江苏省青华中学届高三上学期期末数学试题5.docx
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江苏省青华中学届高三上学期期末数学试题5
江苏省青华中学2018届高三上学期期末数学试题(5)
一.填空题:
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则∁U(M∪N)=.
2.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中具有初级职称的职工为10人,则样本容量为.
3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线x2-y2=8的一个焦点,则p=.
4.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取一点M,则四棱锥MABCD的体积小于的概率为.
5.已知a∈R,若为实数,则a=.
6.设向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),则“a∥b”是“tanθ=”的条件.
(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”).
7.已知点P(x,y)的坐标满足条件那么点P到直线3x-4y-13=0的距离的最小值为.
8.椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M,若MF1垂直于MF2,则椭圆的离心率为.
9.若实数
,
,且
,则
的最小值为.
10.如图,半径为1的扇形AOB的圆心角为120°,点C在弧
上,
且∠COB=30°.若
=λ
+2μ
,则
=.
11.设数列{an}的前n项和为Sn,若的值为常数,则称数列{an}为“吉祥数列”,这个常数称为数列{an}的“吉祥数”.已知等差数列{bn}的首项为1,公差不为0,若数列{bn}为“吉祥数列”,则它的“吉祥数”是.
12.如图,在△ABC中,sin=,AB=2,点D在线段AC上,且AD=2DC,BD=,则cos∠C=.
13.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|
+
|≥|
|,那么k的取值范围是.
14.若不等式
在实数集R上恒成立,则正整数
的最大值是.
[参考数据:
]
........
二、解答题:
.
15.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥BC,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(1)求证:
平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:
C1F∥平面ABE.
16.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足=.
(1)求角C的大小;
(2)设函数f(x)=cos(2x+C),将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值.
17.为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧,顶点为水渠最底端(如图),渠宽为4m,渠深为2m.
(1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填土,使其成为横断面为等腰梯形的新水渠(如图
(1)建立平面直角坐标系),新水渠底面与地面平行(不改变渠宽),问新水渠底宽为多少时,所填土的土方量最少?
4
(2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增大水渠的过水量,现把旧水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠(如图
(2)建立平面直角坐标系),使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽.
(图1)
(图2)
18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
,定点A(-2,0),B(2,0).
(1)若椭圆C上存在点T,使得=,求椭圆C的离心率的范围;
(2)已知点
在椭圆C上.
①求椭圆C的方程;
②记M为椭圆C上的动点,直线AM,BM分别与椭圆C交于另一点P,Q,若
,
.求λ+μ的值.
19.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n∈N*.
(1)求证:
数列为等比数列;
(2)记Sn=++…+,若Sn<100,求最大正整数n;
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列,且am-1,as-1,an-1成等比数列?
如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由.
20.已知
,
为实数,函数
,函数
.
(1)当
时,令
,若
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)当
时,令
,是否存在实数
,使得对于函数
定义域中的任意实数
,均存在实数
,有
成立?
若存在,求出实数
的取值集合;若不存在,请说明理由.
附加题
21.已知矩阵A=将直线l:
x+y-1=0变换成直线l′.
(1)求直线l′的方程;
(2)判断矩阵A是否可逆?
若可逆,求出矩阵A的逆矩阵A-1;若不可逆,请说明理由.
22.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
23.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值;
(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
24.已知动圆Q过定点M(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4.
(1)求动圆圆心Q的轨迹C的方程;
(2)已知点P(-2,1),动直线l和坐标轴不垂直,且与轨迹C相交于A,B两点,试问:
在x轴上是否存在一定点G,使直线l过点G,且使得直线PA,PG,PB的斜率依次成等差数列?
若存在,请求出定点G的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.{1,6};2.40;3.8;4.;5.-;6.必要不充分;7.2;
8.-1;9.
;10.
;11.
;12.;13.[,2);14.
.
15.(本小题14分).
(1)证明:
在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC且AB⊂平面ABC.
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,
所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.-------------6分
(2)证明:
取AB中点G,连结EG,FG.
因为E,F分别是A1C1,BC的中点,
所以FG∥AC,且FG=AC.
因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1.
所以四边形FGEC1为平行四边形.
