高考文科数学四川卷含详细答案.docx
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高考文科数学四川卷含详细答案
----------------
绝密★启用前
4.设 a, b 为正实数,则“ a > b > 1 ”是“ log a > log b > 0 ”的 ( )
2 2
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
--------------------
2015 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(文科)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是 ( )
注意事项:
必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答 .作
图题可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚 .答在试题卷、草稿
纸上无效 .
_--------------------
__
号
考--------------------
__1.设集合 A = {x | -1 < x < 2},集合 B = {x |1 < x < 3} ,则 AB =()
__
_答
_-------------------- x | -1 < x < 3}B. {x| - 1 < x < 1}C. {x|1 < x < 2}D. {x | 2 < x < 3}
__
名
姓
此
--------------------试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4
至 6 页,共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟 .考生作答时,须将答案答在答题卡上 .
在本试题卷、草稿纸上答题无效 .考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 .
卷 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项:
必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.
第Ⅰ卷共 10 小题.
准 一、选择题:
本大题共10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
2.设向量 a = (2,4 ) 与向量 b = ( x,6 ) 共线,则实数 x = ( )
题
C.
3.某学校为了了解三年级、 六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著
差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是
π π
A. y = sin(2 x + ) B. y = cos(2x + )
2 2
C. y = sin 2 x + cos2 x D. y = sin x + cos x
6.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 ( )
3 1
2 B. 2 C. - 2 2
7.过双曲线 x2 - y 2
的两条渐近线于 A , B 两点,则 |AB|= ( )
A. 4 3 C.6 D. 4 3
8.某食品的保鲜时间 y (单位:
小时)与储藏温度 x (单位:
℃ )
满足函数关系 y = ekx+b ( e = 2.718 … 为自然对数的底数, k , b
为常数).若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃ 的保
鲜时间是 48 小时,则该食品在 33℃ 的保鲜时间是 ( )
A.16 小时 B.20 小时 C.24 小时 D.28 小时
⎧2 x + y≤10,
⎪
⎩
D.16
第Ⅱ卷共 11 小题 .
二、填空题:
本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上.
1
11.设 i 是虚数单位,则复数 i - =__________.
i
12. lg0.01 + log 16 的值是___________.
2
13.已知 sin α + 2cos α = 0 ,则 2sin α cos α - cos2α 的值是___________.
14.在三棱柱 ABC - A B C 中,∠BAC = 90 ︒ ,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,
1 1 1
俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形,设点 M , N , P 分别是棱 AB , BC ,
B C 的中点,则三棱锥 P - A MN 的体积是__________.
1 1 1
15.已知函数 f ( x) = 2x , g(x) = x2 + ax (其中 a ∈ R ).对于不相等的实数 x , x ,设
1 2
g ( x ) - g ( x )
1 2 , n = 1 2 ,现有如下命题:
x - x x - x
1 2 1 2
①对于任意不相等的实数 x , x ,都有 m > 0 ;
1 2
②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x , x ,都有 n > 0 ;
1 2
③对于任意的 a ,存在不相等的实数 x , x ,使得 m = n ;
1 2
④对于任意的 a ,存在不相等的实数 x , x ,使得 m = -n .
1 2
其中的真命题有__________ (写出所有真命题的序号).
三、解答题:
本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)
设数列{a } (n = 1,2,3, ⋅⋅⋅ ) 的前 n 项和 S 满足 S = 2a - a ,且 a ,a + 1,a 成等差数
n n n n 1 1 2 3
列.
无
--------------------
A.抽签法B.系统抽样法
C.分层抽样法D.随机数法
( )
10.设直线 l 与抛物线 y2 = 4x 相交于 A ,B 两点,与圆 (x - 5)2 + y2 = r 2 (r > 0) 相切于点 M ,
且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 ( )
A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4)
(Ⅰ)求数列{a } 的通项公式;
n
(Ⅱ)设数列{ 1
n
n n
效
数学试卷 第 1 页(共 30 页)
数学试卷 第 2 页(共 30 页)
数学试卷 第 3 页(共 30 页)
17.(本小题满分 12 分)
一辆小客车上有 5 个座位,其座位号为 1,2,3,4,5.乘客 P , P , P , P , P 的
12345
座位号分别为 1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客 P 因身
1
体原因没有坐自己的 1 号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:
如果自己
的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这 5 个座位
的剩余空位中任意选择座位.
(Ⅰ)若乘客 P 坐到了 3 号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有 4 种坐法.下表给
1
出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)
19.(本小题满分 12 分)
已知 A , B ,C 为 △ ABC 的内角,tan A ,tan B 是关于 x 的方程 x2 + 3 px - p + 1 = 0
( p ∈ R )的两个实根.
