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高中物理自主学习同步讲解与训练运动的合成与分1
运动的合成与分解
一、运动的合成
1.由已知的分运动求其合运动叫运动的合成。
这既可能是一个实际问题,即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动;又可能是一种思维方法,即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的,通过对简单分运动的处理,来得到对于复杂运动所需的结果。
2.描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量,运动的合成应遵循矢量运算的法则:
(1)如果分运动都在同一条直线上,需选取正方向,与正方向相同的量取正,相反的量取负,矢量运算简化为代数运算.
(2)如果分运动互成角度,运动合成要遵循平行四边形定则.
3.合运动的性质取决于分运动的情况:
①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动.
②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动,二者共线时,为匀变速直线运动,二者不共线时,为匀变速曲线运动。
③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动,当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动,当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。
二、运动的分解
1.已知合运动求分运动叫运动的分解。
2.运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则。
3.将速度正交分解为vx=vcosα和vy=vsinα是常用的处理方法。
4.速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解,常用的思想方法有两种:
一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移,看看这个位移产生了什么效果,从中找到运动分解的办法;另一种思想方法是先确定合运动的速度方向(物体的实际运动方向就是合速度的方向),然后分析由这个合速度所产生的实际效果,以确定两个分速度的方向.
三、合运动与分运动的特征:
(1)等时性:
合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等,
(2)独立性:
一个物体可以同时参与几个不同的分运动,各个分运动独立进行,互不影响。
(3)等效性:
合运动和分运动是等效替代关系,不能并存;
(4)矢量性:
加速度、速度、位移都是矢量,其合成和分解遵循平行四边形定则。
四、物体做曲线运动的条件
1.曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线;曲线运动的速度方向是该点的切线方向;曲线运动的速度方向不断变化,故曲线运动一定是变速运动。
2.物体做一般曲线运动的条件:
运动物体所受的合外力(或加速度)的方向跟它的速度方向不在同一直线上(即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π的夹角)。
说明:
当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时,物体做曲线运动速率将增大,当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时,物体做曲线运动的速率将减小。
3.重点掌握的两种情况:
一是加速度大小、方向都不变的曲线运动,叫匀变速曲线运动,如平抛运动;另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动,如匀速圆周运动。
平抛物体的运动
一、平抛物体的运动
1.平抛运动:
将物体沿水平方向抛出,其运动为平抛运动.
(1)运动特点:
a、只受重力;b、初速度与重力垂直.尽管其速度大小和方向时刻在改变,但其运动的加速度却恒为重力加速度g,因而平抛运动是一个匀变速曲线运动
(2)平抛运动的处理方法:
平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性,又具有等时性.
(3)平抛运动的规律:
以物体的出发点为原点,沿水平和竖直方向建立坐标系。
①平抛物体在时间t内的位移s可由③⑤两式推得
s=
=
,
②位移的方向与水平方向的夹角α由tgα=y/x=½gt2/v0t=gt/2v0决定
③平抛物体经时间t时的瞬时速度vt可由②⑤两式推得vt=
,
④速度vt的方向与水平方向的夹角β可由下式决定tgβ=vy/vx=gt/v0
⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间t而推得:
y=
·x2,可见,平抛物体运动的轨迹是一条抛物线.
⑥运动时间由高度决定,与v0无关,所以t=
,水平距离x=v0t=v0
⑦Δt时间内速度改变量相等,即△v=gΔt,Δv的方向是竖直向下的.说明平抛运动是匀变速曲线运动.
2.处理平抛物体的运动时应注意:
①水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的,其中每个分运动都不会因另一个分
运动的存在而受到影响——即垂直不相干关系;
②水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性,运动时间由高度决定,与v0无关;
③末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹角,由上证明可知tgβ=2tgα
【规律方法】
运动的合成与分解
1.运动的合成与分解的应用
合运动与分运动的关系:
满足等时性与独立性.即各个分运动是独立进行的,不受其他运动的影响,合运动和各个分运动经历的时间相等,讨论某一运动过程的时间,往往可直接分析某一分运动得出.
