广安市中考数学必考题拓展探究26题二次函数的综合题 祝林华.docx
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广安市中考数学必考题拓展探究26题二次函数的综合题祝林华
(2007•广安)已知抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C。
(1)求点A、B、C的坐标。
(2)若点M为抛物线的顶点,连接BC、CM、BM,求△BCM的面积。
(3)连接AC,在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
(2008•广安)已知抛物线
经过点(1,-5)和(-2,4)
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)设此抛物线与直线
相交于点A,B(点B在点A的右侧),平行于
轴的直线
与抛物线交于点M,与直线
交于点N,交
轴于点P,求线段MN的长(用含
的代数式表示).
(3)在条件
(2)的情况下,连接OM、BM,是否存在
的值,使△BOM的面积S最大?
若存在,请求出
的值,若不存在,请说明理由.
(2009•广安)抛物线
与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA、OC的长(OA 的两个根,且抛物线的对称轴是直线 . (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求此抛物线的解析式; (3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),过点D作DE∥BC交AC于点E,连结CD,设BD的长为m,△CDE 的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取 值范围.S是否存在最大值? 若存在,求出最大值并求此时D点坐标;若不存在,请说明理由. (2010•广安)直线 与抛物线 都经过点 、 . (1)求抛物线的解析式; (2)动点P在线段AC上,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E,求线段PE长度的最大值; (3)当线段PE的长度取得最大值时,在抛物线上是否存在点Q,使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形? 若存在,请求出Q点的坐标;若不存在.请说明理由. (2011•广安)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A( ),B( ),D(3,0).连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线 经过点D、M、N. (1)求抛物线的解析式. (2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大? 并求出最大值. (2012•广安)在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠AOB= ,将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°,得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°,得到△OA2B1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2. (1)求抛物线的解析式. (2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,△PBB1的面积最大? 求出这时点P的坐标. (3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为 ? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. (2013•广安)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0). (1)求此抛物线的解析式. (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D. ①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标; ②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.(结果保留根号) (2013•攀枝花)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(1.0),C(0,-3). (1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标; (3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得△ADM是直角三角形? 若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. (2013•遵义)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 (4,- ),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边). (1)求抛物线的解析式及A、B两点的坐标; (2)在 (1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小? 若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由; (3)以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式. (2013•自贡)如图,已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA= (1)求抛物线的解析式; (2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值; (3)在 (2)中四边形BMCA面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆? 若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由. (2013•资阳)如图,四边形ABCD是平行四边形,过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),与x轴的另一交点为E,连结CE,点A、B、D的坐标分别为(-2,0)、(3,0)、(0,4). (1)求抛物线的解析式; (2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F,交线段CD于点K,点M、N分别是直线l和x轴上的动点,连结MN,当线段MN恰好被BC垂直平分时,求点N的坐标; (3)在满足 (2)的条件下,过点M作一条直线,使之将四边形AECD的面积分为3: 4的两部分,求出该直线的解析式. (2013•珠海)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上,且长分别为m、4m(m>0),D为边AB的中点,一抛物线l经过点A、D及点M(-1,-1-m). (1)求抛物线l的解析式(用含m的式子表示); (2)把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处,连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E,若抛物线l与线段CE相交,求实数m的取值范围; (3)在满足 (2)的条件下,求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标. (2013•张家界)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC. (1)求直线CD的解析式; (2)求抛物线的解析式; (3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证: △CEQ∽△CDO; (4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问: 在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值? 若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由. (2013•湛江)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5). (1)求此抛物线的解析式; (2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系,并给出证明; (3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2013•玉林)如图,抛物线y=-(x-1)2+c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A(-1,0). (1)求点B,C的坐标; (2)判断△CDB的形状并说明理由; (3)将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0<t<3)得到△QPE.