(Ⅰ)求 C 的大小.
(Ⅱ)若 AB = 3 , AC = 6 ,求 p 的值.
21.(本小题满分 14 分)
已知函数 f ( x) = -2x ln x + x2 - 2ax + a2 ,其中 a>0 .
(Ⅰ)设 g ( x) 是 f ( x) 的导函数,讨论 g ( x) 的单调性;
(Ⅱ)证明:
存在a ∈ (0,1) ,使得 f ( x)≥0 恒成立,且 f ( x) = 0 在区间 (1,+∞) 内有唯一
解.
乘客 P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
32145
32451
座位号
(Ⅱ)若乘客 P 坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就座,求乘客 P 坐到 5 号座位的概
15
20.(本小题满分 13 分)
a 2 +
率.
如图,椭圆 E :
x2
y 2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率是
2
2 ,点 P (0,1) 在短轴 CD 上,且
18.(本小题满分 12 分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
;
(Ⅰ)请将字母 F , G , H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)
(Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论.
(Ⅲ)证明:
直线 DF ⊥ 平面 BEG
PC PD = - 1.
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
(Ⅱ)设O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A , B 两点.是否存在常数 λ ,使
得 OA OB + λ PA PB 为定值?
若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.
数学试卷第 4 页(共 30 页)
数学试卷 第 5 页(共 30 页)
数学试卷 第 6 页(共 30 页)
2015 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(文科)答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】A
【解析】集合 A=(-1,, B=(1, ,故 A
B=(-1, ,选 A.
【提示】直接利用并集求解法则求解即可.
【考点】集合的并集运算.
2.【答案】B
【解析】由向量平行的性质,有 2 :
4 = x :
6 ,解得 x = 3 ,选 B.
【提示】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出 x .
【考点】向量平行的性质.
3.【答案】C
【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知,应使用分层抽样,选 C.
【提示】若总体由差异明显的几部分组成时,一般采用分层抽样的方法进行抽样
【考点】抽样方法的适用范围.
4.【答案】A
【解析】 a > b > 1 时,有 log a > log b > 0 成立,反之也正确,选 A.
22
【提示】先求出 log a > log b > 0 的充要条件,再和 a > b > 1 比较,从而求出答案.
22
【考点】充分、必要条件.
5.【答案】B
【解析】 A, B, C 的周期都是 π , D 的周期是 2π ,但选项 A 中, y=cos2x 是偶函数,选项
⎛π ⎫
⎝4 ⎭
【提示】求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可.
【考点】三角函数的周期.
6.【答案】D
C 中
【解析】第四次循环后, k =5 ,输出 S =sin
5π 1
6 2
【提示】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 k 的值,当 k =5 时满足条件 k =4 ,计算并输出 S 的
值为
1
2
.
【考点】算法的程序框图.
7.【答案】D
【解析】由题意,a = 1,b = 3 ,故 c = 2 ,渐近线方程为 y = ± 3x ,将 x = 2 代入渐近线方程,得 y = ±2 3 ,
故 AB = 4 3 ,选 D.
【考点】双曲线的交点,渐近线.
8.【答案】C
⎧ 192 = eb⎧192 = eb
【解析】由 ⎨,得 ⎨ 1
⎪
⎛ 1 ⎫3
⎝ 2 ⎭
【提示】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系,由已知构造方程组求出 ek,eb 的值,运用指数
幂的运算性质求解 e33k +b 即可.
【考点】函数在实际问题中的应用.
9.【答案】A
【解析】画出可行域如图,
在 △ABC 区 域 中 结 合 图 像 可 知 , 当 动 点 在 线 段 AC 上 时 xy 取 得 最 大 , 此 时 2x+y=10 ,
11 ⎛ 2x + y ⎫2 25525
2 2 ⎝ 2 ⎭ 2 2 2
.
【提示】画出不等式组对应的平面区域,利用基本不等式进行求解即可
【考点】运用线性规划求最值.
10.【答案】D
【解析】不妨设直线 l :
x = ty + m ,代入抛物线方程有:
y2 - 4ty - 4m = 0 ,则 ∆ = 16t 2 + 16m > 0 ,
又中点 M (2t 2 + m, ) ,则 k
MC
k = -1 ,即 m = 3 - 2t 2 (当 t ≠ 0 时),代入 ∆ = 16t 2 + 16m ,可得 3 - t 2 > 0 ,
l
即 0 < t 2 < 3 .又由圆心到直线的距离等于半径,可得 d = r = 5 - m
2 + 2t 2
1 + t 2 = 2 1 + t 2 ,
由 0 < t 2 < 3 ,可得 r ∈ (2, ,选 D.