【例1】小船从甲地顺水到乙地用时t1,返回时逆水行舟用时t2,若水不流动完成往返用时t3,设船的速率与水流速率均不变,则( )
A.t3>t1+t2; B.t3=t1+t2;
C.t3<t1+t2; D.条件不足,无法判断
解析:
设船的速度为V,
水的速度为v0,则
<
故选C
【例2】玻璃板生产线上,宽9m的成型玻璃板以4
m/s的速度连续不断地向前行进,在切割工序处,金刚钻的走刀速度为8m/s,为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形,金刚钻割刀的轨道应如何控制?
切割一次的时间多长?
解析:
要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直v,如图设v刀与v玻方向的夹角为θ,cosθ=v玻/v刀=4
/8,则θ=
。
v=
=
=4m/s。
时间t=s/v=9/4=2.25s
【例3】如图所示的装置中,物体A、B的质量mA>mB。
最初,滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向,若用水平力F向右拉A,起动后,使B匀速上升。
设水平地面对A的摩擦力为f,绳对A的拉力为T,则力f,T及A所受合力F合的大小( )
A.F合≠O,f减小,T增大; B.F合≠O,f增大,T不变;
C.F合=O,f增大,T减小; D.F合=O,f减小,T增大;
分析:
显然此题不能整体分析。
B物体匀速上升为平衡状态,所受的绳拉力T恒等于自身的重力,保持不变。
A物体水平运动,其速度可分解为沿绳长方向的速度(大小时刻等于B物体的速度)和垂直于绳长的速度(与B物体的速度无关),写出A物体速度与B物体速度的关系式,可以判断是否匀速,从而判断合力是否为零。
解:
隔离B物体:
T=mBg,保持不变。
隔离A物体:
受力分析如图所示,设绳与水平线夹角为θ,则:
①随A物体右移,θ变小,由竖直平衡可以判断支持力变大。
由f=μN,得f变大。
②将A物体水平运动分解如图所示,有vB=vAcosθ,故随θ变小,cosθ变大,vB不变,vA变小,A物体速度时时改变,必有F合≠O。
所得结论为:
F合≠O,f变大,T不变。
B项正确。
【例4】如图所示,A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端,当A物体以速度v向左运动时,系A,B的绳分别与水平方向成α、β角,此时B物体的速度大小为 ,方向_________。
解析:
根据A,B两物体的运动情况,将两物体此时的速度v和vB分别分解为两个分速度v1(沿绳的分量)和v2(垂直绳的分量)以及vB1(沿绳的分量)和vB2(垂直绳的分量),如图,由于两物体沿绳的速度分量相等,v1=vB1,vcosα=vBcosβ.
则B物体的速度方向水平向右,其大小为
2.小船渡河问题分析
【例5】一条宽度为L的河,水流速度为vs,已知船在静水中的航速为vc,那么,
(1)怎样渡河时间最短?
(2)若vs<vc,怎样渡河位移最小?
(3)若vs>vc,怎样渡河船漂下的距离最短?
分析与解:
(1)如图2甲所示,设船头斜向上游与河岸成任意角θ,这时船速在垂直于河岸方向的速度分量v1=vcsinθ,渡河所需时间为:
.
可以看出:
L、vc一定时,t随sinθ增大而减小;当θ=
时,sinθ=1,所以,当船头与河岸垂直时,渡河时间最短,
.
(2)如图2乙所示,渡河的最小位移即河的宽度。
为了使渡河位移等于L,必须使船的合速度v的方向与河岸垂直。
这时船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度θ。
根据三角函数关系有:
vccosθ─vs=0.
所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在vc>vs时,船才有可能垂直于河岸横渡。
(3)如果水流速度大于船在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游。
怎样才能使漂下的距离最短呢?
如图2丙所示,设船头vc与河岸成θ角,合速度v与河岸成α角。
可以看出:
α角越大,船漂下的距离x越短,那么,在什么条件下α角最大呢?
以vs的矢尖为圆心,以vc为半径画圆,当v与圆相切时,α角最大,根据cosθ=vc/vs,船头与河岸的夹角应为:
θ=arccosvc/vs.
船漂下的最短距离为:
. 此时渡河的最短位移为:
.
思考:
①小船渡河过程中参与了哪两种运动?