所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,
所以C1F∥平面ABE.------------------------14分
16.(本小题14分).
解:
(1)∵a,b,c是△ABC的内角A,B,C所对的三边,且=,
∴由正弦定理得=,
即(sinA-sinB)cosC=cosBsinC,
即sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C).
∵A+B+C=π,
∴sin(B+C)=sinA≠0,
∴cosC=1,即cosC=.
∵C是△ABC的内角,
∴C=.--------------------------------8分
(2)由
(1)可知f(x)=cos,
g(x)=f=cos=cos(2x-).
∵0≤x≤,
∴-≤2x-≤,
∴g(x)在
时,(不写扣2分)
最大值为1-----------------------------14分
17.(本小题14分).
(图1)
解建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的方程为
,由已知点
在抛物线上,得
,所以抛物线的方程为
.
(1)为了使填入的土最少,内接等腰梯形的面积要最大,如图1,设点
,则此时梯形APQB的面积
,
∴
令
,得
,
当
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减,
所以当
时,
有最大值
,改挖后的水渠的底宽为
m时,可使填土的土方量最少.-----------7分
(图2)
(2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与抛物线相切,如图2,设切点
,
则函数在点M处的切线方程为
,
分别令
得
,
所以此时梯形OABC的面积
,当且仅当
时,等号成立,此时
.所以设计改挖后的水渠的底宽为
m时,可使挖土的土方量最少.-------------------14分
18.(本小题16分).
(1)设点T(x,y),由=,
得(x+2)2+y2=2[(x+1)2+y2],即x2+y2=2.
由得y2=m2-m,(其中:
m=
)
因此0≤m2-m≤m,解得1≤m≤2.
所以椭圆的离心率e=∈.-----------------6分
(2)①椭圆C的方程为
.-----------------10分
②法一:
设M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
得
从而
因为+y=1,所以+(λy1)2=1,
即λ2+2λ(λ-1)x1+2(λ-1)2-1=0.
因为+y=1,代入得2λ(λ-1)x1+3λ2-4λ+1=0.
由题意知,λ≠1,故x1=-,所以x0=.
同理可得x0=.
因此=,所以λ+μ=6为定值.--------------16分
法二:
设M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
直线AM的方程为y=(x+2),
将y=(x+2)代入+y2=1,得(x0+2)2+yx2+4yx+4y-(x0+2)2=0(*).
所以x0x1=-,所以x1=-.
同理x2=.
因为
,
所以λ+μ=+=+=+=6,
即λ+μ=6为定值.
19.(本小题16分).
[解]
(1)因为=+,
所以-1=-.
又因为-1≠0,所以-1≠0(n∈N*).
所以数列为等比数列.---------------4分
(2)由
(1)可得-1=·n-1,
所以=2·n+1.
Sn=++…+=n+2
=n+2·=n+1-,
若Sn<100,则n+1-<100,
因为函数y=n+1-单调增,(不写扣2分)
所以最大正整数n的值为99.----------------10分
(3)假设存在,则m+n=2s,
(am-1)(an-1)=(as-1)2,
因为an=,
所以=2,
化简得3m+3n=2·3s.
因为3m+3n≥2·=2·3s,
当且仅当m=n时等号,又m,s,n互不相等,所以不存在.-------------16分
20.(本小题16分).
【解】
(1)
(4分)
(2)当a=-1时,假设存在实数b满足条件,则G(x)=lnx≥1在x∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立.(5分)
1)当x∈(0,1)时,G(x)=lnx≥1可化为(bx+1-b)lnx-x+1≤0,
令H(x)=(bx+1-b)lnx-x+1,x∈(0,1),
问题转化为:
H(x)≤0对任意x∈(0,1)恒成立(*);
则H
(1)=0,H′(x)=blnx++b-1,H′
(1)=0.
令Q(x)=blnx++b-1,则Q′(x)=.
