一元二次方程导学案.docx
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一元二次方程导学案.docx
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一元二次方程导学案
一课三上导案
九年级上册数学科课题《21.1一元二次方程》主备人
导学目标
1.学习目标
1.理解一元二次方程的概念.
2.根据一元二次方程的一般形式,确定各项系数.
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
2.学习重难点
(1)重点:
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.
(2)难点:
通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.
导学步骤
一、自主学习、目标检测
1.下列式子哪些是方程?
2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5<18
2.什么叫方程?
我们学过哪些方程?
3.什么叫一元一次方程?
二、合作探究、精讲释疑
探究三个问题,列出相应的方程:
问题1:
有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
问题2:
要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
问题3:
在一块宽20m、长32m的矩形空地上,修筑宽相等的三条小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把矩形空地分成大小一样的六块,建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2,问小路的宽应为多少?
观察与思考:
以上所列方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里?
它们有什么共同特点呢?
①
②
③
特点:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
归纳:
1、定义:
一元二次方程的概念:
只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)
注:
ax2称为二次项,a称为二次项系数.
bx称为一次项,b称为一次项系数.
c称为常数项.
3、一元二次方程的解:
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(又叫做根).
例1:
下列选项中,关于x的一元二次方程的是()
例2:
a为何值时,下列方程为一元二次方程?
(1)ax2-x=2x2
(2)(a-1)x|a|+1-2x-7=0.
变式:
方程(2a-4)x2-2bx+a=0,
(1)在什么条件下此方程为一元二次方程?
(2)在什么条件下此方程为一元一次方程?
例3:
将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
例4:
已知a是方程x2+2x-2=0的一个实数根,求2a2+4a+2018的值.
三、当堂测评、展示提升
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是().
①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-1④
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为().
A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6
3.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-
2,-1,0,1,2,3,4.
4.方程
中,有一个根为2,则n的值.
5.一元二次方程
有一个解为0,试求方程
的解。
6.求证:
关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
教学反思:
一课三上导案
九年级上册数学科课题《21.2.1《直接开平方法解一元二次方程》主备人任良建
导学目标
1.学习目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
2.学习重难点
重点:
运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
难点:
通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
导学步骤
一、自主学习、目标检测
(一)填空:
1.如果x2=a,则x叫做a的.
2.如果x2=a(a≥0),则x=
3.如果x2=64,则x=
4.任何数都可以作为被开方数吗?
(二)问题:
一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
二、合作探究、精讲释疑
解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流.
(1)x2=4
(2)x2=0(3)x2+1=0
归纳:
一般的,对于可化为方程x2=p,利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
(1)当p>0时
(2)当p=0时
(3)当p<0时
例1:
利用直接开平方法解下列方程:
(1)x2=6;
(2)x2-900=0.
拓展探究:
解方程(x+3)2=5
例2:
解下列方程:
⑴8(x+1)2=2
(2)8(x-1)2-4=0;(3)12(3-2x)2-3=0.
例3:
解下列方程:
思考:
能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?
例4:
市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2,求每年人均住房面积增长率.
三、当堂测评、展示提升
1.下列解方程的过程中,正确的是()
(A)x2=-2,解方程,得x=±
(B)(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)=±3,x1=x2=
(D)(2x+3)2=25,解方程,得2x+3=±5,x1=1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是.
(2)方程2x2=18的根是.
(3)方程(2x-1)2=9的根是
3.解下列方程:
(1)x2-81=0;
(2)2x2=50;(3)2(x+1)2=4
4.解方程:
5.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
教学反思:
一课三上导案
九年级上册数学科课题《21.2.1《配方法解一元二次方程》》主备人任良建
导学目标
1.学习目标
通过对方程配方运用直接开平方法降次解方程
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
2.学习重难点
重点:
掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
难点:
探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
导学步骤
一、自主学习、目标检测
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)9x2=1
(2)(x-2)2=2
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1)x2+6x+9=5
(2)x2+6x+4=0
3.你还记得吗?
填一填下列完全平方公式.
(1)a2+2ab+b2=()2
(2)a2-2ab+b2=()2
4.填上适当的数或式,使下列各等式成立
(1)x2+4x+=(x+)2
(2)x2-6x+=(x-)2
(3)x2+8x+=(x+)2(4)
从以上四个等式中你发现了什么规律?
二、合作探究、精讲释疑
探究1:
x2+px+()2=(x+)2
总结
(一):
配方的方法:
二次项系数为1的完全平方式:
常数项等于一次项系数一半的平方.
探究2:
怎样解方程:
x2+6x+4=0
问题1方程
(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢?
问题2为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9?
加其他数行吗?
