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广东省七校联合体学年高二下学期联考数学试题含答案解析
广东省七校联合体2021-2022学年高二下学期(2月)联考数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.设集合
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.已知向量
,
,若
,则
( )
A.
B.
C.
D.2
3.如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形,先以AB为直径构造半圆O,C为弧AB的中点,D为线段AC的中点,再以AC为直径构造半圆D,则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形.若
,则该月牙形图形的面积为( )
A.4B.
C.
D.2
4.已知
,则
的值为( )
A.
B.1C.0D.
5.设
,则“
”是“直线
:
与直线
:
平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知函数
,若数列
满足
(
)且
是递增数列,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
7.信号在传输介质中传播时,将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收,从而造成信号强度不断减弱,这种现象称为衰减.在试验环境下,超声波在某种介质的传播过程中,声压的衰减过程可以用指数模型:
描述声压
(单位:
帕斯卡)随传播距离
(单位:
米)的变化规律,其中
为声压的初始值,常数
为试验参数.若试验中声压初始值为
帕斯卡,传播
米声压降低为
帕斯卡,据此可得试验参数
的估计值约为( )(参考数据:
,
)
A.
B.
C.
D.
8.若
的外接圆半径为2,且
,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.下列说法正确的是( )
A.直线
的倾斜角的取值范围为
B.直线
:
(
)恒过定点
C.直线
且与圆
相切
D.圆
与圆
的公共弦长为
10.已知函数
是定义在R上的奇函数,当
时,
,则下列结论正确的是( )
A.
B.
的单调递增区间为(-1,0),(1,+
)
C.当
时,
D.
的解集为(-
,-1)
(1,+
)
11.已知函数
(
)的零点依次构成一个公差为
的等差数列,把函数
的图象向右平移
个单位长度,得到函数
的图象,则函数
( )
A.是偶函数B.其图象关于直线
对称
C.在
上是减函数D.在区间
上的值域为
12.过双曲线
(
,
)的右焦点F引C的一条渐近线的垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B.若
,
,则C的离心率可以是( )
A.
B.
C.
D.2
三、填空题
13.设
,复数
,
,若
是纯虚数,则
______.
14.甲、乙两人打靶,已知甲的命中率为0.8,乙的命中率为0.7,若甲、乙分别向同一靶子射击一次,则该靶子被击中的概率为___________.
15.历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法,对时代的进步起了重要的作用,比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…它满足
,且满足递推关系
,(
,
),此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用,若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列
,则
______.
16.如图,已知边长为2的正方形
与正方形
所在平面互相垂直,
为
的中点,
为线段
上的动点,当三棱锥
的体积最大时,三棱锥
的外接球的表面积为______.
四、解答题
17.已知数列
是前
项和为
(1)求数列
的通项公式;
(2)令
,求数列
的前
项和
.
18.在①
,②
,③
.这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
在
中,角
,
,
所对的边分别为
,
,
,且.
(1)求角
的大小;
(2)若
的面积等于
,求
的周长的最小值.
19.旨在全面提高国民体质和健康水平,1995年国务院颁布了《全民健身计划纲要》,并在2009年将每年8月8日设置为“全民健身日”,倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,学会两种以上健身方法,每年进行一次体质测定.某小区为了调查居民的体育运动情况,从该小区随机抽取了100位成年人,记录了他们某天的锻炼时间,其频率分布直方图如下:
(1)求
的值,并求这100位居民锻炼时间的第20百分位数;
(2)若规定
为第一组,依次往下,现采用分层抽样的方法从第三组和第五组随机抽取6名成年人进行体质测定,再从这6人中随机抽取2人进行跟踪调查,求这2人中,两组各有1人的概率.
20.如图,在直角梯形
中,
,直角梯形
通过直角梯形
以直线
为轴旋转得到,且使得平面
平面
.
为线段
的中点,
为线段
上的动点
(1)求证:
(2)当点
是线段
中点时,求二面角
的余弦值
(3)是否存在点
,使得直线
平面
?
