高考一轮复习 概率计数原理.docx
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高考一轮复习概率计数原理
2017高考一轮复习计数原理
一.选择题(共13小题)
1.(2013•深圳一模)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )
A.18个B.15个C.12个D.9个
2.某运输公司有7个车队,甲车队只有3辆车,其他车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,则不同的抽法共有( )
A.84种B.120种C.63种D.83种
3.代数式(a1+a2+a3+a4+a5)(b1+b2+b3+b4)(C1+C2+C3)的展开式的项数有( )
A.12B.13C.60D.360
4.(2007春•长春校级期中)用0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数?
( )
A.156B.360C.216D.144
5.(2016•湖南模拟)高三某班上午有4节课,现从6名教师中安排4人各上一节课,如果甲乙两名教师不上第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为( )
A.36B.24C.18D.12
6.(2014春•禅城区期末)如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为( )
A.60B.480C.420D.70
7.(2011•泸州一模)设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( )
A.50种B.49种C.48种D.47种
8.(2010•湖南校级模拟)由数字1,2,3,…9组成的三位数中,各位数字按严格递增(如“156”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是( )
A.120B.168C.204D.216
9.(2015秋•慈溪市校级期中)在(2x2﹣
)n的展开式中含常数项,则正整数n的最小值是( )
A.2B.3C.4D.5
10.(2016•茂名二模)1+(1﹣x)2+(1﹣x)3+(1﹣x)4+(1﹣x)5展开式中x2项的系数为( )
A.﹣19B.19C.20D.﹣20
11.(2016•邯郸二模)已知(1﹣2x)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,则a3+a4等于( )
A.0B.﹣240C.﹣480D.960
12.(2016•辽宁二模)若(1﹣2x)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016,(x∈R),则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2016)的值是( )
A.2018B.2017C.2016D.2015
13.(2016春•抚顺期末)若(1﹣2x)2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x∈R),则
+
+…+
的值为( )
A.2B.0C.﹣1D.﹣2
二.填空题(共6小题)
14.(2013春•凉州区校级月考)从﹣1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共有 个,其中不同的偶函数共有 个.(用数字作答)
15.(2007•辽宁)将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第i个数为ai(i=1,2,…,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法有 种(用数字作答).
16.(2013•珠海一模)若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有 种.
17.(x2﹣
)12的展开式的常数项是 .
18.(2012春•秦州区校级月考)若二项式(3x2+
)n的展开式中各项系数的和是64,则展开式中的常数项为 .
19.(2013•泗县模拟)(1﹣x﹣x2)(x+
)6展开式的常数项为 .
三.解答题(共9小题)
20.(2016春•克拉玛依校级期中)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?
(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;
(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限.
21.7个人排成一排.
(1)甲在左端,乙不在右端的排列有多少个?
(2)甲不在左端,乙不在右端的排列有多少个?
(3)甲在两端,乙不在中间的排列有多少个?
(4)甲不在左端,乙不在右端,丙不在中间的排列有多少个?
(5)甲、乙都不在两端的排列有多少个?
22.七个人排成一排.
(1)甲、乙、丙排在一起,共有多少种排法?
(2)甲、乙相邻,且丙、丁相邻,有多少种排法?
(3)甲、乙、丙排在一起,且都不在两端,有多少种排法?
(4)甲、乙、丙排在一起,且甲在两端,有多少种排法?
(5)甲、乙之间恰有2人的排法有多少?
(6)甲、乙之间是丙的排法有多少?
23.(2011春•海珠区校级期中)4个男同学,3个女同学站成一排,下列情况下有多少种不同的排法?
(1)3个女同学必须排在一起;
(2)任何两个女同学彼此不相邻;
(3)女同学从左到右按高矮顺序排.
24.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
25.求(x2+
﹣2)5的展开式中的常数项.
26.(2010秋•安陆市校级期末)
(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项;
(2)求(1﹣2x)7展开式中系数最大项.
27.求证:
24n﹣1能被5整除.
28.
(1)求200310除以8的余数;
(2)求1.9975精确到0.001的近似值.
2017高考一轮复习计数原理
参考答案与试题解析
一.选择题(共13小题)
1.(2013•深圳一模)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )
A.18个B.15个C.12个D.9个
【分析】先设满足题意的“六合数”为
,根据“六合数”的含义得a+b+c=4,于是满足条件的a,b,c可分四种情形,再对每一种情形求出种数,即可得出“六合数”中首位为2的“六合数”共有多少种.