总结
(二):
方程配方的方法:
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
总结(三):
1、配方法的定义:
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程,叫做配方法.
2、配方法解方程的基本思路:
把方程化为(x+n)2=p的形式,将一元二次方程降次,转化为一元一次方程求解.
例1:
用配方法解下列方程:
用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项,二次项系数化为1;②左边配成完全平方式;
③左边写成完全平方形式;④降次;⑤解一次方程.
注:
移项时需注意改变符号.
规律总结:
一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.
①当p>0时,
②当p=0时
③当p<0时,
例2:
试用配方法说明:
不论k取何实数,多项式k2-4k+5的值必定大于零.
例3:
若a,b,c为△ABC的三边长,且试判断△ABC的形状.
三、当堂测评、展示提升
1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根为x=0,则m的值为()
A.1B.1C.1或2D.1或-2
2.解下列方程:
(1)x2+4x-9=2x-11;
(2)x(x+4)=8x+12;(3)4x2-6x-3=0;(4)3x2+6x-9=0.
4.应用配方法求最值.
(1)2x2-4x+5的最小值;
(2)-3x2+5x+1的最大值
5.利用配方法证明:
不论x取何值,代数式-x2-x-1的值总是负数,并求出它的最大值.
6.已知a,b,c为△ABC的三边长,且试判断△ABC的形状.
教学反思:
一课三上导案
九年级上册数学科课题《21.2.2《公式法解一元二次方程》》主备人任良建
导学目标
1.学习目标
经历推导求根公式的过程,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力;
会用公式法解简单系数的一元二次方程;
进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
2.学习重难点
重点:
用公式法解简单系数的一元二次方程;
难点:
推导求根公式的过程。
导学步骤
一、自主学习、目标检测
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步?
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
3.问题:
老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解,大家都才解第一个方程呢,小李同学突然站起来说出每个方程解的情况,你想知道她是如何判断的吗?
二、合作探究、精讲释疑
探究:
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0,能否也用配方法得出它的解呢?
总结:
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子就得到方程的根
2.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
注:
用公式法解一元二次方程的前提是:
①必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0);②b2-4ac≥0.
例1:
用公式法解方程5x2-4x-12=0
例2:
解方程:
例3:
解方程:
4x2-3x+2=0
归纳
(一):
公式法解方程的步骤:
1.变形:
化已知方程为一般形式;2.确定系数:
用a,b,c写出各项系数;3.计算:
b2-4ac的值;
4.判断:
若b2-4ac≥0,则利用求根公式求出;若b2-4ac<0,则方程没有实数根.
归纳
(二):
一元二次方程根的判别式:
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,通常用符号“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.
归纳(三):
判断一元二次方程根的情况的方法:
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时,要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
b2-4ac<0时,方程无实数根.
例4:
已知一元二次方程x2+x=1,下列判断正确的是()
A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定
例5:
若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()
A.k>-1B.k>-1且k≠0
C.k<1D.k<1且k≠0
例6:
不解方程,判断下列方程的根的情况.
(1)3x2+4x-3=0;
(2)4x2=12x-9;(3)7y=5(y2+1).
三、当堂测评、展示提升
1.解方程:
x2+7x–18=0.(x-2)(1-3x)=6.
2.关于x的一元二次方程有两个实根,求m的取值范围
3.不解方程,判断下列方程的根的情况.
(1)2x2+3x-4=0;
(2)x2-x+
=0;(3)x2-x+1=0.
4.不解方程,判别关于x的方程的根的情况.
5.在等腰△ABC中,三边分别为a,b,c,其中a=5,若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,求△ABC的周长.
教学反思:
一课三上导案
九年级上册数学科课题《21.2.3《因式分解法解一元二次方程》主备人任良建
导学目标
1.学习目标
会用因式分解法(提公因式法、公式法)法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程
的解法,体会解决问题方法的多样性。
2.学习重难点
重点:
应用分解因式法解一元二次方程
难点:
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
导学步骤
一、自主学习、目标检测
1.将下列各题因式分解
am+bm+cm=;a2-b2=;a2±2ab
+b2=
因式分解的方法:
2.解下列方程.
(1)2x2+x=0(用配方法)
(2)3x2+6x=0(用公式法)
3.探究
仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗?
二、合作探究、精讲释疑
探究1:
我们知道ab=0,那么a=0或b=0,类似的解方程(x+1)(x-1)=0时,可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解,你能求(x+3)(x-5)=0的解吗?
探究2:
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么经过xs物体离地面的高度(单位:
m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?
分析:
列出方程:
配方法解方程10x-4.9x2=0公式法解方程10x-4.9x2=0.
如果利用a·b=0,那么a=0或b=0.的形式来解上式方程,是否更简单?
