答】解:
如图,连接BE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=2,BC=AD=3,∠D=90°,
在Rt△ADE中,AE=
=
=,
∵S△ABE=S矩形ABCD=3=•AE•BF,
∴BF=
.
故选B.
9.(3分)(2017•陕西)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠C=30°,⊙O的半径为5,若点P是⊙O上的一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为( )
A.5B.C.5D.5
【考点】三角形的外接圆与外心;等腰三角形的性质.
【解答】解:
连接OA、OB、OP,
∵∠C=30°,
∴∠APB=∠C=30°,
∵PB=AB,
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°,
∵PB=AB,
∴OB⊥AP,AD=PD,
∴∠OBP=∠OBA=60°,
∵OB=OA,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=5,
则Rt△PBD中,PD=cos30°•PB=×5=,
∴AP=2PD=5,
故选D.
10.(3分)(2017•陕西)已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′,若点M′在这条抛物线上,则点M的坐标为( )
A.(1,﹣5)B.(3,﹣13)C.(2,﹣8)D.(4,﹣20)
【考点】二次函数的性质.
【解答】解:
y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=(x﹣m)2﹣m2﹣4.
∴点M(m,﹣m2﹣4).
∴点M′(﹣m,m2+4).
∴m2+2m2﹣4=m2+4.
解得m=±2.
∵m>0,
∴m=2.
∴M(2,﹣8).
故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)
11.(3分)(2017•陕西)在实数﹣5,﹣,0,π,中,最大的一个数是 π .
【考点】实数大小比较.
【解答】解:
根据实数比较大小的方法,可得
π>>0>>﹣5,
故实数﹣5,,0,π,其中最大的数是π.
故答案为:
π.
12.(3分)(2017•陕西)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.
A.如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=52°,则∠1+∠2的度数为 64° .
°15′≈ .(结果精确到)
【考点】计算器—三角函数;计算器—数的开方;三角形内角和定理.
【解答】解:
A、∵∠A=52°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=128°,
∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB,
∴∠1=∠ABC、∠2=∠ACB,
则∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=64°,
故答案为:
64°;
B、tan38°15′≈×≈,
故答案为:
.
13.(3分)(2017•陕西)已知A,B两点分别在反比例函数y=(m≠0)和y=(m≠)的图象上,若点A与点B关于x轴对称,则m的值为 1 .
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【解答】解:
设A(a,b),则B(a,﹣b),
依题意得:
,
所以
=0,即5m﹣5=0,
解得m=1.
故答案是:
1.
14.(3分)(2017•陕西)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为 18 .
【考点】全等三角形的判定与性质.
【解答】解:
如图,作AM⊥BC、AN⊥CD,交CD的延长线于点N;
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴四边形AMCN为矩形,∠MAN=90°;
∵∠BAD=90°,
∴∠BAM=∠DAN;
在△ABM与△ADN中,
,
∴△ABM≌△ADN(AAS),
∴AM=AN(设为λ);△ABM与△ADN的面积相等;
∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积;
由勾股定理得:
AC2=AM2+MC2,而AC=6;
∴2λ2=36,λ2=18,
故答案为:
18.
三、解答题(本大题共11小题,共78分)
15.(5分)(2017•陕西)计算:
(﹣)×+|﹣2|﹣()﹣1.
【考点】二次根式的混合运算;负整数指数幂.
【解答】解:
原式=﹣+2﹣﹣2
=﹣2﹣
=﹣3
16.(5分)(2017•陕西)解方程:
﹣=1.
【考点】解分式方程.
【解答】解:
去分母得,(x+3)2﹣2(x﹣3)=(x﹣3)(x+3),
去括号得,x2+6x+9﹣2x+6=x2﹣9,
移项,系数化为1,得x=﹣6,
经检验,x=﹣6是原方程的解.
17.(5分)(2017•陕西)如图,在钝角△ABC中,过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P,使得点P到AC的距离等于BP的长.(保留作图痕迹,不写作法)
【考点】作图—基本作图.
【解答】解:
如图,点P即为所求.
18.(5分)(2017•陕西)养成良好的早锻炼习惯,对学生的学习和生活都非常有益,某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况,校政教处在七年级随机抽取了部分学生,并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x(分钟)进行了调查.现把调查结果分成A、B、C、D四组,如下表所示,同时,将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图.
请你根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图和扇形统计图;
(2)所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在 C 区间内;
(3)已知该校七年级共有1200名学生,请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟.(早锻炼:
指学生在早晨7:
00~7:
40之间的锻炼)
【考点】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;扇形统计图;中位数.