【提示】先确定 M 的轨迹是直线 x = 3 ,代入抛物线方程得交点与圆心距离,即可得出结论.
【考点】抛物线、圆、直线的性质.
第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】2i
1
【解析】 i - = i + i = 2i .
i
【提示】直接利用复数的运算法则求解即可.
【考点】复数的四则运算.
12.【答案】2
2
【提示】直接利用对数的运算法则化简求解即可.
【考点】对数函数的求值运算.
13.【答案】-1
【解析】由已知可得 tanα =- 2 , 2sinα cosα -cos2α =
2sinα cosα -cos2α 2tanα - 1 -4 - 1
= = = -1 .
sin 2 α + cos2 α tan 2α + 1 4 + 1
【提示】已知等式移项变形求出 tanα 的值,原式利用同角三角函数间的基本关系化简,将 tanα 的值代入
计算即可求出值.
【考点】三角函数的求值运算.
14.【答案】 1
24
1
【解析】由题意,三棱柱是底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形,高为 1 的直三棱柱,底面积为.
2
11111
432424
.
【提示】判断三视图对应的几何体的形状,画出图形,利用三视图的数据,求解三棱锥 P-AMN 的体积即
可.
【考点】空间几何体的体积.
15.【答案】①④
【解析】对于①,因为 f '( x) = 2x ln2 > 0 恒成立,故①正确.
对于②,取 a = -8 ,即 g'(x) = 2x - 8 ,当 x ,x <4 时, n < 0 ,②错误.
12
0
0
对于④,由 f '(x) = -g '(x) ,即 2x ln 2 = -2 x - a ,令 h(x) = 2x ln2 + 2x ,则 h'( x) = 2x (ln2) 2 + 2 > 0 恒成立,
即 h( x) 是单调递增函数,当 x →+∞ 时, h( x) → +∞ ;
当 x →-∞ 时, h( x) → -∞ .因此,对任意的 a ,存在 y = a 与函数 h( x) 有交点,④正确.
通过函数 h( x) = 2x ln2 + 2x ,求出导数判断单调性,即可判断④.
【考点】函数与命题判断.
三、解答题
16.【答案】(Ⅰ) a =2n
n
1
(Ⅱ) T =1-
2n
n
【解析】(Ⅰ)由已知 S =2a -a ,有 a = S - S= 2a - 2a(n ≥ 2) ,即 a = 2a
nn1nnn-1nn-1n
从而 a =2a ,a =2a =4a ,又因为 a ,a +1,a 成等差数列,即 a +a =2(a +1) .
21321123132
n-1
(n ≥ 2) .
1111n
故 a =2n .
n
(Ⅱ)由
(1)得 1
a
n
=
1
2n
,所以 T = 1 + 1 +
n
+
1
2n
=
1 ⎡ ⎛ 1 ⎫n ⎤
2 ⎢ ⎝ 2 ⎭ ⎥
1
1 -
2
= 1 -
1 .
2n
【提示】 Ⅰ)由条件 S 满足 S =2a -a ,求得数列{a } 为等比数列,且公比 q = 2 ;再根据 a ,a + 1,a 成
nnn1n123
等差数列,求得首项的值,可得数列{a } 的通项公式.
n
11⎧ 1 ⎫
=
2n
n
【考点】等差数列与等比数列的概念,等比数列通项公式,等比数列前n 项和.
17.【答案】(Ⅰ)见解析
(Ⅱ)
1
2
【解析】(Ⅰ)余下两种坐法如下表所示:
乘客P
1
32
2
P
3
4
5
P
4
1
4
P
5
5
1
(Ⅱ)若乘客 P1 做到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐,则所有可能坐法可用下表表示为
乘客P
1
P
3
P
4
P
5
2
2
座位号2
2
2
2
1
3
3
3
3
4
3
1
4
4
5
3
4
4
1
5
4
1
5
5
5
1
1
5
2
2
4
5
3
3
5
4
1
1
于是,所有可能的坐法共 8 种.
5
【提示】(Ⅰ)根据题意,可以完成表格.
【考点】排列组合,排列组合,古典概型.
18.【答案】(Ⅰ)见解析
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ)见解析
【解析】(Ⅰ)点 F,G,H 的位置如图所示
1
4 1
= .