试一试:
下列各方程的根分别是多少?
(1)x(x-2)=0
(2)(y+2)(y-3)=0(3)x2=x.
归纳
(一):
因式分解法的概念:
这种通过因式分解,将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
归纳
(二):
因式分解法的基本步骤:
一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;
例1:
用因式分解法解下列方程:
例2:
用适当的方法解方程:
(1)3x(x+5)=5(x+5);
(2)(5x+1)2=1;
(3)x2-12x=4;(4)3x2=4x+1;
归纳(三):
各种一元二次方程的解法及适用类型:
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
例3:
已知(x+y)2–x-y=0,求x+y的值.
三、当堂测评、展示提升
1.填空:
①x2-3x+1=0;②3x2-1=0;③-3t2+t=0;④x2-4x=2;
⑤2x2-x=0;⑥5(m+2)2=8;⑦3y2-y-1=0;⑧2x2+4x-1=0;
⑨(x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法;适合运用因式分解法;
适合运用公式法;适合运用配方法.
2.解方程x(x+1)=2时,要先把方程化为;再选择适当的方法求解,得方程的两根为x1=,x2=.
3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是_________
4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1、x2
,且x1>x2,则x1-2x2的值等于
5.若(2x+3y)2+2(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为_________.
6.已知y=x2-6x+9,当x=______时,y的值为0;当x
=
_____时,y的值等于9.
7.方程x(x+1)(x-2)=0的根是()
A.-1,2B.1,-2C.0,-1,2D.0,1,2
8.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为()
A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0
C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=0
9.方程(x+4)(x-5)=1的根为()
A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对
10、用因式分解法解下列方程:
(1)3x(x-1)=2(x-1)
(2
)x2+x(x-5)=0
11.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
教学反思:
一课三上导案
九年级上册数学科课题《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》主备人任良建
导学目标
1、学习目标
知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系
知道二次项系数不为1的一元二次方程的根与系数的关系
2.学习重难点
重点:
不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
难点:
探索一元二次方程的根与系数的关系的推导过程
导学步骤
一、自主学习、目标检测
1.一元二次方程的求根公式是什么?
2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况?
3.想一想:
方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗?
二、合作探究、精讲释疑
算一算解下列方程并完成填空:
(1)x2+3x-4=0;
(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程
两 根
关 系
x1
x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
思考:
(1)若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数)的两根是什么?
将方程化为x2+px+q=0的形式,你能发现x1,x2与p,q之间的关系吗?
现象
(一):
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.
思考:
(2)通过上表猜想,如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2,那么,你可以发现什么结论?
现象
(二):
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,那么x1+x2=x1·x2=
归纳:
一元二次方程的根与系数的关系:
(满足此关系的前提条件b2-4ac≥0)
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,那么x1+x2=
x1·x2=
例1:
利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2+7x+6=0;
(2)2x2-3x-2=0.
例2:
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
变式:
已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值.
例3:
不解方程,求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
例4:
设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根,且x12+x22=4,求k的值.
三、当堂测评、展示提升
1.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根,则另一个根是___,m=____.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1,则:
p=,q=.
3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值.
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4;
(1)求k的值;
(2)求(x1-x2)2的值.
5.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.
教学反思:
一课三上导案
九年级上册数学科课题《21.3第1课时传播问题与一元二次方程》主备人任良建
导学目标
1.学习目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决一些实际传播问题.引入用
“倍数关系”建立实际数学
模型,并利用它解决实际问题.
2.学习重难点
重点:
会分析实际问题(传播问题)中的数量关系并会列一元二次方程
难点:
会找出实际问题(传播问题等)中的相等关系并建模解决问题.
导学步骤
一、自主学习、目标检测
1.列一元一次方程解应用题的步骤?
①审题,②设出未知数.③找等量关系.④列方
程,⑤解方程,⑥检验⑦答
2.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
传染源人数
第1轮传染后的人数
第2轮传染后的人数
1
分析:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人.传染源记作小明,请填好表格内容并列出方程解答:
二、合作探究、精讲释疑
探究1:
结合上面2题,如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
第一轮传染后的人数
第二轮传染后的人数
第三轮传染后的人数
(1+x)1
(1+x)2
探究2:
如果按这样的传染速度,n轮后传染后有多少人患了流感?
例1:
某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
归纳:
解决这类传播问题的经验和方法:
(1)审题,设元,列方程,解方程,检验,作答;
(2)可利用表格梳理数量关系;
(3)关注起始值、新增数量,找出变化规律.
例2:
某种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有100台电脑被感染.请你用学
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- 关 键 词:
- 一元 二次方程 导学案
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