这两种运动有何关系?
②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么?
3.曲线运动条件的应用
做曲线运动的物体,其轨迹向合外力所指的一方弯曲,若已知物体的运动轨迹,可判断出合外力的大致方向.若合外力为变力,则为变加速运动;若合外力为恒力,则为匀变速运动;
【例6】质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态,当撤去某个恒力F1时,物体可能做( )
A.匀加速直线运动; B.匀减速直线运动;
C.匀变速曲线运动; D.变加速曲线运动。
分析与解:
当撤去F1时,由平衡条件可知:
物体此时所受合外力的大小等于F1,方向与F1的方向相反。
若物体原来静止,物体一定做与F1相反方向的匀加速直线运动。
若物体原来做匀速运动,若F1与初速度方向在同一条直线上,则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动,故A、B正确。
若F1与初速度不在同一直线上,则物体做曲线运动,且其加速度为恒定值,故物体做匀变速曲线运动,故C正确,D错误。
正确答案为:
A、B、C。
平抛物体的运动
1.平抛运动的分析方法
用运动合成和分解方法研究平抛运动,要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动,即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.其运动规律有两部分:
一部分是速度规律,一部分是位移规律.对具体的平抛运动,关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规律有关
【例1】如图在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球,落在斜面上的某一点B处,设空气阻力不计,求
(1)小球从A运动到B处所需的时间;
(2)从抛出开始计时,经过多长时间小球离斜面的距离达到最大?
解析:
(1)小球做平抛运动,同时受到斜面体的限制,设小球从A运动到B处所需的时间为t,则:
水平位移为x=V0t
竖直位移为y=
,由数学关系得到:
(2)从抛出开始计时,经过t1时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时,小球离斜面的距离达到最大。
因Vy1=gt1=V0tanθ,所以
2.平抛运动的速度变化和重要推论
①水平方向的分速度保持vx=v0.竖直方向,加速度恒为g,速度vy=gt,从抛出点起,每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示.这一矢量关系有两个特点:
(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0;
(2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下,且Δv=Δvy=gΔt.
②平抛物体任意刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明:
设时间t内物体的水平位移为s,竖直位移为h,则末速度的水平分量vx=v0=s/t,而竖直分量vy=2h/t,
, 所以有
3.平抛运动的拓展(类平抛运动)
【例2】如图所示,光滑斜面长为a,宽为b,倾角为θ,一物块沿斜面左上方顶点P水平射入,而从右下方顶点Q离开斜面,求入射初速度。
解析:
物块在垂直于斜面方向没有运动,物块沿斜面方向上的曲线运动可分解为水平方向上初速度v0的匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零的匀加速运动.
在沿斜面方向上mgsinθ=ma加 a加=gsinθ………①,水平方向上的位移s=a=v0t……②,沿斜面向下的位移y=b=½a加t2……③,由①②③得v0=a·
说明:
运用运动分解的方法来解决曲线运动问题,就是分析好两个分运动,根据分运动的运动性质,选择合适的运动学公式求解
【模拟试题】
1.如图所示,A、B两直杆交角为θ,交点为M,若两杆各以垂直于自身的速度v1、v2沿着纸面运动,则交点M的速度为多大?
2.两个宽度相同但长度不同的台球框固定在水平面上,从两个框的长边同时以相同的速度分别发出小球A和B,如图所示,设球与框边碰撞时无机械能损失,不计摩擦,则两球回到最初出发的框边的先后是( )
A.A球先回到出发框边
B.B球先回到出发框边
C.两球同时回到出发框边
D.因两框长度不明,故无法确定哪一个球先回到出发框边
3.一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。
在半圆柱体上搁置一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动,如图所示。
当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时,求竖直杆运动的速度。
4.如图所示,在竖直平面的xoy坐标系内,oy表示竖直向上的方向。
该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。
一个带电小球从坐标原点沿oy方向竖直向上抛出,初动能为4J,不计空气阻力。
它达到的最高点位置如图中M点所示。
求:
(1)小球在M点时的动能E1。
(2)在图上标出小球落回x轴时的位置N。
(3)小球到达N点时的动能E2。
5.图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线,虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹,a,b是轨迹上的两点.若带电粒子在运动中只受电场力作用,根据此图可作出正确判断的是( )
A.带电粒子所带电荷的符号
B.带电粒子在a,b两点的受力方向
C.带电粒子在a,b两点的速度哪一个较大
D.带电粒子在a,b两点的电势能哪一个较大
6.排球场总长18m,网高2.25m,如图所示,设对方飞来一球,刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回。
假设排球被击回的初速度的方向是水平的,那么可认为排球被击回时做平抛运动。
(g取10m/s2)
(1)若击球的高度h=2.5m,球击回的水平速度与底线垂直,球既不能触网又不出底线,则球被击回的水平速度在什么范围内?