请说明理由.
21.在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
,点
为椭圆
上的动点,当点
为短轴顶点时,△
的面积为
,椭圆短轴长为2.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若直线
过定点
且与椭圆
交于不同的两点
,
,点
是椭圆
的右顶点,直线
,
分别与
轴交于
、
两点,试问:
以线段
为直径的圆是否过
轴上的定点?
若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
22.已知
.
(1)若函数
在
单调递减,求实数
的取值范围;
(2)令
,若存在
,使得
成立,求实数
的取值范围.
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
集合间的交集补集运算,第一步计算补集,第二步计算交集即可得到答案.
【详解】
所以
,因为
,
所以
.
故选:
B.
2.D
【解析】
【分析】
向量的坐标运算,两向量垂直数量积为零.
【详解】
,解得
.
故选:
D.
3.D
【解析】
【分析】
连接
,得出
,再由扇形的面积公式求解即可.
【详解】
记月牙形图形的面积为
,曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为
,连接OC
因为
所以
.
故选:
D.
4.C
【解析】
【分析】
先将分母变成“1”,分子分母同时除以
,利用齐次化切思想解题即可.
【详解】
由题:
.
故选:
C
5.A
【解析】
【分析】
充分必要条件的判定,第一步正向判断充分性,第二步逆向判断必要性.
【详解】
当
时,直线
:
,直线
:
,斜率相等都为
所以两直线平行,即充分性成立;当直线
:
与直线
:
平行时,直线
的斜率在
时不存在,而此时直线
的斜率存在,即
不满足,由两直线平行斜率相等得
或
,所以不必要.
故选:
A.
6.C
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式可得,函数
在每一段都是单调递增,且
,列出不等关系,求解即可.
【详解】
因为函数
,数列
满足
,且
是递增数列,
则函数
在每一段都是单调递增,且
,
所以
,解得
,
所以实数
的取值范围是
.
故选:
7.B
【解析】
【分析】
根据所给公式,代入已知数据,两边取自然对数,化简后根据对数的参考值即可求解.
【详解】
由题意知,
两边取自然对数,则
所以
,
故选:
B
8.A
【解析】
【分析】
设
的外接圆圆心为O,由题设可知
为正三角形,则
,
,由
,知
,计算可求解.
【详解】
如图设
的外接圆圆心为O,
的边
,
的外接圆半径为2,
为正三角形,且
,
则
,
,
故选:
A
【点睛】
关键点点睛:
本题考查平面向量的数量积,解题的关键是将未知的
通过向量的加法及数量积运算转化为已知的向量,本题将
的最小值转化为
的最小值,结合数量积及余弦函数即可求解,考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力.
9.ACD
【解析】
【分析】
利用直线方程可求解直线的倾斜角的范围判断
;求出直线系恒过的点,可判断B;利用点到直线的距离判断
;求出两圆的公共弦方程,再求出公共弦长,判断
;
【详解】
设直线
的倾斜角
,可得
,
,
所以
的取值范围为
,
,
,所以
正确;
直线
即
恒过定点
,所以
错误;
直线
即
,圆
的圆心到直线的距离为
,
所以直线
与圆
相切,故
正确;
将圆
与圆
的方程相减,
即得公共弦方程:
,故它们的公共弦长为
,故D正确,
故选:
10.BC
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质可得
,再根据函数
的单调性及
可得出函数值为正负时,
的范围,从而可判断BD,根据奇函数的定义求出
时函数的解析式即可判断C.
【详解】
解:
因为函数
是定义在R上的奇函数,所以
,故A错误;
因为函数
在
都是增函数,
所以函数
在
是增函数,
又
,则当
时,
,当
时,
,
当
时,
,当
时,
,
则函数
的单调递增区间为(-1,0),(1,+
),故B正确;
当
时,则
,
,
所以当
时,
,故C正确;
若
,则
或
,
所以
或
,
即不等式
的解集为
,故D错误.
故选:
BC.
