二次函数的综合应用Word版习题.docx
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二次函数的综合应用Word版习题
第五节 二次函数的综合应用
四川6年中考真题精选(2012-2017)
命题点1 二次函数的实际应用(四川:
2017年2考,2016年1考,2015年2考,2014年3考)
1.(2017成都26题8分)随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.李华从文化宫出站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫的距离为x(单位:
千米),乘坐地铁的时间y1(单位:
分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:
地铁站
A
B
C
D
E
x(千米)
8
9
10
11.5
13
y1(分钟)
18
20
22
25
28
(1)求y1关于x的函数表达式;
(2)李华骑单车的时间y2(单位:
分钟)也受x的影响,其关系可以用y2=x2-11x+78来描述.请问:
李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需要的时间最短?
并求出最短时间.
2.(2014眉山24题9分)“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:
如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱.
(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?
(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?
3.(2014资阳22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台.空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=-20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2=-10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).
(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200元.问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在
(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?
并求最大利润.
4.(2017达州22题8分)宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成,已知每件产品的出厂价为60元,工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:
y=
.
(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?
(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如下图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?
第4题图
5.(2016内江27题12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;
(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?
如果有,求出最大值和最小值,如果没有,请说明理由;
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围.
第5题图
命题点2 (绵阳:
6年6考;四川:
2017年10考,2016年10考,2015年10考,2014年10考)
6.(2016自贡24题12分)抛物线y=-x2+4ax+b(a>0)与x轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点),过点P(2,2a)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴对称的点为C(其中B、C不重合)连接AP交y轴于点N,连接BC和PC.
(1)a=时,求抛物线的解析式和BC的长;
(2)如图a>1时,若AP⊥PC,求a的值;
(3)是否存在实数a,使=,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
第6题图
7.(2016绵阳24题12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,3),且此抛物线的顶点坐标为M(-1,4).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点,当△ACD与△ACB面积相等时,求点D的坐标;
(3)点P在线段AM上,当PC与y轴垂直时,过点P作x轴的垂线,垂足为E,将△PCE沿直线CE翻折,使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内,请求出点P′坐标,并判断点P′是否在该抛物线上.
第7题图
8.(2017宜宾24题12分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A(-1,0),B(5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直x轴于点D,连接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;
(3)在
(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上时记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:
在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第8题图
9.(2015宜宾24题12分)如图,二次函数y=-x2+bx+c与x轴分别相交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C.顶点为点P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点M、N从点O同时出发,都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动,过点M作x轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H;
①当四边形OMHN为矩形时,求点H的坐标;
②是否存在这样的点F,使△PFB为直角三角形?
若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
第9题图
答案
1.解:
(1)设一次函数表达式为:
y1=kx+b(k≠0),………(1分)
把x=8,y=18和x=9,y=20代入,
得
,
解得
,…………………………………………………(3分)
∴y1与x的函数表达式为:
y1=2x+2.…………………………(4分)
(2)设李华从文化宫乘地铁和骑单车回家共需y分钟.………(5分)
∵y2=x2-11x+78,
∴y=y1+y2=x2-9x+80=(x-9)2+,…………………(7分)
∵>0,
∴当x=9时,y最小=(分钟),故李华应选择B站出地铁,最短时间为分钟.……………………………………………………(8分)
2.解:
(1)设每箱产品应涨价x元,根据题意得:
(10+x)(50-2x)=600,…………………………(2分)
整理得:
x2-15x+50=0,
解得:
x1=5,x2=10.…………………………(3分)
∵要顾客得到实惠,即涨价越少越好,∴x=5.
答:
每箱产品应涨价5元…………………………;(4分)
(2)设每箱产品涨价x元时,总获利为y元,
则y=(10+x)(50-2x),…………………………(6分)
整理得:
y=-2x2+30x+500,
配方得:
y=-2(x-7.5)2+612.5,…………………………(8分)
当x=7.5时,y取得最大值为612.5元.
答:
每箱产品应涨价7.5元,才能获利最高.…………………(9分)
3.解:
(1)设空调的采购数量为x台,则冰箱的采购数量为(20-x)台.
