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初二数学暑假衔接班讲义
初一数学基础知识
第一讲和绝对值有关的问题
一、知识结构框图:
数
二、绝对值的意义:
(1)几何意义:
一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
(2)代数意义:
①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;
③零的绝对值是零。
a当a为正数也可以写成:
|a|0当a为0
a当a为负数
说明:
(Ⅰ)|a|≥0即|a|是一个非负数;
(Ⅱ)|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题
例1.(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:
则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于(A)
知识改变命运态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识
A.-3aB.2c-aC.2a-2bD.b
解:
|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析:
解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号C)
A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号
解:
由题意,x、y、z在数轴上的位置如图所示:
所以
xzyzxyxz(yz)(xy)
0
分析:
数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?
分析:
从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。
那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解:
设甲数为x,乙数为y由题意得:
x3y,
(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:
若x在原点左侧,y在原点右侧,即x<0,y>0,则4y=8,所以y=2,x=-6若x在原点右侧,y在原点左侧,即x>0,y<0,则-4y=8,所以y=-2,x=6
(2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:
若x、y在原点左侧,即x<0,y<0,则-2y=8,所以y=-4,x=-12
若x、y在原点右侧,即x>0,y>0,则2y=8,所以y=4,x=12
例4.(整体的思想)方程x20082008x的解的个数是(D)
A.1个B.2个C.3个D.无穷多个
分析:
这道题我们用整体的思想解决。
将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程aa的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D。
知识改变命运态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识例5.(非负性)已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.
1
ab111
a1b1a2b2a2007b2007
分析:
利用绝对值的非负性,我们可以得到:
|ab-2|=|a-1|=0,解得:
a=1,b=2于是1
ab111
a1b1a2b2
1341
31
4120082009120081
2009a2007b2007121
21231
21
3
1
120092008
2009
在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果.同学们可
1111以再深入思考,24466820082010
如果题目变成求值,你有办法求解吗?
有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2,3与5,2与6,4与3.
并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
答:
____相等.
(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离
分析:
点BB所在的位置。
那么点A呢?
因
为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。
那么,如何求出A与B两点间的距离呢?
结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<-1时,距离为-x-1,当-1<x<0时,距离为x+1,当x>0,距离为x+1综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为x1
(3)结合数轴求得x2x3的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.
知识改变命运态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识分析:
x2即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离。
它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。
x3x(3)即x与-3的差的绝对值,
如图,x在数轴上的位置有三种可能:
图1图2图3
图2符合题意
(4)满足x1x43的x的取值范围为x<-4或x>-1
分析:
同理x1表示数轴上x与-1x4表示数轴上x与-4之间的距离。
本题即求,当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。
借助数轴,我们可以得到正确答案:
x<-4或x>-1。
说明:
借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。
这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。
事实上,AB表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。
这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。
四、小结
1.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性
2.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
第二讲:
代数式的化简求值问题
一、知识链接
1.“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识
二、典型例题
例1.若多项式2mx2x25x87x23y5x的值与x无关,
求m22m25m4m的值.
分析:
多项式的值与x无关,即含x的项系数均为零
因为2mx2x5x87x3y5x2m8x3y8222
所以m=4
将m=4代人,m22m25m4mm24m4161644
利用“整体思想”求代数式的值
例2.x=-2时,代数式ax5bx3cx6的值为8,求当x=2时,代数式ax5bx3cx6的值。
分析:
因为ax5bx3cx68
当x=-2时,25a23b2c68得到25a23b2c68,
所以25a23b2c8614
当x=2时,ax5bx3cx6=25a23b2c6(14)620
例3.当代数式x3x5的值为7时,求代数式3x9x2的值.
分析:
观察两个代数式的系数
由x3x57得x3x2,利用方程同解原理,得3x9x6整体代人,3x9x24
代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。
例4.已知aa10,求a2a2007的值.
分析:
解法一(整体代人):
由aa10得aaa0
所以:
a32a22007
322aaa20072aa2007解法二(降次):
方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。
12007
2008知识改变命运232232222222态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识由a2a10,得a21a,
所以:
a32a22007
aa2a2007(1a)a2a2007aa2a2007aa2007120072008222222
解法三(降次、消元):
a2a1(消元、、减项)
a2a2007
aaa200732232
a(aa)a2007
aa2007
12007
2008222
例5.(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:
A公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;B公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑,选择哪家公司有利?
分析:
分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入(元)
第一年:
A公司10000;B公司5000+5050=10050
第二年:
A公司10200;B公司5100+5150=10250
第n年:
A公司10000+200(n-1);
B公司:
[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]
=10050+200(n-1)
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。
ab
abacacbcbc例6.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且xa
ab
bc
c,
则axbxcx1的值是_______。
解:
因为abc<0,所以a、b、c中只有一个是负数,或三个都是负数
又因为a+b+c>0,所以a、b、c中只有一个是负数。
不妨设a<0,b>0,c>0
则ab<0,ac<0,bc>0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。
32
知识改变命运态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识
同理,当b<0,c<0时,x=0。
另:
观察代数式
aabbccabab
acac
bcbc
,交换a、b、c的位置,我们发现代
数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对a、b、c再讨论。
有兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些重要的性质。
规律探索问题:
例7.如图,平面____上,
“2008”在射线___________上.