【解答】解:
(1)本次调查的总人数为10÷5%=200,
则20~30分钟的人数为200×65%=130(人),
D项目的百分比为1﹣(5%+10%+65%)=20%,
补全图形如下:
(2)由于共有200个数据,其中位数是第100、101个数据的平均数,
则其中位数位于C区间内,
故答案为:
C;
(3)1200×(65%+20%)=1020(人),
答:
估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟.
19.(7分)(2017•陕西)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF、CE交于点G.求证:
AG=CG.
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
【解答】证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADF=CDE=90°,AD=CD.
∵AE=CF,
∴DE=DF,
在△ADF和△CDE中
,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴∠DAF=∠DCE,
在△AGE和△CGF中,
,
∴△AGE≌△CGF(AAS),
∴AG=CG.
20.(7分)(2017•陕西)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不易到达,每年初春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离,于是,有一天,他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离.测量方法如下:
如图,首先,小军站在“聚贤亭”的A处,用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为米,然后,小军在A处蹲下,用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°,这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米.请你利用以上测得的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米).(参考数据:
sin23°≈,cos23°≈,tan23°≈,sin24°≈,cos24°≈,tan24°≈.)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【解答】解:
如图,作BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为点D、E,
设AN=x米,则BD=CE=x米,
在Rt△MBD中,MD=x•tan23°,
在Rt△MCE中,ME=x•tan24°,
∵ME﹣MD=DE=BC,
∴x•tan24°﹣x•tan23°=﹣1,
∴x=
,解得x≈34(米).
答:
“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米.
21.(7分)(2017•陕西)在精准扶贫中,某村的李师傅在县政府的扶持下,去年下半年,他对家里的3个温室大棚进行修整改造,然后,1个大棚种植香瓜,另外2个大棚种植甜瓜,今年上半年喜获丰收,现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完,他高兴地说:
“我的日子终于好了”.
最近,李师傅在扶贫工作者的指导下,计划在农业合作社承包5个大棚,以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜,他根据种植经验及今年上半年的市场情况,打算下半年种植时,两个品种同时种,一个大棚只种一个品种的瓜,并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下:
品种
项目
产量(斤/每棚)
销售价(元/每斤)
成本(元/每棚)
香瓜
2000
12
8000
甜瓜
4500
3
5000
现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个,明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后,获得的利润为y元.
根据以上提供的信息,请你解答下列问题:
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)求出李师傅种植的8个大棚中,香瓜至少种植几个大棚?
才能使获得的利润不低于10万元.
【考点】一次函数的应用.
【解答】解:
(1)由题意得,
y=(2000×12﹣8000)x+(4500×3﹣5000)(8﹣x)
=7500x+68000,
(2)由题意得,7500x+6800≥100000,
∴x≥4,
∵x为整数,
∴李师傅种植的8个大棚中,香瓜至少种植5个大棚.
22.(7分)(2017•陕西)端午节“赛龙舟,吃粽子”是中华民族的传统习俗.节日期间,小邱家包了三种不同馅的粽子,分别是:
红枣粽子(记为A),豆沙粽子(记为B),肉粽子(记为C),这些粽子除了馅不同,其余均相同.粽子煮好后,小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子,一个豆沙粽子和一个肉粽子;给一个花盘中放入了两个肉粽子,一个红枣粽子和一个豆沙粽子.
根据以上情况,请你回答下列问题:
(1)假设小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是多少?
(2)若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子,再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子,请用列表法或画树状图的方法,求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率.
【考点】列表法与树状图法;概率公式.
【解答】解:
(1)由题意可得,
小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是:
=,
即小邱从白盘中随机取一个粽子,恰好取到红枣粽子的概率是;
(2)由题意可得,出现的所有可能性是:
(A,A)、(A,B)、(A,C)、(A,C)、
(A,A)、(A,B)、(A,C)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)、(C,C),
∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是:
.
23.(8分)(2017•陕西)如图,已知⊙O的半径为5,PA是⊙O的一条切线,切点为A,连接PO并延长,交⊙O于点B,过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D,连接BC,当∠P=30°时,
(1)求弦AC的长;
(2)求证:
BC∥PA.
【考点】切线的性质.