△QPE与△CDB重叠部分(如图中阴影部分)面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. (2013•营口)如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标. (2)试判断△BCD的形状,并说明理由. (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似? 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2013•宜宾)如图,抛物线y1=x2-1交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2,两条抛物线相交于点C. (1)请直接写出抛物线y2的解析式; (2)若点P是x轴上一动点,且满足∠CPA=∠OBA,求出所有满足条件的P点坐标; (3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得△QOC中OC边上的高h有最大值? 若存在,请求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由. (2013•烟台)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(- 0) ,以0C为直径作半圆,圆心为D. (1)求二次函数的解析式; (2)求证: 直线BE是⊙D的切线; (3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值? 若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由. (2013•徐州)如图,二次函数y= x2+bx- 的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E. (1)请直接写出点D的坐标: (2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值; (3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形? 若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由. (2013•孝感)如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F. (1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明); (2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合). ①AE=EF是否总成立? 请给出证明; ②在如图2的直角坐标系中,当点E滑动到某处时,点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上,求此时点F的坐标. (2013•梧州)如图,抛物线y=a(x-h)2+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C. (1)求此抛物线的解析式. (2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得△ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标. (3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点? 若是,请说明理由;若不是,请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标. (2013•泰安)如图,抛物线y= x2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0). (1)求该抛物线的解析式. (2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值. (3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标. (2013•遂宁)如图,抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A(2,0),交y轴于点B(0, )直线y=kx− 过点A与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点是D. (1)求抛物线y=− x2+bx+c与直线y=kx−(3/2)的解析式; (2)设点P是直线AD上方的抛物线上一动点(不与点A、D重合),过点P作 y轴的平行线,交直线AD于点M,作DE⊥y轴于点E.探究: 是否存在这样的点P,使四边形PMEC是平行四边形? 若存在请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在 (2)的条件下,作PN⊥AD于点N,设△PMN的周长为l,点P的横坐标为x,求l与x的函数关系式,并求出l的最大值. (2013•三明)如图,△ABC的顶点坐标分别为A(-6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直线BC翻折,点A的对应点为D,抛物线y=ax2-10ax+c经过点C,顶点M在直线BC上. (1)证明四边形ABCD是菱形,并求点D的坐标; (2)求抛物线的对称轴和函数表达式; (3)在抛物线上是否存在点P,使得△PBD与△PCD的面积相等? 若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2013•日照)已知,如图(a),抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°,|x1-x2|=8. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)连结AD、BD,在 (1)中的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP与△ADB相似(除去全等这一情况)? 若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由; (3)如图(b),点Q为弧EBF上的动点(Q不与E、F重合),连结AQ交y轴于点H,问: AH•AQ是否为定值? 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由 (2013•盘锦)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-1,0)、B(3,0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与O、B重合),过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上,OD=2,连接DE、OF. (1)求抛物线的解析式; (2)当四边形ODEF是平行四边形时,求点P的坐标; (3)过点A的直线将 (2)中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分,求这条直线的解析式.(不必说明平分平行四边形面积的理由) (2013•凉山州)如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长; (3)在 (2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似? 若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由. (2013•乐山)如图,已知抛物线C经过原点,对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M,与x轴相交于点N,且tan∠MON=3. (1)求抛物线C的解析式; (2)将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′,抛物线C′与x轴的另一交点为A,B为抛物线C′上横坐标为2的点. ①若P为线段AB上一动点,PD⊥y轴于点D,求△APD面积的最大值; ②过线段OA上的两点E,F分别作x轴的垂线,交折线O-B-A于点E1,F1,再分别以线段EE1,FF1为边作如图2所示的等边△EE1E2,等边△FF1F2.点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动,点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动.