(2)若n为正整数,则射线OA上数字的排列规律可以用含n的
代数式表示为__________________________.
分析:
OA上排列的数为:
1,7,13,19,„观察得出,这列数的后一项总比前一项多6,归纳得到,这列数可以表示为6n-5
因为17=3×6-1,所以17在射线OE上。
因为2008=334×6+4=335×6-2,所以2008在射线OD上
例8.将正奇数按下表排成5列:
第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725
根据上面规律,2007应在
A.125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列分析:
观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找第三列数:
3,11,19,27,规律为8n-5因为2007=250×8+7=251×8-1
所以,2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行,数是从第二列开始从小到大排列,
所以2007应该在第251行第5列
例9.(2006年嘉兴市)定义一种对正整数n的“F”运算:
①当n为奇数时,结果为3n+5;
n
k
n
k
②当n为偶数时,结果为2(其中k是使2为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:
F②第一次
F①第二次
F②第三次
26134411
„
知识改变命运态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识
若n=449,则第449次“F运算”的结果是__________.
n
分析:
问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算,即当n为偶数时,结果为
n
k2k(其中k是使2为奇数的正整数),要使所得的商为奇数,这个运算才能结束。
449奇数,经过“F①”变为1352;1352是偶数,经过“F②”变为169,
169是奇数,经过“F①”变为512,512是偶数,经过“F②”变为1,
1是奇数,经过“F①”变为8,8是偶数,经过“F②”变为1,
我们发现之后的规律了,经过多次运算,它的结果将出现1、8的交替循环。
再看运算的次数是449,奇数次。
因为第四次运算后都是奇数次运算得到8,偶数次运算得到1,
所以,结果是8。
三、小结
用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。
希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展,体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般,再由一般到特殊的重要方法。
第三讲:
与一元一次方程有关的问题
一、知识回顾
一元一次方程是我们认识的第一种方程,使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。
一元一次方程是初中代数的重要)D.0B.1C.-13
11
分析:
本题考查基本概念“方程的解”
因为x=-1是关于x的一元一次方程2xk
3x3k
2=1的解,
知识改变命运态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识所以2
(1)k
313k
2
3ax
31,解得k=-1311例2.若方程3x-5=4和方程10的解相同,则a的值为多少?
分析:
题中出现了两个方程,第一个方程中只有一个未知数x,所以可以解这个方程求得x的值;第二个方程中有a与x两个未知数,所以在没有其他条件的情况下,根本没有办法求得a与x的值,因此必须分析清楚题中的条件。
因为两个方程的解相同,所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程,第二个方程也就转化为一元一次方程了。
解:
3x-5=4,3x=9,x=3
因为3x-5=4与方程1
所以把x=3代人1
即13a3
33ax30的解相同3ax30中0得3-3a+3=0,-3a=-6,a=2
例3.(方程与代数式联系)
a、b、c、d为实数,现规定一种新的运算
(1)则1
122ac45bdadbc.的值为;
(2)当2(1x)18时,x=.
分析:
(1)即a=1,b=2,c=-1,d=2,因为
(2)由ac2
(1x)bdadbc4518,所以1122=2-(-2)=4得:
10-4(1-x)=18
所以10-4+4x=18,解得x=3
例4.(方程的思想)如图,一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶)
A.a
abB.b
abC.h
abD.h
ah
分析:
左右两个图中墨水的体积应该相等,所以这是个等积变换问题,我们可以用方程的
思想解决问题
解:
设墨水瓶的底面积为S,则左图中墨水的体积可以表示为Sa
设墨水瓶的容积为V,则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb
于是,Sa=V-Sb,V=S(a+b)
SaSaa由题意,瓶态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
此时,若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队,将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭,求开始时,有多少人排队。
分析:
“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人,
题中的等量关系为:
小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+解:
设开始时,每队有x人在排队,
2分钟后,B窗口排队的人数为:
x-6×2+5×2=x-2
根据题意,可列方程:
x
42x2
61
212
去分母得3x=24+2(x-2)+6
去括号得3x=24+2x-4+6
移项得3x-2x=26
解得x=26
所以,开始时,有26人排队。
课外知识拓展:
一、含字母系数方程的解法:
思考:
axb是什么方程?
