第一章 勾股定理《四清导航》单元清试题含答案.docx
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第一章勾股定理《四清导航》单元清试题含答案
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第一章 勾股定理
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8,则第三边长的平方是( )
A.100 B.28 C.14 D.28或100
2.若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为( )
A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.4∶6∶7 D.7∶24∶25
3.下列几组数中,为勾股数的是( )
A.
,
,
B.3,4,6 C.5,12,13 D.0.9,1.2,1.5
4.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒,如果将直角三角形的边长扩大1倍,那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需( )
A.6秒 B.5秒 C.4秒 D.3秒
5.如果直角三角形的两直角边长分别为n2-1,2n(n>1),那么它的斜边长是( )
A.2n B.n+1 C.n2-1 D.n2+1
6.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
7.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为( )
A.56 B.48 C.40 D.32
8.若一个三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9.如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )
A.6cm2 B.8cm2 C.10cm2 D.12cm2
第9题图 第10题图
10.如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )
A.25海里B.30海里 C.40海里 D.50海里
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图①、②中,
(1)正方形A的面积为____;
(2)斜边x=____.
第11题图 第12题图
12.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于____.
13.四根小木棒的长分别为5cm,8cm,12cm,13cm,任选三根组成三角形,其中有____个直角三角形.
14.如图,将一根长为22cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的长至少是____.
第15题图 第16题图
15.有一块直角三角形纸片,两直角边AC=12cm,BC=5cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为____.
16.如图,在△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于_______________cm.
17.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为____cm2.
第17题图 第18题图
18.如图,在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高____米.
三、解答题(共66分)
19.(8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AD=12,BD=16,CD=5.
求:
(1)△ABC的周长;
(2)判断△ABC是否是直角三角形?
为什么?
20.(8分)如图,在四边形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面积为30cm2,DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm求△ABC的面积.
21.(8分)如图,是用硬纸板做成的两个小直角三角形和一个大直角三角形,两个小直角三角形直角边长分别为a和b,斜边为c,大直角三角形直角边都为c,请你动动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形,并用这个图形证明勾股定理.
22.(8分)有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处,如图,已知杯子高8cm,点B距杯口3cm,杯子底面半径为4cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少?
(π取3)
23.(10分)如图,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子靠墙的一端距地面24米.
(1)这个梯子底端离墙有多少米?
(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?
24.(12分)如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,点F在DC上,且DF=
DC.试判断BE与EF的位置关系,并说明理由.
25.(12分)由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日,A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处,以每时12km的速度向北偏东60°方向移动,距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.(在直角三角形中,30°的角所对的直角边是斜边的一半)
(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响?
为什么?
(2)若A城受这次沙尘暴影响,那么遭受影响的时间有多长?
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8,则第三边长的平方是( D )
A.100 B.28 C.14 D.28或100
2.若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为( D )
A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.4∶6∶7 D.7∶24∶25
3.下列几组数中,为勾股数的是( C )
A.
,
,
B.3,4,6 C.5,12,13 D.0.9,1.2,1.5
4.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒,如果将直角三角形的边长扩大1倍,那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需( C )
A.6秒 B.5秒 C.4秒 D.3秒
5.如果直角三角形的两直角边长分别为n2-1,2n(n>1),那么它的斜边长是( D )
A.2n B.n+1 C.n2-1 D.n2+1
6.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( A )
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
7.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为( B )
A.56 B.48 C.40 D.32
8.若一个三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,则这个三角形是( B )
A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
9.如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( A )
A.6cm2 B.8cm2 C.10cm2 D.12cm2
第9题图 第10题图
10.如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( C )
A.25海里B.30海里 C.40海里 D.50海里
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图①、②中,
(1)正方形A的面积为__36__;
(2)斜边x=__13__.
第11题图 第12题图
12.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于__2π__.
13.四根小木棒的长分别为5cm,8cm,12cm,13cm,任选三根组成三角形,其中有__1__个直角三角形.
14.如图,将一根长为22cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的长至少是__9_cm__.
第15题图 第16题图
15.有一块直角三角形纸片,两直角边AC=12cm,BC=5cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为__2.4_cm__.
16.如图,在△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于__2,2,2__cm.
17.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为__49__cm2.
第17题图 第18题图
18.如图,在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高__15__米.
三、解答题(共66分)
19.(8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AD=12,BD=16,CD=5.
求:
(1)△ABC的周长;
(2)判断△ABC是否是直角三角形?
为什么?
解:
(1)△ABC的周长=AB+AC+BC=20+13+21=54
(2)∵AB=20,AC=13,BC=21,AB2+AC2≠BC2,∴△ABC不是直角三角形
20.(8分)如图,在四边形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面积为30cm2,DC=12cm,AB=3cm,BC=4cm求△ABC的面积.
解:
6cm2
21.(8分)如图,是用硬纸板做成的两个小直角三角形和一个大直角三角形,两个小直角三角形直角边长分别为a和b,斜边为c,大直角三角形直角边都为c,请你动动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形,并用这个图形证明勾股定理.
解:
如图所示,这是一个梯形.
证明:
∵S梯形ABCD=S△ABE+S△AED+S△ECD,∴
(a+b)·(a+b)=
ab+
c2+
ab,∴(a+b)2=ab+c2+ab,a2+2ab+b2=2ab+c2,∴a2+b2=c2
22.(8分)有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处,如图,已知杯子高8cm,点B距杯口3cm,杯子底面半径为4cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少?
(π取3)
解:
从点A处竖直向上剪开,此圆柱体的侧面展开图如图,其中AC为圆柱体的底面周长,
则AC=2πr≈2×3×4=24(cm),则E′B=
E′D′=
AC=
×24=12(cm).又因为EA=8cm,EE′=3cm,所以AE′=EA-EE′=8-3=5(cm).在Rt△ABE′中,AB2=AE′2+E′B2=52+122=132,所以AB=13(cm),因为两点之间,线段最短,所以蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm
23.(10分)如图,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子靠墙的一端距地面24米.
(1)这个梯子底端离墙有多少米?
(2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?
解:
(1)7米
(2)不是,梯子向后滑动了8米
24.(12分)如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,点F在DC上,且DF=
DC.试判断BE与EF的位置关系,并说明理由.
解:
BE⊥EF,理由:
∵AE=DE=
AD,DF=
DC,AB=AD=CD=BC,∴BE2=AB2+AE2=
AB2,EF2=DE2+DF2=
AB2,BF2=BC2+CF2=
AB2,∴BE2+EF2=BF2,∴BE⊥EF
25.(12分)由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日,A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处,以每时12km的速度向北偏东60°方向移动,距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.(在直角三角形中,30°的角所对的直角边是斜边的一半)
(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响?
为什么?
(2)若A城受这次沙尘暴影响,那么遭受影响的时间有多长?
解:
(1)过点A作AC⊥BM,垂足为C,在Rt△ABC中,由题意可知∠CBA=30°,∴AC=
AB=
×240=120,∵AC=120<150,∴A城将受这次沙尘暴的影响;
(2)如图,设点E,F是以A为圆心,150km为半径的圆与MB的交点,连接AE,AF,由题意得CE=90,∴EF=2CE=2×90=180,∴A城受沙尘暴影响的时间为15(时),答:
A城将受到这次沙尘暴的影响,影响的时间为15时.
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