与圆有关的最值取值范围问题附详细答案.docx
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与圆有关的最值取值范围问题附详细答案
与圆有关的最值(取值范围)问题,附详细答案
与圆有关的最值(取值范围)问题,附详细答案
姓名
1.在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一
点,且AC=2.设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.2.如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径
作圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点,射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b.
(1)求证:
AE=b+
a;
(2)求a+b的最大值;(3)若m是关于x的方程:
x+求m的取值范围.
3.如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切,P为圆O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为().A.3B.6C
1
2
ax=b+
2
ab的一个根,
D
.
4.如图,A点的坐标为(﹣2,1),以A为圆心的⊙A切x轴于点B,P(m,n)为⊙A上的一个动点,请探索n+m的最大值.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是.
6.如图是某种圆形装置的示意图,圆形装置中,⊙O的直径AB=5,AB的不同侧有定点C和动点P,tan∠CAB=.其运动过程是:
点P在弧AB上滑
动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.
(1)当PC=时,CQ与⊙O相切;此时CQ=.
(2)当点P运动到与点C关于AB对称时,求CQ的长;(3)当点P运动到弧AB的中点时,求CQ的长.
(4)在点P的运动过程中,线段CQ长度的取值范围为。
2
7.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB
=D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O分别交AB,AC于E,F两点,连接EF,则线段EF长度的最小值为.
8.如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,则PM长度的最大值是.
9.如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4),则当x=时,PD•CD的值最大,且最大值是为.
3
10.如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE,则⊙O半径的最小值为().A.4
11.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D为AB边上一点,过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是.
13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O,若⊙O与边BC始终有交点(包括B、C两点),则线段AO的取值范围是.
D.2
4
14.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为()A.
B.
C.3
D.2
15.(2019•济南)抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)过点A(1,﹣1),B(5,﹣1),交y轴于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,连接CB,以CB为边作▱CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且▱CBPQ的面积为30,求点P的坐标;
(3)如图2,⊙O1过点A、B、C三点,AE为直径,点M为上的一动点(不与点A,E重合),∠MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.
5
16.如图,已知A、B是⊙O与x轴的两个交点,⊙O的半径为1,P是该圆上第一象限内的一个动点,直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点,E为线段CD的中点.
(1)判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)求线段CD长的最小值;
(3)若E点的纵坐标为m,则m的范围为.
17.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为().(A)4(B)
B
213517(C)(D)584
6
18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是().A.
19.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E在AB边上运动(点E不与点A重合),过A、D、E三点作⊙O,⊙O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为.
20.如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C的半径为1,点P在斜边AB上,PQ切⊙O于点Q,则切线长PQ长度的最小值为(
).
B.C.3D.4
19
4
B.
245
C.5
D.21.在平面直角坐标系中,M(3,4),P是以M为圆心,2为半径的⊙M上一动点,A(-1,0)、B(1,0),连接PA、PB,则PA2+PB2最大值是.
7
参考答案
引例1.解:
C在以A为圆心,以2为半径作圆周上,只有当OC与圆A相切(即到C点)时,∠BOC最小,AC=2,OA=3,由勾股定理得:
OC=
,∵∠BOA=∠ACO=90°,
∴∠BOC+∠AOC=90°,∠CAO+∠AOC=90°,∴∠BOC=∠OAC,tan∠BOC=tan∠OAC==
,
随着C的移动,∠BOC越来越大,∵C在第一象限,∴C不到x轴点,即∠BOC<90°,∴tan∠BOC≥
,故答案为:
m≥
.
引例1图
引例
2.a+b≤
引例2图
原题:
(2019•武汉模拟)如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径作圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点,射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b.
(1)求证:
AE=b+
a;
(2)求a+b的最大值;(3)若m是关于x的方程:
x+
2
ax=b+
2
ab的一个根,求m的取值范围.
【考点】圆的综合题.
8
【分析】
(1)首先连接BE,由△OAB为等边三角形,可得∠AOB=60°,又由圆周角定理,可求得∠E的度数,又由AB为⊙D的直径,可求得CE的长,继而求得AE=b+
a;
2
(2)首先过点C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,可得(a+b)=a+b+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,即可求得答案;(3)由x+
2
2
2
ax=b+
2
ab,可得(x﹣b)(x+b+a)=0,则可求得x的值,继而可求得
m的取值范围.