11.BCD
【解析】
【分析】
由已知可求得
,得
解析式,根据三角函数图象的平移变换,可得
解析式,由此可判断A;将
代入
解析式中,看是否取到最值,判断B;根据
,求出
范围,判断
单调性,判断C;根据
,求出
,继而求得
范围,判断D.
【详解】
故由题意得:
,
故
,
,
故
为奇函数,A错误;
当
时,
,故B正确;
当
时,
,此时
为单调递减函数,故C正确;
当
时,
,此时
,故D正确,
故选:
BCD
12.BC
【解析】
由题意得右焦点
,设一渐近线
的方程为
,则另一渐近线
的方程为
,由垂直的条件可得
的方程,分别与渐近线方程联立,可得
,
的横坐标,由向量共线的坐标表示,结合
,求出
,进而可得答案.
【详解】
右焦点
,设一渐近线
的方程为
,
则另一渐近线
的方程为
,
由
与
垂直可得
的方程为
,
联立方程
,
可得
的横坐标为
,
联立方程
可得
的横坐标为
.
因为
,
所以
,
可得
,
因为
,所以
,
即
,
BC满足题意,AD不合题意,
故选:
BC.
【点睛】
方法点睛:
求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将
用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于
的不等式,从而求出
的范围.
13.
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算,求得
,令其实部为零,虚部不为零,可解得答案.
【详解】
因为
是纯虚数,故
,解得
,
故答案为:
14.0.94
【解析】
【分析】
记甲的命中为事件
,乙命中为事件
,靶子被击中为事件
,利用对立事件的概率公式计算.
【详解】
记甲的命中为事件
,乙命中为事件
,靶子被击中为事件
,
,
相互独立,
所以
.
故答案为:
.
15.0
【解析】
【分析】
通过列举法发现数列
为周期数列,然后根据周期数列的性质进行计算即可.
【详解】
由题可知
,
,
,
,
,
;
,
,
,
,
,
,
故可以发现,数列
是周期为6的周期数列,由于
,所以
故答案为:
0
16.
##
【解析】
【分析】
根据图形得到当Q与C重合时,△BPQ的面积最大,三棱锥P-ABQ的体积最大,利用正弦定理求出△BPQ外接圆半径,进而求出外接球半径及表面积.
【详解】
,结合图形,当Q与C重合时,△BPQ的面积最大,三棱锥P-ABQ的体积最大,在△PCB中,
,BC=2,所以
,所以
,设三角形CPB的外接圆半径为r,则
,所以
,因为AB⊥平面CPB,所以外接球半径满足
,所以三棱锥
的外接球表面积为
.
故答案为:
17.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)减项作差即可,注意对首项单独讨论;
(2)先求出
的通项公式,再分组求和.
(1)
∵
当
时,
当
时,
满足上式,
所以数列
的通项公式为
.
(2)
由
(1)得,
,
则
.
18.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)若选①,则由正弦定理将已知的式子统一成边的形式,再利用余弦定理可求出角
的大小,若选②,则由正弦定理将已知的式子统一成角的形式,结合三角函数恒等变换公式可求出角
的大小,若选③,则由正弦定理结合三角函数恒等变换公式化简可求得角
的大小,
(2)由三角形的面积可求得
,再由余弦定理可得
,利用基本不等式求出
的最小值和
的值,进而可求出
的周长的最小值
(1)
选择①
时,由正弦定理角化边可得
,
化简
,由余弦定理可得
因为
,
所以
.
选择②
时,由正弦定理将边化角可得
即
,
因为
,
所以
,
所以
,
因为
,
所以
.
选择③
时,由正弦定理可得
,
因为
,所以
即
,即
,
因为
,
所以
因为
,所以
所以
(2)
由面积公式
因为
,当且仅当
时,取等号,所以
的最小值为4,
由余弦定理得
,
所以
,所以
,当且仅当
时,取等号,此时
的最小值为
,
所以当且仅当
时,
取得最小值
即
周长最小值为
.
19.