【解答】解:
设满足题意的“六合数”为
,则a+b+c=4,于是满足条件的a,b,c可分以下四种情形:
(1)一个为4,两个为0,共有3种;
(2)一个为3,一个为1,一个为0,共有A
=6种;
(3)两个为2,一个为0,共有3种;
(4)一个为2,两个为1,共有3种.
则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种.
故选B.
【点评】本小题主要考查排列、组合及简单计数问题等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想.属于基础题.
2.某运输公司有7个车队,甲车队只有3辆车,其他车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,则不同的抽法共有( )
A.84种B.120种C.63种D.83种
【分析】根据排列组合的知识进行求解即可.
【解答】解:
现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,
则先从7个车队先各抽1辆,此时还少3辆,
若3辆分别来自3个车队,则有
种抽法,
若3辆分别来自2个车队,则一个抽取1辆,另外抽取2辆,则有
种抽法,
若3辆分别来自1个车队,则甲不能抽取则有
种抽法,
共有21+42+20=83种抽法,
故选:
D.
【点评】本题主要考查排列组合的应用,注意要进行分类讨论.
3.代数式(a1+a2+a3+a4+a5)(b1+b2+b3+b4)(C1+C2+C3)的展开式的项数有( )
A.12B.13C.60D.360
【分析】根据条件中所给的是多项式乘以多项式,根据多项式乘法法则知道,要得到式子的结果,需要在每一个括号中选一个进行乘法运算,第一个括号中有5种结果,第二个括号中有4种结果,第三个括号中有3种结果,相乘得到结果.
【解答】解:
由题意知本题是一个计数原理的应用,
条件中所给的是多项式乘以多项式,根据多项式乘法法则知道,
∵要得到式子的结果,需要在每一个括号中选一个进行乘法运算,
第一个括号中有5种结果,第二个括号中有4种结果,第三个括号中有3种结果,
∴根据分步乘法原理得到共有5×4×3=60种结果,
故选C.
【点评】本题考查计数原理的应用,本题解题的关键是看出题目的实质,理解多项式乘以多项式的法则,看出三个多项式中所给的多项式的项数,利用乘法原理得到项数,本题是一个基础题.
4.(2007春•长春校级期中)用0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数?
( )
A.156B.360C.216D.144
【分析】用0,1,2,3,4,5六个数字组成没有重复数字的四位偶数,,则0不能排在首位,末位必须为0,2,4其中之一.
属于有限制的排列问题,且限制有两个,即首位和末位,所以,先分两类.第一类,末位排0.第二类,末位不排0,分别求出排法,再相加即可.
【解答】解:
用0,1,2,3,4,5六个数字组成没有重复数字的四位偶数,则0不能排在首位,末位必须为0,2,4其中之一.
所以可分两类,,则其它位没限制,从剩下的5个数中任取3个,再进行排列即可,共有
A53=60个
第二类,末位不排0,又需分步,第一步,从2或4中选一个来排末位,有C21=2种选法,第二步排首位,首位不能排0,从剩下的4个数中选1个,有4种选法,第三步,排2,3位,没有限制,从剩下的4个数中任取2个,再进行排列即可,共有12种.
把三步相乘,共有2×4×12=96个
最后,两类相加,共有60+96=156个
故选A
【点评】本题考查了有限制条件的排列问题,可先分类,求出每类方法数,再相加.属于易错题,应认真对待.
5.(2016•湖南模拟)高三某班上午有4节课,现从6名教师中安排4人各上一节课,如果甲乙两名教师不上第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为( )
A.36B.24C.18D.12
【分析】由题意,先安排第一节课,从除甲乙丙之外的3人中任选1人,最后一节课丙上,中间的两节课从剩下的4人中任选2人,问题得以解决
【解答】解:
先安排第一节课,从除甲乙丙之外的3人中任选1人,最后一节课丙上,中间的两节课从剩下的4人中任选2人,
故甲乙两名教师不上第一节课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为
=36种.
故选:
A
【点评】本题考查了分步计数原理,关键是如何分步,特殊位置优先安排的原则,属于基础题
6.(2014春•禅城区期末)如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为( )
A.60B.480C.420D.70
【分析】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解.