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0,所以axb不是一元一次方程我们把它称为含字母系数的方程。
例6.解方程axb
解:
(分类讨论)当a≠0时,xb
a
当a=0,b=0时,即0x=0,方程有任意解
当a=0,b≠0时,即0x=b,方程无解
即方程axb的解有三种情况。
例7.问当a、b满足什么条件时,方程2x+5-a=1-bx:
(1)有唯一解;
(2)有无数解;(3)无解。
分析:
先解关于x的方程,把x用a、b表示,最后再根据系数情况进行讨论。
解:
将原方程移项得2x+bx=1+a-5,合并同类项得:
(2+b)x=a-4
当2+b0,即b-2时,方程有唯一解xa4
2b,
当2+b=0且a-4=0时,即b=-2且a=4时,方程有无数个解,
当2+b=0且a-4≠0时,即b=-2且a≠4时,方程无解,
例8.解方程x1
a1x
bab
ab
分析:
根据题意,ab≠0,所以方程两边可以同乘ab
去分母,得b(x-1)-a(1-x)=a+b
去括号,得bx-b-a+ax=a+b
移项,并项得(a+b)x=2a+2b
当a+b≠0时,x2a2b
ab=2
知识改变命运态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识当a+b=0时,方程有任意解
说明:
本题中没有出现方程axb中的系数a=0,b≠0的情况,所以解的情况只有两种。
二、含绝对值的方程解法
例9.解下列方程5x23
解法1:
(分类讨论)
当5x-2>0时,即x>2
5,5x-2=3,5x=5,x=1
2
5因为x=1符合大前提x>
当5x-2=0时,即x=
当5x-2<0时,即x<
因为x=1
52525,所以此时方程的解是x=1,得到矛盾等式0=3,所以此时方程无解,5x-2=-3,x=251515符合大前提x<,所以此时方程的解是x=
1
5综上,方程的解为x=1或x=
注:
求出x的值后应注意检验x是否符合条件
解法2:
(整体思想)
联想:
a3时,a=±3
类比:
5x23,则5x-2=3或5x-2=-3
解两个一元一次方程,方程的解为x=1或x=
例10.解方程2x15
3115
解:
去分母2|x-1|-5=3
移项2|x-1|=8
|x-1|=4
所以x-1=4或x-1=-4
解得x=5或x=-3
例11.解方程x12x1
分析:
此题适合用解法2
当x-1>0时,即x>1,x-1=-2x+1,3x=2,x=
因为x=2
323不符合大前提x>1,所以此时方程无解
当x-1=0时,即x=1,0=-2+1,0=-1,此时方程无解
知识改变命运态度决定未来
文振教育光谷校区初一数学基础知识当x-1<0时,即x<1,1-x=-2x+1,x=0
因为x=0符合大前提x<1,所以此时方程的解为x=0
综上,方程的解为x=0
三、小结
1、体会方程思想在实际中的应用
2、体会转化的方法,提升数学能力
第四讲:
图形的初步认识
一、相关知识链接:
1.认识立体图形和平面图形
我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥,此外,棱柱,棱锥也是常见的几何体。
我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆
2.立体图形和平面图形关系
立体图形问题常常转化为平面图形来研究,常常会采用下面的作法
(1)画出立体图形的三视图
立体图形的的三视图是指正视图(从正面看)、左视图(从左面看)、俯视图(从上面看)得到的三个平面图形。
(2)立体图形的平面展开图
常见立体图形的平面展开图
圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体(共十一种)
二、典型问题:
(一)正方体的侧面展开图(共十一种)
分类记忆:
第一类,中间四连方,两侧各一个,共六种。
第二类,中间三连方,两侧各有一、二个,共三种。
知识改变命运态度决定未来
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第三类,中间二连方,两侧各有二个,只有一种。
第四类,两排各三个,只有一种。
基本要求:
1.在右面的图形中是正方体的展开图的有(C)
(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种
2.下图中,是正方体的展开图是(B)
ABCD
3.如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成,其中是正方体展开图的是(D)
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
较高要求:
4.下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体,每三个带数字的面交于正方体的一个顶点,则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是(A)
A.7B.8C.9D.10
5.一个正方体的展开图如右图所示,每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等,那么a+b-2c=(B)
A.40B.38C.36D.34
分析:
由题意8+a=b+4=c+25
所以b=4+ac=a-17
所以
a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38163245c8b25a4
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6.将如图所示的正方体沿某些棱展开后,能得到的图形是(C)
A.B.C.D.
7.下图是某一立方体的侧面展开图,则该立方体是(D)
AB..还原正方体,正确识别正方体的相对面。
(二)常见立体图形的平面展开图
8.下列图形是四棱锥的展开图的是(C)
C.D.
(A)(B)(C)(D)
9.下面是四个立体图形的展开图,则相应的立体图形依次是(A)
A.正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C.正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
10.下列几何体中是棱锥的是(B)
A.B.C.D.
11.如图是一个长方体的表面展开图,每个面上都标注了字母,请根据要求回答问题:
(1)如果A面在长方体的底部,那么哪一个面会在上面?
(2)若F面在前面,B面在左面,则哪一个面会在上面?
(字母朝外)(3)若C面在右面,D面在后面,则哪一个面会在上面?
(字母朝外)
答案:
(1)F;
(2)C,A
(三)立体图形的三视图
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12.如图,从正面看可看到△的是(C)
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