【解答】解:
(1)连接BE,∵△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠AEB=30°,
∵AB为直径,∴∠ACB=∠BCE=90°,∵BC=a,∴BE=2a,CE=a,∵AC=b,∴AE=b+
a;
2
2
(2)过点C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,∴a+b=1,∵S△ABC=AC•BC=AB•CH,∴AC•BC=AB•CH,
∴(a+b)=a+b+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,∴a+b≤故a+b的最大值为(3)∵x+=0,
∴(x﹣b)(x+b+
a)=0,∴x=b或x=﹣(b+
a),
22
2
2
,
,
2
ax=b+ab,∴x﹣b+
22
ax﹣ab=0,∴(x+b)(x﹣b)+a(x﹣b)
当m=b时,m=b=AC<AB=1,∴0<m<1,当m=﹣(b+
a)时,由
(1)知AE=﹣m,又∵AB<AE≤2AO=2,∴1<﹣m≤2,
∴﹣2≤m<﹣1,∴m的取值范围为0<m<1或﹣2≤m<﹣1.
【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.
引例3.解:
连接EP,DP,过P点作PM垂直DE于点M,过O做OF⊥AC与F,连接AO,如图,∵∠BAC=60°,∴∠DPE=120°.∵PE=PD,PM⊥DE,∴∠EPM=60°,∴ED=2EM=2EP•sin60°=
EP=
PA.当P与A、O共线时,且
在O点右侧时,⊙P直径最大.
∵⊙O与∠BAC两边均相切,且∠BAC=60°,∴∠OAF=30°,OF=1,∴AO=
=2,AP=2+1=3,∴DE=
PA=3
.故答案为:
D。
9
【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题,解题的关键是找出DE与AP之间的关系,再解决切线的性质来解决问题.本题属于中等难度题,难点在于找到DE与半径AP之间的关系,只有找到DE与AP之间的关系,才能说明当A、O、P三点共线时DE最大.
引例3图
例一、斜率运用
【考点】切线的性质;坐标与图形性质.【专题】探究型.
【分析】设m+n=k,则点P(m,n)在直线x+y=k上,易得直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为(0,k),于是可判断当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时,k的值最大;直线y=﹣x+k与x轴交于点C,切⊙A于P,作PD⊥x轴于D,AE⊥PD于E,连接AB,如图,则C(k,0),利用直线y=﹣x+k的性质易得∠PCD=45°,则△PCD为等腰直角三角形,接着根据切线长定理和切线的性质得AB⊥OB,AP⊥PC,AP=AB=1,CP=CB=k+2,所以四边形ABDE为矩形,∠APE=45°,则DE=AB=1,PE=
AP=
,所以PD=PE+DE=PD得到2+k=
﹣1.
(
+1,然后在+1),解得k=
﹣
Rt△PCD中,利用PC=
1,从而得到n+m的最大值为
【解答】解:
设m+n=k,则点P(m,n)在直线x+y=k上,当x=0时,y=k,即直线y=﹣x+k与y轴的交点坐标为(0,k),所以当直线y=﹣x+k与⊙A在上方相切时,k的值最大,直线y=﹣x+k与x轴交于点C,切⊙A于P,作PD⊥x轴于D,AE⊥PD于E,连接AB,如图,
当y=0时,﹣x+k=0,解得x=k,则C(k,0),∵直线y=﹣x+k为直线y=﹣x向上平移k个单位得到,∴∠PCD=45°,∴△PCD为等腰直角三角形,∵CP和OB为⊙A的切线,∴AB⊥OB,AP⊥PC,AP=AB=1,CP=CB=k+2,∴四边形ABDE为矩形,∠APE=45°,∴DE=AB=1,∵△APE为等腰直角三角形,∴PE=∵PC=
PD,∴2+k=
(
AP=
,∴PD=PE+DE=
+1,在Rt△PCD中,
﹣1.
+1),解得k=﹣1,∴n+m的最大值为
10
【点评】本题考查了切线的性质:
圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.解决本题的关键是确定直线y=﹣x+k与⊙A相切时n+m的最大值.