【解答】解:
分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解.由题设,四棱锥S﹣ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法.
当S,A,B染好时,不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法,即当S,A,B染好时,C,D还有7种染法.
故不同的染色方法有60×7=420种.
故选C.
【点评】本题主要排列与组合及两个基本原理,总体需分类,每类再分步,综合利用两个原理解决,属中档题.
7.(2011•泸州一模)设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( )
A.50种B.49种C.48种D.47种
【分析】解法一,根据题意,按A、B的元素数目不同,分9种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案;
解法二,根据题意,B中最小的数大于A中最大的数,则集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,按A、B中元素数目这和的情况,分4种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案.
【解答】解:
解法一,若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有C52=10种;
若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C53=10种;
若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C54=5种;
若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有C55=1种;
若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C53=10种;
若集合A中有两个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C54=5种;
若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C55=1种;
若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C54=5种;
若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C55=1种;
若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C55=1种;
总计有49种,选B.
解法二:
集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,
从5个元素中选出2个元素,有C52=10种选法,小的给A集合,大的给B集合;
从5个元素中选出3个元素,有C53=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法;
从5个元素中选出4个元素,有C54=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法;
从5个元素中选出5个元素,有C55=1种选法,再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有4×1=4种方法;
总计为10+20+15+4=49种方法.选B.
【点评】本题考查组合数公式的运用,注意组合与排列的不同,进而区别运用.
8.(2010•湖南校级模拟)由数字1,2,3,…9组成的三位数中,各位数字按严格递增(如“156”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是( )
A.120B.168C.204D.216
【分析】本题是一个分步计数问题,解题时先要从9个数字中选出3个数字,当三个数字确定以后,这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情,根据分步计数乘法原理,得到结果.
【解答】解:
由题意知,本题是一个分步计数问题,
首先要从9个数字中选出3个数字,
当三个数字确定以后,这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况,
根据分步计数原理知共有2C93=168
故选B.
【点评】本题考查分步计数原理,分步要做到完成了所有步骤,恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘得到总数.
9.(2015秋•慈溪市校级期中)在(2x2﹣
)n的展开式中含常数项,则正整数n的最小值是( )
A.2B.3C.4D.5
【分析】先求得(2x2﹣
)n的展开式的通项公式,则由题意可得x的幂指数等于零有解,从而求得正整数n的最小值.
【解答】解:
根据(2x2﹣
)n的展开式的通项公式为Tr+1=
•2nx2n﹣2r•(﹣
)r•
=(﹣
)r•
•
,
则由题意可得2n=
有解,r=0、1、2、3…n,
故正整数n的最小值为5,
故选:
D.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.
10.(2016•茂名二模)1+(1﹣x)2+(1﹣x)3+(1﹣x)4+(1﹣x)5展开式中x2项的系数为( )
A.﹣19B.19C.20D.﹣20
【分析】利用二项式定理即可得出.
【解答】解:
由1+(1﹣x)2+(1﹣x)3+(1﹣x)4+(1﹣x)5,
它的展开式中x2项系数为
=1+3+6+10=20.
故选:
C.
【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
11.(2016•邯郸二模)已知(1﹣2x)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,则a3+a4等于( )
A.0B.﹣240C.﹣480D.960
【分析】根据(1﹣2x)5=[3﹣2(1+x)]5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,利用二项式展开式的通项公式求得a3+a4的值.
【解答】解:
(1﹣2x)5=[3﹣2(1+x)]5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,
则a3+a4=
•32•(﹣2)3+
•3•(﹣2)4=﹣720+240=﹣480,
故选:
C.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.
12.(2016•辽宁二模)若(1﹣2x)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016,(x∈R),则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2016)的值是( )
A.2018B.2017C.2016D.2015
【分析】在所给的等式中,令x=0,可得a0=1.再令x=1,可得a0+a1+a2+…+a2016=1,求得a1+a2+…+a2016=0,从而求得要求式子的值.
【解答】解:
在(1﹣2x)2016=a0+a2x+a2x2+…+a2016x2016(x∈R)中,
令x=0,可得a0=1.
再令x=1,可得a0+a1+a2+…+a2016=1,∴a1+a2+…+a2016=0,
∴(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2016)=2016a0+(a1+a2+…+a2016)=2016,
故选:
C.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,是给变量赋值的问题,关键是根据要求的结果,选择合适的数值代入,属于基础题.
