电动力学郭硕鸿第三版课后题目整理复习备考专用.docx
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电动力学郭硕鸿第三版课后题目整理复习备考专用
电动力学习题解答
电动力学答案
2.设u是空间坐标x,y,z的函数,证明:
第一章电磁现象的普遍规律
1.根据算符的微分性与向量性,推导下列公式:
(AB)B(A)(B)AA(B)(A)BA(A)2a2(A)A
f(u)
A(u)
证明:
df
udu
dA
u-
du
A(u)
dAu一
du
电动力学习题解答
3•设r(Xx')2
(yy')2
(zz')2为源点x'到场点x
的距离,
r的方向规定为从源点指向场点。
(1)证明下列结果,
并体会对源变量求微商与对场变量求微
商的关系:
r
'r
r/r;
(1/r)'(1/r)r/r3;
(r/r3)
0;
(r/r3)
'(r/r3)
0,(r0)。
(2)
求r
,r
,(a)r,(ar),
[Eosin(kr)]及
4.应用高斯定理证明
dV
V
f:
dS
S
f,应用斯托克斯
(Stokes)定理证明
dS
S
:
;dl
L
[E°sin(kr)],其中a、k及E°均为常向量。
电动力学习题解答
5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为P(t)v(x',t)x'dV',
利用电荷守恒定律
J——0证明p的变化率为:
t
dp
dt
VJ(x',t)dV
6.若m是常向量,证明除R0点以外,向量A(mR)/R3的旋度等于标量mR/R3的梯度的负值,即
A,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原
点指向场点。
电动力学习题解答
7.有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球,介质的电容率为
,使介质球内均匀带静止自由电荷f,求:
(1)空间各点的电场;
(2)极化体电荷和极化面电荷分布。
8.内外半径分别为ri和r2的无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有恒定均匀自由电流Jf,导体的磁导率为,求磁感应强度和
9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度
荷密度f的(10/)倍。
p总是等于体自由电
磁化电流。
电动力学习题解答
10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间
的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)
11.平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为li和丨2,电
容率为i和2,今在两板接上电动势为E的电池,求:
(1)
电容器两极板上的自由电荷面密度f1和f2;
(2)介质分界面上的自由电荷面密度f3。
(若介质是漏电
的,电导率分别为1和2当电流达到恒定时,上述两物体
的结果如何?
)
电动力学习题解答
12.证明:
(1)当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时,电场线的曲折满足
tan22
tanii
其中i和2分别为两种介质的介电常数,1和2分别
为界面两侧电场线与法线的夹角。
(2)当两种导电介质内流有恒定电流时,分界面上电场线的曲折满足
13.试用边值关系证明:
在绝缘介质与导体的分界面上,在静电情况下,导体外的电场线总是垂直于导体表面;在恒定电流情况下,导体内电场线总是平行于导体表面。
tan22
tan11
其中1和2分别为两种介质的电导率。
,电容率
电动力学习题解答
14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器,单位长度荷电为f,板间填充电导率为的非磁性物质。
(1)证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消,因此内部无磁场。
(2)求f随时间的衰减规律。
(3)求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度。
(4)求长度I的一段介质总的能量耗散功率,并证明它等于这段的静电能减少率。
第二章静电场
1.一个半径为R的电介质球,极化强度为PKr/r2为。
(1)计算束缚电荷的体密度和面密度:
(2)计算自由电荷体密度;
(3)计算球外和球内的电势;
(4)求该带电介质球产生的静电场总能量。
4.均匀介质球(电容率为!