(2)若运动员仍从3m线处起跳,起跳高度h满足一定条件时,会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界,试求h满足的条件。
7.做平抛运动的物体,在落地前的最后1s内,其速度方向由跟竖直方向成
角变为跟竖直方向成
角,求:
物体抛出时的速度和高度分别是多少?
【试题答案】
1.解析:
如图所示,若B杆不动,A杆以v1速度运动,交点将沿B杆移动,速度为v
,v
=v1/sinθ.若A杆不动,B杆移动时,交点M将沿A杆移动,速度为v
,v
=v2/sinθ.两杆一起移动时,交点M的速度vM可看成两个分速度v
和v
的合速度,故vM的大小为vM=
=
2.解析:
小球与框边碰撞无机械能损失,小球每次碰撞前后的运动速率不变,且遵守反射定律。
以A球进行分析,如图。
小球沿AC方向运动至C处与长边碰后,沿CD方向运动到D处与短边相碰,最后沿DE回到出发边。
经对称得到的直线A/CDE/的长度与折线ACDE的总长度相等。
框的长边不同,只要出发点的速度与方向相同,不论D点在何处,球所通过的总路程总是相同的,不计碰撞时间,故两球应同时到达最初出发的框边。
答案:
C
也可用分运动的观点求解:
小球垂直于框边的分速度相同,反弹后其大小也不变,回到出发边运动的路程为台球桌宽度的两倍,故应同时回到出发边。
3.解析:
设竖直杆运动的速度为V1,方向竖直向上,由于弹力方向沿OP方向,所以V0、V1在OP方向的投影相等,即有
,解得V1=V0.tgθ.
4.解:
(1)在竖直方向小球只受重力,从O→M速度由v0减小到0;在水平方向小球只受电场力,速度由0增大到v1,由图知这两个分运动平均速度大小之比为2∶3,因此v0∶v1=2∶3,所以小球在M点时的动能E1=9J。
(2)由竖直分运动知,O→M和M→N经历的时间相同,因此水平位移大小之比为1∶3,故N点的横坐标为12。
(3)小球到达N点时的竖直分速度为v0,水平分速度为2v1,由此可得此时动能E2=40J。
5.解析:
由图中的曲线可以看出,不管带电粒子由a→b还是由b→a,力的方向必然指向左下方,从而得到正确答案:
BCD
6.解析
(1)球以vl速度被击回,球正好落在底线上,则t1=
,vl=s/t1
将s=12m,h=2.5m代入得v1=
;
球以v2速度被击回,球正好触网,t2=
,v2=s//t2
将h/=(2.5-2.25)m=0.25m,s/=3m代入得v2=
。
故球被击回的水平速度范围是
<v≤
。
(2)若h较小,如果击球速度大,会出界,如果击球速度小则会触网,临界情况是球刚好从球网上过去,落地时又刚好压底线,则
=
,s、s/的数值同
(1)中的值,h/=h-2.25(m),由此得 h=2.4m
故若h<2.4m,无论击球的速度多大,球总是触网或出界。
7.解析一:
设平抛运动的初速度为v0,运动时间为t,则经过(t一1)s时vy=g(t一1), tan
=
经过ts时:
vy=gt,tan450=
∴
V0=gt/tan
=23.2m/s.H=½gt2=27.5m.
解析二:
此题如果用结论解更简单.
Δv=gΔt=9.8m/s.又有v0cot
-v0cot
=Δv,解得v0=23.2m/s,
H=vy2/2g=27.5m.
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