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1.解:
作AB的中点E,连接EM、CE.在直角△ABC中,AB=
==5,
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点,∴CE=AB=.∵M是BD
的中点,E是AB的中点,∴ME=AD=1.∴在△CEM中,﹣1≤CM≤+1,即≤CM≤.故答案是:
≤CM≤.
2.(1
)
)2+
变式题:
(2019•邯郸一模)如图是某种圆形装置的示意图,圆形装置中,⊙O的直径AB=5,AB的不同侧有定点C和动点P,tan∠CAB=.其运动过程是:
点P在弧AB上滑动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.
(1)当PC=时,CQ与⊙O相切;此时CQ=.
(2)当点P运动到与点C关于AB对称时,求CQ的长;
(3)当点P运动到弧AB的中点时,求CQ的长.
【考点】切线的性质;圆周角定理;解直角三角形.
【专题】计算题.
【分析】
(1)当CQ为圆O的切线时,CQ为圆O的切线,此时CP为圆的直径,由CQ垂直于直径CP,得到CQ为切线,即可得到CP的长;由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等,由已知角的正切值,在直角三角形CPQ中,利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长;
(2)当点P运动到与点C关于AB对称时,如图1所示,此时CP⊥AB于D,由AB为圆O的直径,得到∠ACB为直角,在直角三角形ACB中,由tan∠CAB与AB的长,利用锐角三角函数定义求出AC与BC的长,再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求,也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求,求出CD的长,得到CP的长,同弧所对的圆周角相等得到一对角相等,由已知角的正切值,得到tan∠CPB的值,由CP的长即可求出CQ;
(3)当点P运动到弧AB的中点时,如图2所示,过点B作BE⊥PC于点E,由P是弧AB的中点,得到∠PCB=45°,得到三角形EBC为等腰直角三角形,由CB的长,求出CE与BE的长,在直角三角形EBP中,由∠CPB=∠CAB,得到tan∠CPB=tan∠CAB,利用三角函数定义求出PE的长,由CP+PE求出CP的长,即可求出CQ的长.
【解答】解:
(1)当CP过圆心O,即CP为圆O的直径时,CQ与⊙O相切,理由为:
∵PC⊥CQ,PC为圆O的直径,∴CQ为圆O的切线,此时PC=5;∵∠CAB=∠CPQ,∴tan∠CAB=tan∠CPQ=,∴tan∠CPQ===,则CQ=;故答案为:
5;;
(2)当点P运动到与点C关于AB对称时,如图1所示,此时CP⊥AB于D,
图1图2
又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=5,tan∠CAB=,∴BC=4,AC=3,又∵S△ABC=AC•BC=AB•CD,∴AC•BC=AB•CD,即3×4=5CD,∴CD=
,
在Rt△PCQ中,∠PCQ=90°,∠CPQ=∠CAB,∴CQ=PCtan∠CPQ=PC,∴CQ=×
(3)当点P运动到弧AB的中点时,如图2所示,过点B作BE⊥PC于点E,
∵P是弧AB的中点,∠PCB=45°,∴CE=BE=2
∴tan∠CPB=tan∠CAB=
=,=,∴PE=,又∠CPB=∠CAB,=BE=,∴PC=CE+PE=2+=;,∴PC=2CD=
由
(2)得,CQ=PC=.
【点评】此题考查了切线的性质,圆周角定理,锐角三角函数定义,勾股定理,以及等腰直角三角形的判定与性质,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
再变式:
如图3时,CQ最长。
图3
例三、正弦定理
1.EF的长度由圆O的半径决定。
解:
由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,
如图,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H,∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=2
∴AD=BD=2,即此时圆的半径为1,由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°,∴在Rt△EOH中,EH=OE•sin∠EOH=1×=,由垂径定理可知EF=2EH=,故答案为:
.
例三1答图
2.【考点】垂径定理;三角形中位线定理.例三2答图
【分析】当CD∥AB时,PM长最大,连接OM,OC,得出矩形CPOM,推出PM=OC,求出OC长即可.
【解答】解:
法①:
如图:
当CD∥AB时,PM长最大,连接OM,OC,
∵CD∥AB,CP⊥CD,∴CP⊥AB,∵M为CD中点,OM过O,∴OM⊥CD,
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°,∴四边形CPOM是矩形,∴PM=OC,
∵⊙O直径AB=8,∴半径OC=4,即PM=4,故答案为:
4.