(1)0.03,21;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)由频率分布直方图的各小面积之和为1求解,利用百分位数的定义求解;
(2)先利用分层抽样,得到第三组和的第五组的人数,如何利用古典概型的概率求解.
(1)
解:
由频率分布直方图得:
,
解得
,
设第20百分位数为x,
,
解得
;
(2)
第三组的人数为
,第五组的人数为
,
故这2人中,两组各有1人的概率是
.
20.
(1)证明见解析;
(2)二面角
的余弦值为
;
(3)线段
上存在点
,且当
时,直线
平面
.
【解析】
【分析】
(1)由
,平面
平面
,推出
平面
.即可证明
,再证明
;
(2)利用题意建立空间直角坐标系,求平面
与平面
的法向量,求法向量的夹角余弦,可得二面角
的余弦值为
;
(3)存在点P,使得直线
平面
.设
,平面
的一个法向量为
,利用
.求出
,即可证明结果.
(1)
由已知
,平面
平面
,
平面
,平面
平面
,所以
平面
又
平面
,所以
,又
,∴
.
(2)
由
(1)可知
,
,
两两垂直,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系如图所示.
由已知
所以
,
,
,
,
,
因为
为线段
的中点,
为线段
的中点,所以
,
易知平面
的一个法向量
,
设平面
的一个法向量为
,由
得
,
取
,得
,
由图可知,二面角
的大小为锐角,
所以
,
所以二面角
的余弦值为
;
(3)
假设存在点
,使得直线
平面
,
设
,则
,
∴
∴
,
设平面
的一个法向量为
,则
,
∴
,由
,则
,
∵ 直线
平面
,∴
,又
,
∴
,解方程得:
.
所以线段
上存在点
,且当
时,直线
平面
.
21.
(1)
;
(2)过定点,定点
.
【解析】
【分析】
(1)由题设可得
,
,即求;
(2)讨论斜率的存在性分别研究定点,且斜率存在时设
、
,
,联立椭圆方程,应用韦达定理求
,
,求直线
、
方程进而确定P,Q坐标,设定点
坐标,则有
,利用向量数量积的坐标表示列方程求
坐标即可.
(1)
∵当点
为短轴顶点时,△
的面积为
,椭圆短轴长为2,
∴
,
,
,
椭圆
的方程为
;
(2)
当直线
的斜率存在吋,设
,
由椭圆方程可得点
,设
,
联立方程可得:
,
消元得,
,
,
由
可得:
,
分别令
,可得:
,
设
轴上的定点为
,若
为直径的圆过
,则
,
问题转化为
恒成立,即
①
由
及
可得:
代入到①可得:
∴
解得:
圆过定点
.
当直线斜率不存在时,直线方程为
,可得
为直径的圆
过点
,
所以以线段
为直径的圆过
轴上定点
.
22.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)对
讨论,
,
,
,结合二次函数的图象和单调性的性质,得到不等式组,解不等式即可得到
的范围;
(2)由题意可得在
上,
成立,
,令
,则
.对
讨论,(i)当
时,(ii)当
时,求出单调性和最值,即可得到
的范围.
【详解】
(1)①当
时,
,显然满足,
②
,③
,
综上实数
的取值范围:
.
(2)存在
,使得
成立即:
在
上,
,
因为
,令
,
则
(i)当
时,
在
上单调递减,所以
,
等价于
,所以
;
(ii)当
时,
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
①当
时,即
,
在
上单调递增.
由
得到
,所以
.
②当
时,即
,
在
上单调递减,
由
得到
,所以
.
③当
时,即
,
,最大值则在
与
中取较大者,
作差比较
,得到分类讨论标准:
a.当
时,
,此时
,
由
,
得到
或
,
所以
b.当
时,
,此时
,
由
,得到
,此时无解,
在此类讨论中,
c.当
,
在
上单调递增,由
,
得到
,所以
,
综合以上三大类情况,
【点睛】
本题考查函数的单调性的应用,考查存在性问题的解法,注意运用分类讨论的思想方法,以及转化思想,考查运算能力,属于难题.
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