8 2
(Ⅱ)平面 BEG∥ 平面 ACH ,证明如下:
因为 ABCD - EFGH 为正方体,所以 BC∥FG,BC=FG ,
又 FG∥EH ,FG=EH ,所以 BC∥EH ,BC=EH ,
于是 BCEH 为平行四边形,所以 BE∥CH ,
又 CH ⊂ 平面 ACH , BE ⊄ 平面 ACH ,所以 BE∥平面 ACH ,同理 BG∥ 平面 ACH ,
又 BEBG=B ,所以平面 BEG∥ 平面 ACH ,
(Ⅲ)连接 FH ,因为 ABCD-EFGH 为正方体,所以 DH ⊥ 平面 EFGH ,
因为 EG ⊂ 平面 EFGH ,所以 DH ⊥ EG ,
又 EG ⊥ FH,DHFH=H ,所以 EG ⊥ 平面 BFHD ,
又 DF ⊂ 平面 BFHD ,所以 DF ⊥ EG
同理 DH ⊥ BG ,又 EGBG=G ,所以 DF ⊥ 平面 BEG .
(Ⅱ)先证 BCHE 为平行四边形,可知BE∥平面 ACH ,同理可证 BG∥ 平面 ACH ,即可证明平面BEG∥
平面 ACH .
(Ⅲ)连接 FH ,由 DH ⊥EG ,又 DH ⊥EG ,EGFH
,可证 EG ⊥ 平面 BFHD ,从而可证 DF ⊥ EG,同
理 DF ⊥ BG ,即可证明 DF ⊥ 平面 BEG .
【考点】简单空间图形的直观图,空间线面平行与面面平行的判定与性质,空间线面垂直的判定与性质
19.【答案】(Ⅰ) C =60︒
(Ⅱ) p = -1 - 3
【解析】(Ⅰ)由已知,方程 x2 + 3 px-p+1=0 的判别式
∆=( 3 p)2 -4(- p+1)=3p2 +4p-4 ≥ 0,
2
3
由韦达定理,有 tanA+tanB=- 3 p,tanAtanB=1-p,
于是1-tanAtanB=1-(1-p) = p ≠ 0,
- 3 p
==- 3
1 - tan A tan Bp
所以 tanC=-tan( A+B)= 3,
所以 C =60︒.
(Ⅱ)由正弦定理,得 sinB =
AC sin C 6 sin 60 2
= = ,
AB 3 2
解得 B=45︒ 或 B=135︒ (舍去),于是 A=180︒-B-C =75︒ ,
则 tanA=tan75 =tan(45 +30 )=
3
1 +
= 3 = 2 + 3,
1 - tan 45 tan30 3
1 -
3
所以 p=-
1 1
3 3
.
2
3
tanAtanB=1-p 由两角和的正切函数公式可求 tanC=-tan( A+B)= 3,结合 C 的范围即可求 C 的值.
(Ⅱ)由正弦定理可求 sinB =
AC sin C 2
AB 2
而可求 p=-
1
3
(tan A+tanB) 的值.
20.【答案】(Ⅰ)
x2 y 2
+ = 1
4 2
(Ⅱ)见解析
【解析】(Ⅰ)由已知,点 C,D 的坐标分别为 (0, -b) (0,b) ,
1)=
uuur uuur ⎪ c 2
⎧ 1 - b2 = -1
⎪
⎪
⎪a2 - b2 = c2
⎩
,解得 a=2,b= 2 ,
所以椭圆 E 方程为
x 2 y 2
+ = 1.
4 2
(Ⅱ)当直线 AB 斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1 , A,B 的坐标分别为 ( x ,y ), ,y ) .
1122
⎧ x2y 2
⎪+
联立 ⎨ 42
= 1
,得 (2k 2 +1)x2 +4kx-2=0 ,其判别式 ∆=(4k )2 +8(2k 2 +1) > 0 .
⎪ y = kx + 1
所以 x + x = -
12
4k 2
1 2
uur uuuruur uur
从而 OAgOB + λ PAgPB=x x +y y +λ[x x +( y -1)( y -1)]
1 2121 212
=(1+λ )(1+k 2 ) x x +k ( x +x )+1
1 212
=
(-2λ - 4)k 2 + (-2λ - 1)
2k 2 + 1
=- λ - 1
2k 2 + 1
- λ - 2
所以,当 λ =1 时, - λ - 1
2k 2 + 1
uur uuur uur uur
- λ - 2 = -3 ,此时, OAgOB + λ PAgPB = -3 为定值.
uur uuuruur uuruuur uuuruuur uuur
当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD ,此时 OAgOB + λ PAgPB = OC gOD + PC gPD=-2-1=-3 ,
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