法②:
连接CO,MO,根据∠CPO=∠CM0=90°,所以C,M,O,P,四点共圆,且CO为直径.连接PM,则PM为⊙E的一条弦,当PM为直径时PM最大,所以PM=CO=4时PM最大.即PMmax=4
【点评】本题考查了矩形的判定和性质,垂径定理,平行线的性质的应用,关键是找出符合条件的CD的位置,题目比较好,但是有一定的难度.
例四、柯西不等式、配方法
1.过O作OE⊥PD,垂足为E,∵PD是⊙O的弦,OE⊥PD,∴PE=ED,
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°,∴四边形OACE为矩形,∴CE=OA=2,又PC=x,
∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2,∴PD=2(x﹣2),∴CD=PC﹣PD=x﹣2(x﹣2)=x﹣2x+4=4﹣x,∴PD•CD=2(x﹣2)•(4﹣x)=﹣2x+12x﹣16=﹣2(x﹣3)+2,∵2<x<4,∴当x=3时,PD•CD的值最大,最大值是2.22
第1题答图
2.解:
如图,分别作∠A与∠B角平分线,交点为P.第2题答图
∵△ACD和△BCE都是等边三角形,∴AP与BP为CD、CE垂直平分线.
又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上,则交点P与圆心O重合,即圆心O是一个定点.连接OC.若半径OC最短,则OC⊥AB.又∵∠OAC=∠OBC=30°,AB=4,∴OA=OB,∴AC=BC=2,∴在直角△AOC中,OC=AC•tan∠OAC=2×tan30°=
3.解:
(1)线段AB长度的最小值为4,理由如下:
连接OP,
∵AB切⊙O于P,∴OP⊥AB,取AB的中点C,∴AB=2OC;
当OC=OP时,OC最短,
即AB最短,此时AB=4.故答案为:
4.
(3题答图)
.故选:
B.
例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)
1.求CE最小值,就是求半径OD的最小值,当OD⊥AB时OD最短。
≤OA≤;3.【考点】切线的性质.【专题】压轴题.
【分析】因为PQ为切线,所以△OPQ是Rt△.又OQ为定值,所以
当OP最小时,PQ最小.根据垂线段最短,知OP=3时PQ最小.根
据勾股定理得出结论即可.
【解答】解:
∵PQ切⊙O于点Q,∴∠OQP=90°,∴PQ=OP﹣OQ,而OQ=2,∴PQ=OP﹣4,即PQ=22222,当OP最小时,PQ最小,∵点O到直线l的距离为3,∴OP的
=.故选B.最小值为3,∴PQ的最小值为
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点,如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键,难度中等偏上.
例五、其他几何知识的运用
1.解:
(1)将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得:
∴抛物线得解析式为y=x﹣6x+4.
(2)如图所示:
设点P的坐标为P(m,m﹣6m+4),∵平行四边形的面积为30,
∴S△CBP=15,即:
S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD.
∴m(5+m﹣6m+4+1)﹣×5×5﹣(m﹣5)(m﹣6m+5)=15.
化简得:
m﹣5m﹣6=0,解得:
m=6,或m=﹣1.∵m>0,∴点P的坐标为(6,4).
(3)连接AB、EB.∵AE是圆的直径,∴∠ABE=90°.∴∠ABE=∠MBN.
又∵∠EAB=∠EMB,∴△EAB∽△NMB.∵A(1,﹣1),B(5,﹣1),∴点O1的横坐标为3,
22222,解得:
.
将x=0代入抛物线的解析式得:
y=4,∴点C的坐标为(0,4).设点O1的坐标为(3,m),∵O1C=O1A,∴
得:
m=2,∴点O1的坐标为(3,2),
∴O1A=
定理得:
BE==,在Rt△ABE中,由勾股=6,∴点,解
E的坐标为(5,5).∴AB=4,BE=6.
∵△EAB∽△NMB,∴.∴.∴NB=.
,∴NB==3.∴当MB为直径时,MB最大,此时NB最大.∴MB=AE=2
2.【考点】圆的综合题.【专题】综合题.
【分析】
(1)连接OP,设CD与x轴交于点F.要证PE与⊙O相切,只需证∠OPE=90°,只需证∠OPB+∠EPD=90°,
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