)的中心置一自由电偶极子Pf,球
电动力学习题解答
2.在均匀外电场中置入半径为Ro的导体球,试用分离变量法求
下列两种情况的电势:
(1)导体球上接有电池,使球与地保持电势差0;
(2)导体球上带总电荷Q
3.均匀介质球的中心置一点电荷Qf,球的电容率为,球外为
真空,试用分离变量法求空间电势,把结果与使用高斯定理所得结果比较。
外充满了另一种介质(电容率为
2),求空间各点的电势和
极化电荷分布。
提示:
空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加,后者满足拉普拉斯方程。
电动力学习题解答
5.空心导体球壳的内外半径为Ri和R2,球中心置一偶极子p
球壳上带电Q,求空间各点的电势和电荷分布。
7.在一很大的电解槽中充满电导率为2的液体,使其中流着均
匀的电流Jf0。
今在液体中置入一个电导率为1的小球,求稳
恒时电流分布和面电荷分布,讨论12及21两种
情况的电流分布的特点。
6.在均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷f的绝缘介质球
(电容率为),求空间各点的电势。
电动力学习题解答
8.半径为Ro的导体球外充满均匀绝缘介质,导体球接地,离
球心为a处(a>Rq)置一点电荷Qf,试用分离变量法求空间各点电势,证明所得结果与电象法结果相同。
(RRq)
9.
接地的空心导体球的内外半径为R1和r2,在球内离球心为a处(a
用镜像法求电势。 导体球上的感应电荷有多少? 分布在内表面还是外表面? ,半球 并与平 电动力学习题解答 10.上题的导体球壳不接地,而是带总电荷Q。 ,或使具有确定电 势°,试求这两种情况的电势。 又问°与Qo是何种关系时,两情况的解是相等的? 11.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图) 的球心在导体平面上,点电荷Q位于系统的对称轴上,面相距为b(b>a),试用电象法求空间电势。 Q(x°,a,b) II g b I\i (Xo"db) Q(xo,a,b) 电动力学习题解答 12.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内,它到两个平面的距离为a和b,求空间 电势。 充满电导率为0的液体。 取该两平面为XZ面和yz面在 (Xo,yo,Zo)和(X。 ,y°,Zo)两点分别置正负电极并通以电流I,求导电液体中的电势。 Q(xo,yo,Zo^ZQ(Xo,yo,Zo) Q(Xo,y°,z°) Q(x°,y°,Zo) Q(Xo,yo,Zo) *y yo,Zo) Q(Xo,yo,Zo) Q(Xo,yo,Zo) 13.设有两平面围成的直角形无穷容器, 其内 电动力学习题解答 14.画出函数d(x)/dx的图,说明 于原点的偶极子的电荷密度。 (p)(x)是一个位 15.证明: (1)(ax)(x)/a(a0),(若a0,结果如何? ) (2)x(x)0 (各带等量正负面电荷密度 电动力学习题解答 16.一块极化介质的极化矢量为P(x'),根据偶极子静电势的公 式,极化介质所产生的静电势为P(x')3dV',另外 V4or3 根据极化电荷公式p'P(x')及pnP,极化介 质所产生的电势又可表为 'P(x')P(x')dS' dV',试证明以上两表达 V4orS4or 式是等同的。 17.证明下述结果,并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。 (1) (2)在面偶极层两侧,电势有跃变 inP/o,而电 在面电荷两侧,电势法向微商有跃变,而电势是连续的。 势的法向微商是连续的。 ±c而靠的很近的两个面,形成面偶极层,而偶极矩密度 Pliml) l0 18.一个半径为R0的球面,在球坐标0 /2的半球面上电 势为°在12 的半球面上电势为 0, 求空间各 点电势。 1 提示: °Pn(X)dX Pn1(X)Pni(X) 1 Pn (1) 1, 2n1 0 0 (n奇数) Pn(0)( 八n/2135(n 1) (n 偶数) 1) 246n A的两种 n,电流 3.设有无限长的线电流I沿z轴流动,在z<0空间充满磁导率为的均匀介质,z>0区域为真空,试用唯一性定理求磁感应强度B,然后求出磁化电流分布。 5.某空间区域内有轴对称磁场。 在柱坐标原点附近已知 BzBoC(z22/2),其中Bo为常量。 试求该处的B。 提示: 用B0,并验证所得结果满足H0。 4.设x<0半空间充满磁导率为的均匀介质,x>0空间为真空,今有线电流I沿z轴流动,求磁感应强度和磁化电流分布。 6.两个半径为a的同轴圆形线圈,位于zL面上。 每个线圈 上载有同方向的电流I。 (1)求轴线上的磁感应强度。 (2)求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L和a的关系。 提示: 用条件2Bz/z20 7.