13.(2016春•抚顺期末)若(1﹣2x)2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x∈R),则
+
+…+
的值为( )
A.2B.0C.﹣1D.﹣2
【分析】由题意可得可得a0=1,再令x=
,可得0=a0+
+
+…+
,从而求得
+
+…+
的值.
【解答】解:
在(1﹣2x)2011=a0+a1x+…+a2011x2011(x∈R)中,可得a0=1,
令x=
,可得0=a0+
+
+…+
,∴
+
+…+
=﹣1,
故选:
C.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的x赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于基础题.
二.填空题(共6小题)
14.(2013春•凉州区校级月考)从﹣1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共有18个,其中不同的偶函数共有6个.(用数字作答)
【分析】欲求可组成不同的二次函数个数,只须利用分步计数原理求出a、b、c的组数即可;其中不同的偶函数的个数,要注意:
“b=0”再利用分步计数原理即可.
【解答】解:
一个二次函数对应着a、b、c(a≠0)的一组取值,
a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,
由,分步计数原理知共有二次函数3×3×2=18个.
若二次函数为偶函数,则b=0.同上共有3×2=6个;
故答案为18;6.
【点评】本题考查的是分步计数原理,分步计数原理(也称乘法原理)完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法…做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
15.(2007•辽宁)将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第i个数为ai(i=1,2,…,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法有30种(用数字作答).
【分析】由题意知本题是一个分步计数问题,先排a1,a3,a5,当a1=2,a1=3,a1=4;做出这三种情况下的结果数;第二步再排a2,a4,a6,做出结果数,根据分步计数原理得到结果.
【解答】解:
由题意知本题是一个分步计数问题
分两步:
(1)先排a1,a3,a5,
当a1=2,有2种;a1=3有2种;a1=4有1种,共有5种;
(2)再排a2,a4,a6,共有A33=6种,
∴不同的排列方法种数为5×6=30,
故答案为:
30
【点评】本题考查计数原理,对于复杂一点的计数问题,有时分类以后,每类方法并不都是一步完成的,必须在分类后又分步,综合利用两个原理解决,即类中有步,步中有类.
16.(2013•珠海一模)若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有11种.
【分析】首先用倍分法求出单词“good”四个字母中其不同的排列数目,再在其中排除正确的1种情况,即可得答案.
【解答】解:
根据题意,因为“good”四个字母中的两个“O”是相同的,则其不同的排列有
×A44=12种,
而正确的排列只有1种,
则可能出现的错误共有11种;
故答案为11.
【点评】本题考查排列组合的运用,解题时注意“good”四个字母中两个“O”是相同的,应该用倍分法来求其不同的排列数.
17.(x2﹣
)12的展开式的常数项是495.
【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项的值.
【解答】解:
由于(x2﹣
)12的展开式的通项公式为Tr+1=
(x2)12﹣r
•(﹣1)r,
=
(﹣1)r•x24﹣3r,
令24﹣3r=0,求得r=8,
可得(x2﹣
)12的展开式的常数项为
=
=495,
故答案为:
495.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.
18.(2012春•秦州区校级月考)若二项式(3x2+
)n的展开式中各项系数的和是64,则展开式中的常数项为9.
【分析】先令x=1,求出n的值,再利用展开式的通项公式,求出常数项.
【解答】解:
∵二项式(3x2+
)n的展开式中各项系数的和是64,
∴令x=1,则4n=64,解得n=3;
∴
的展开式的通项是
Tr+1=
•(3x2)3﹣r•
=33﹣r•
•x6﹣3r,
令6﹣3r=0,解得r=2;
∴常数项为T2+1=33﹣2•
=3•3=9.
故答案为:
9.
【点评】本题考查了二项式定理的应用问题,解题时应根据二项式的展开式与通项公式进行解答,是基础题.
19.(2013•泗县模拟)(1﹣x﹣x2)(x+
)6展开式的常数项为5.
【分析】把(x+
)6按照二项式定理展开,可得(1﹣x﹣x2)(x+
)6的展开式,从而求得它的常数项.
【解答】解:
(1﹣x﹣x2)(x+
)6=(1﹣x﹣x2)(x6+
x4+
•x2
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