根据题意可得
,…………………………(2分)
解得11≤x≤15,……………………………………………(3分)
∵x为整数,
∴x可取的值为11,12,13,14,15,
∴该商家共有5种进货方案;…………………………………(4分)
(2)设采购空调的数量为x台,总利润为W元.
则W=(1760-y1)x+(1700-y2)(20-x)…………………………(5分)
=1760x-(-20x+1500)x+1700(20-x)-[-10(20-x)+1300](20-x)
=1760x-(-20x+1500)x+1700(20-x)-(10x+1100)(20-x)
=30x2-540x+12000
=30(x-9)2+9570.…………………………………………(7分)
当x>9时,W随x的增大而增大,
∵11≤x≤15,
∴当x=15时,W最大=30(15-9)2+9570=10650(元).
∴采购空调15台时,获得总利润最大,最大利润为10650元.
(9分)
4.解:
(1)当0≤x≤4时,y最大=7.5×4=30<70,……………(1分)
当4<x≤14时,令y=70则5x+10=70,解得x=12,
∴工人甲第12天生产的产品的数量为70件;……………………(2分)
(2)当0≤x≤4时,P=40,∴W=(60-40)×7.5x=150x,
∵W随x增大而增大,∴当x=4时,W最大=30×(60-40)=30×20=600元,
当4<x≤14时,设P与x的函数关系式为y=kx+b,将点(4,40),(14,50)代入得:
,解得k=1,b=36,
∴P=x+36,……………………………………………(5分)
∴W=(5x+10)(60-x-36)
=(5x+10)(24-x)
=-5x2+110x+240
=-5(x-11)2+845,
∴当x=11时,W最大=845>600,…………………………(7分)
∴W=
.
答:
第11天时,利润最大,最大利润是845元.……………(8分)
5.解:
(1)由题意得,苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米,则x(30-2x)=72,即x2-15x+36=0,…………………………(2分)
解得x1=3,x2=12,
∵平行于墙的一边小于或等于墙的长度,即18米,
∴30-2x≤18,解得x≥6;
又∵篱笆的总长为30米,2x<30,
∴x<15,
∴x的取值范围是6≤x<15,
∴x=12;……………………………………………………(4分)
(2)依题意得:
8≤30-2x≤18,解得6≤x≤11,
面积S=x(30-2x)=-2(x-)2+(6≤x≤11),
①当x=时,S有最大值,S最大=平方米;………………(6分)
②当x=11时,S有最小值,S最小=11×(30-22)=88平方米;
…………………………………………………………………(8分)
(3)6≤x≤10.……………………………………………………(12分)
【解法提示】由题意得
解得:
6≤x≤10.
6.解:
(1)把O(0,0)代入抛物线y=-x2+4ax+b中,得b=0,再把a=,b=0代入抛物线y=-x2+4ax+b,
得抛物线的解析式为y=-x2+6x,…………………………(2分)
则其对称轴为直线x=3.
∵P(2,2a),∴B(2,8),
∴B点关于对称轴的对称点C的坐标为(4,8),
∴BC=2;……………………………………………………(4分)
(2)∵抛物线y=-x2+4ax+b过原点,则b=0,
∴抛物线为y=-x2+4ax,
∴对称轴为x=2a.
∵a>1,∴x=2a>2,
∵P(2,2a),∴B(2,8a-4),
∴C(4a-2,8a-4),
∴BC=4a-4,BP=6a-4,
令y=0,得y=-x2+4ax=0,
解得x=0或x=4a,
∴A(4a,0),
∴PM=2a,AM=4a-2.
∵AP⊥PC,
∴∠CPB+∠APM=∠APM+∠PAM=90°,
∴∠CPB=∠PAM,
∵∠PBC=∠AMP=90°0
∴△BCP∽△MPA,
∴=,即=
解得a=2±,
∵a>1,∴a=2+;……………………………………………(8分)
(3)假设存在a满足=,
当a>1时,如解图①,
第6题解图①
∵PM∥ON,∴△APM∽△ANO,
∴=,即=,
∴a=(舍去).
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