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面 上,试解矢势A的微分方程。 设导体的磁导率为0,导体 外的磁导率为。 8.假设存在磁单极子,其磁荷为Qm,它的磁场强度为 3 HQm「/4°r。 给出它的矢势的一个可能的表示式,并 讨论它的奇异性。 9.将一磁导率为,半径为Ro的球体,放入均匀磁场Ho内, 求总磁感应强度B和诱导磁矩m°(对比P49静电场的例子。 ) 10.有一个内外半径为R-i和R2的空心球,位于均匀外磁场Ho 内,球的磁导率为,求空腔内的场B,讨论0时的 磁屏蔽作用。 11.设理想铁磁体的磁化规律为BHoMo,其中Mo是恒 定的与H无关的量。 今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球 (M0为常值)浸入磁导率为'的无限介质中,求磁感应强 度和磁化电流分布。 13.有一个均匀带电的薄导体壳其半径为Ro,总电荷为Q,今使 球壳绕自身某一直径以角速度转动,求球内外的磁场B。 提示: 本题通过解A或m的方程都可以解决,也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。 12.将上题的永磁球置入均匀外磁场Ho中,结果如何? 14.电荷按体均匀分布的刚性小球,其总电荷为Q,半径为R0, 它以角速度绕自身某一直径转动,求 (1)它的磁矩; (2) 它的磁矩与自转角动量之比(设质量Mo是均匀分布的)。 第四章电磁波的传播 1.考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为d和 d的线偏振平面波,它们都沿z轴方向传播。 (1)求合成波,证明波的振幅不是常数,而是一个波。 (2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 15.有一块磁矩为m的小永磁体,位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中,求作用在小永磁体上的力F。 4. 2.一平面电磁波以45。 从真空入射到r2的介质,电场强 度垂直于入射面,求反射系数和折射系数。 频率为的电磁波在各向异性介质中传播时,若E,D,B,H 仍按ei(kxt)变化,但D不再与E平行(即DE不成立)。 (1)证明kBkDBDBE0,但一般kE0。 22 (2)证明D[kE(kE)k]/。 (3)证明能流S与波矢k一般不在同一方向上。 3.有一可见平面光波由水入射到空气,入射角为60°证明这时 将会发生全反射,并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。 设该波在空气中的波长为06.28105cm, 水的折射率为n=1.33。 5.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播,一个波沿 x方向偏振,另一个沿y方向偏振,但相位比前者超前「2, 求合成拨的偏振。 反之,一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振? 8.平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上,入射角为i。 求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度。 若导电介质为金属,结果如何? 提示: 导电介质中的波矢量kBia,a只有z分量。 (为什么? ) 6.平面电磁波垂直射到金属表面上,试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。 7.已知海水的r1,1S•m-1,试计算频率为50,106 和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。 9.无限长的矩形波导管,在z=0处被一块垂直插入的理想导体平板完全封闭,求在z到z=0这段管内可能存在的波模。 10.电磁波E(x,y,z,t)E(x,y)ei(kzz°在波导管中沿z方向传 播,试使用EioH及HioE证明电磁场所有分量都可用Ex(x,y)及Hz(x,y)这两个分量表示。 11.写出矩形波导管内磁场H满足的方程及边界条件。 12.论证矩形波导管内不存在TMmO或TMon波。 14.一对无限大的平行理想导体板,相距为b,电磁波沿平行于板 面的z方向传播,设波在x方向是均匀的,求可能传播的波模和每种波模的截止频率。 9 13.频率为3010Hz的微波,在0.7cm0.4cm的矩形波导管中能以什么波模传播? 在0.7cm0.6cm的矩形波导管中能 以什么波模传播? 15.证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总相等。
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