①b≤时,因为b(x+1)-1≤(x+1)-1<×2-1=0,
故Q′(x)<0,所以函数y=Q(x)在x∈(0,1)时单调递减,Q(x)>Q
(1)=0,
即H′(x)>0,从而函数y=H(x)在x∈(0,1)时单调递增,
故H(x) (1)=0,所以(*)成立,满足题意;(7分) ②当b>,Q′(x)==, 因为b>,所以-1<1,记I=∩(0,1),则当x∈I时,x->0, 故Q′(x)>0,所以函数y=Q(x)在x∈I时单调递增,Q(x) (1)=0, 即H′(x)<0,从而函数y=H(x)在x∈I时单调递减,所以H(x)>H (1)=0,此时(*)不成立; 所以当x∈(0,1),G(x)=lnx≥1恒成立时,b≤;(9分) 2)当x∈(1,+∞)时,G(x)=lnx≥1可化为(bx+1-b)lnx-x+1≥0, 令H(x)=(bx+1-b)lnx-x+1,x∈(1,+∞),问题转化为: H(x)≥0对任意的x∈(1,+∞)恒成立(**); 则H (1)=0,H′(x)=blnx++b-1,H′ (1)=0. 令Q(x)=blnx++b-1,则Q′(x)=. ①b≥时,b(x+1)-1>2b-1≥×2-1=0, 故Q′(x)>0,所以函数y=Q(x)在x∈(1,+∞)时单调递增,Q(x)>Q (1)=0,即H′(x)>0, 从而函数y=H(x)在x∈(1,+∞)时单调递增,所以H(x)>H (1)=0,此时(**)成立;(11分) ②当b<时, ⅰ)若b≤0,必有Q′(x)<0,故函数y=Q(x)在x∈(1,+∞)上单调递减, 所以Q(x) (1)=0,即H′(x)<0, 从而函数y=H(x)在x∈(1,+∞)时单调递减,所以H(x) (1)=0,此时(**)不成立;(13分) ⅱ)若01,所以x∈时,Q′(x)==<0, 故函数y=Q(x)在x∈上单调递减,Q(x) (1)=0,即H′(x)<0, 所以函数y=H(x)在x∈时单调递减,所以H(x) (1)=0,此时(**)不成立; 所以当x∈(1,+∞),G(x)=lnx≥1恒成立时,b≥.(15分) 综上所述,当x∈(0,1)∪(1,+∞),G(x)=lnx≥1恒成立时,b=,从而实数b的取值集合为.(16分) 数学试题(附加题) 21.解: (1)在直线l上任取一点P(x0,y0), 设它在矩阵A=对应的变换作用下变为Q(x,y). 则=,∴即 又∵点P(x0,y0)在直线l: x+y-1=0上,∴+-1=0, 即直线l′的方程为4x+y-7=0.-------------------5分 (2)∵≠0,∴矩阵A可逆.设A-1=,∴AA-1=, ∴解得∴A-1=.-----10分 22.解: (1)由ρcos=1得ρ=1. 从而C的直角坐标方程为x+y=1,即x+y=2.-------1分 当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).-------3分 当θ=时,ρ=,所以N.----------5分 (2)因为M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为. 所以P点的直角坐标为,则P点的极坐标为, 所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).-------10分 23.解: (1)由已知得C+2C=11,∴m+2n=11,------1分 x2的系数为C+22C=+2n(n-1) =+(11-m)=2+. ∵m∈N*,∴m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.------4分 (2)由 (1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3. ∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3. 设这时f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5, 令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59, 令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1, 两式相减得2(a1+a3+a5)=60, 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.------10分 24.解: (1)设Q(x,y),根据题意得=,整理得y2=4x,所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2=4x.--------3分 (2)设存在符合题意的定点G. 设直线l的方程为x=ny+m(n≠0且n∈R),则G(m,0). 将x=m+ny代入y2=4x中,整理得y2-4ny-4m=0. 由题意得Δ=16n2+16m>0,即n2+m>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4n,y1·y2=-4m, kPA===,kPB=, kPG==-, 由题意得kPA+kPB=2kPG,即kPA+kPB-2kPG=0, 所以++=0, 即2(m+2)y1y2(y1+y2)+16(m+2)(y1+y2)+2[(y1+y2)2-2y1y2](2-m)+(y1y2)2-32m=0, 把y1+y2=4n,y1·y2=-4m代入上式, 整理得(m-2)n=(m+2)(2-m), 又因为n∈R,所以解得m=2, 所以存在符合题意的定点G,且点G的坐标为(2,0).-------10分
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