当△EE1E2与△FF1F2的某一边在同一直线上时,求时间t的值. (2013•济南)如图1,抛物线y=- x2+bx+c与x轴相交于点A,C,与y轴相交于点B,连接AB,BC,点A的坐标为(2,0),tan∠BAO=2,以线段BC为直径作⊙M交AB与点D,过点B作直线l∥AC,与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E,F. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)求点C的坐标和线段EF的长; (3)如图2,连接CD并延长,交直线l于点N,点P,Q为射线NB上的两个动点(点P在点Q的右侧,且不与N重合),线段PQ与EF的长度相等,连接DP,CQ,四边形CDPQ的周长是否有最小值? 若有,请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值;若没有,请说明理由. (2013•红河州)如图,抛物线y=-x2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,交直线BC于点E. (1)求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式; (2)求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标; (3)是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似? 若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (2013•河池)已知: 抛物线C1: y=x2.如图 (1),平移抛物线C1得到抛物线C2,C2经过C1的顶点O和A(2,0),C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D. (1)求抛物线C2的解析式; (2)探究四边形ODAB的形状并证明你的结论; (3)如图 (2),将抛物线C2向m个单位下平移(m>0)得抛物线C3,C3的顶点为G,与y轴交于M.点N是M关于x轴的对称点,点P(-4/3m,1/3m)在直线MG上.问: 当m为何值时,在抛物线C3上存在点Q,使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形? (2013•德阳)如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6),将△BCD沿BD折叠(D点在OC上),使C点落在OA边的E点上,并将△BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD边的F点上. (1)求BC的长,并求折痕BD所在直线的函数解析式; (2)过点F作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点,求抛物线解析式; (3)点P是矩形内部的点,且点P在 (2)中的抛物线上运动(不含B、D点),过点P作PN⊥BC,分别交BC和BD于点N、M,是否存在这样的点P,使S△BNM=S△BPM? 如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. (2013•达州)如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3.取BO的中点D,连接CD、MD和OC. (1)求证: CD是⊙M的切线; (2)二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标; (3)在 (2)的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q,使S△QAM= S△PDM? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. (2012•宜宾)如图,抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l: y=x-5上. (1)求抛物线顶点A的坐标; (2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状; (3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2012•湘潭)如图,抛物线y=ax2− x−2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. (2012•内江)如图,已知点A(-1,0),B(4,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,其顶点为M. (1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式; (2)试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系,并加以证明; (3)在抛物线上是否存在点N,使得S△BCN=4? 如果存在,那么这样的点有几个? 如果不存在,请说明理由. (2012•绵阳)如图1,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax2+ x+c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B(-3,0),M(0,-1).已知AM=BC. (1)求二次函数的解析式; (2)证明: 在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并请求出直线BD的解析式; (3)在 (2)的条件下,设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点,AC、BD相交于N. ①若直线l⊥BD,如图1,试求 + 的值; ②若l为满足条件的任意直线.如图2.①中的结论还成立吗? 若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例. (2012•甘孜州)如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为(6,0)和(0,8),抛物线y= x2+bx+c经过点B和G(-1,5). (1)求抛物线对应的函数关系式; (2)将△ABO沿x轴左方向平移得到△DCE,使得四边形ABCD是菱形,试判断点C、点D是否在该抛物线上,并说明理由; (3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,当△CDM面积最大时,求点M的坐标,并求出此时的最大面积. (2012•本溪)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B(-1,0)、C(3,0),交y轴于点A,将线段OB绕点O顺时针旋转90°,点B的对应点为点M,过点A的直线与x轴交于点D(4,0).直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合,∠FEH=90°,EF∥HG,EF=EH=1.直角梯形EFGH从点D开始,沿射线DA方向匀速运动,运动的速度为1个长度单位/秒,在运动过程中腰FG与直线AD始终重合,设运动时间为t秒. (1)求此抛物线的解析式; (2)当t为何值时,以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形; (3)作点A关于抛物线对称轴的对称点A′,直线HG与对称轴交于点K,当t为何值时,以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形? 请直接写出符合条件的t值. (2012•鞍山)如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°. (1)直接写出直线AB的解析式; (2)求点D的坐标; (3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF与△FCE相似? 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2013•重庆)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5). (1)求直线BC与抛物线的解析式; (2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值; (3)在 (2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标. (2013•重庆)如图,对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,其中点A的坐标为
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