【解答】解:
(1)连接OA,
∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAO=90°
∵∠P=30°,
∴∠AOD=60°,
∵AC⊥PB,PB过圆心O,
∴AD=DC
在Rt△ODA中,AD=OA•sin60°=
∴AC=2AD=5
(2)∵AC⊥PB,∠P=30°,
∴∠PAC=60°,
∵∠AOP=60°
∴∠BOA=120°,
∴∠BCA=60°,
∴∠PAC=∠BCA
∴BC∥PA
24.(10分)(2017•陕西)在同一直角坐标系中,抛物线C1:
y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2:
y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A、B两点,其中点A在点B的左侧.
(1)求抛物线C1,C2的函数表达式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出P、Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【解答】解:
(1)∵C1、C2关于y轴对称,
∴C1与C2的交点一定在y轴上,且C1与C2的形状、大小均相同,
∴a=1,n=﹣3,
∴C1的对称轴为x=1,
∴C2的对称轴为x=﹣1,
∴m=2,
∴C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3,C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3;
(2)在C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中,令y=0可得x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或x=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0);
(3)存在.
∵AB的中点为(﹣1,0),且点P在抛物线C1上,点Q在抛物线C2上,
∴AB只能为平行四边形的一边,
∴PQ∥AB且PQ=AB,
由
(2)可知AB=1﹣(﹣3)=4,
∴PQ=4,
设P(t,t2﹣2t﹣3),则Q(t+4,t2﹣2t﹣3)或(t﹣4,t2﹣2t﹣3),
①当Q(t+4,t2﹣2t﹣3)时,则t2﹣2t﹣3=(t+4)2+2(t+4)﹣3,解得t=﹣2,
∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5,
∴P(﹣2,5),Q(2,5);
②当Q(t﹣4,t2﹣2t﹣3)时,则t2﹣2t﹣3=(t﹣4)2+2(t﹣4)﹣3,解得t=2,
∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3,
∴P(2,﹣3),Q(﹣2,﹣3),
综上可知存在满足条件的点P、Q,其坐标为P(﹣2,5),Q(2,5)或P(2,﹣3),Q(﹣2,﹣3).
25.(12分)(2017•陕西)问题提出
(1)如图①,△ABC是等边三角形,AB=12,若点O是△ABC的内心,则OA的长为 4 ;
问题探究
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=12,AD=18,如果点P是AD边上一点,且AP=3,那么BC边上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分?
若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)某城市街角有一草坪,草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成,如图③所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头,以后,他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水,并且在用喷灌龙头浇水时,既要能确保草坪的每个角落都能浇上水,又能节约用水,于是,他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB(即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回,这样往复喷灌.)同时,再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.
如图③,已测出AB=24m,MB=10m,△AMB的面积为96m2;过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E,又测得DE=8m.
请你根据以上信息,帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时,才能实现他的想法?
为什么?
(结果保留根号或精确到米)
【考点】圆的综合题.
【解答】解:
(1)如图1,过O作OD⊥AC于D,则AD=AC=×12=6,
∵O是内心,△ABC是等边三角形,
∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°,
在Rt△AOD中,cos∠OAD=cos30°=,
∴OA=6÷=4,
故答案为:
4;
(2)存在,如图2,连接AC、BD交于点O,连接PO并延长交BC于Q,则线段PQ将矩形ABCD的面积平分,
∵点O为矩形ABCD的对称中心,
∴CQ=AP=3,
过P作PM⊥BC于点,则PM=AB=12,MQ=18﹣3﹣3=12,
由勾股定理得:
PQ=
=
=12;
(3)如图3,作射线ED交AM于点C
∵AD=DB,ED⊥AB,是劣弧,
∴所在圆的圆心在射线DC上,
假设圆心为O,半径为r,连接OA,则OA=r,OD=r﹣8,AD=AB=12,
在Rt△AOD中,r2=122+(r﹣8)2,
解得:
r=13,
∴OD=5,
过点M作MN⊥AB,垂足为N,
∵S△ABM=96,AB=24,
∴AB•MN=96,
×24×MN=96,
∴MN=8,NB=6,AN=18,
∵CD∥MN,
∴△ADC∽△ANM,
∴
,
∴
,
∴DC=,
∴OD<CD,
∴点O在△AMB内部,
∴连接MO并延长交于点F,则MF为草坪上的点到M点的最大距离,
∵在上任取一点异于点F的点G,连接GO,GM,
∴MF=OM+OF=OM+OG>MG,
即MF>MG,
过O作OH⊥MN,垂足为H,则OH=DN=6,MH=3,
∴OM=
=
=3,
∴MF=OM+r=3+13≈(米),
答:
喷灌龙头的射程至少为米.
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