电磁学专题.docx
- 文档编号:29096194
- 上传时间:2023-07-20
- 格式:DOCX
- 页数:98
- 大小:589.48KB
电磁学专题.docx
《电磁学专题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《电磁学专题.docx(98页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
电磁学专题
一、真空中的静电场
•电荷的特性
•库仑定律
•电场强度与试探电荷
•高斯定理
•环路定理
•电势差和电势
•电荷在电场中的运动
1.电荷的特性
•自然界中有正、负两种电荷,同斥异吸(?
)。
•电荷是量子化的,最小电量e(夸克e/3或2e/3)。
•电荷对称性:
每种带电的基本粒子都有电量异号的反粒子。
例如e和e+,p和p,π+和π−。
•电量是相对论不变量,与带电物的速度无关。
•电荷守恒:
孤立系统电荷总量不变,电荷只能从系统内的一物移到另一物,或成对湮灭、产生。
6种夸克
例如:
−
p(质子)由uud组成;π+介子由ud组成
−
n(中子)由udd组成;π−介子由du组成
2.库仑定律
F
=kq1q0r
=−F,
r
103
10
两个静止点电荷q0和q1
1001
之间的作用力的大小与
两点电荷电量的乘积成正比,与它们之间距离
的平方成反比,作用力的方向沿着两点电荷间的连线,同号电荷相斥,异号电荷相吸。
3.电场强度与试探电荷
•带电体对点电荷q0的静电力,因素较多。
→寻找更单纯的量,仅反映带电体的自身性质。
•F/q0形式上与q0无关,但q0可能会影响带电体的电荷分布,所以F/q0实质上与q0相关,并不比F简单。
•若q0足够小,小到几乎不影响带电体的电荷分布,则F/q0与q0无关,称为带电体在该点的电场强度E。
•q0的尺寸也足够小,以便精确检测电场的空间分布。
•这样的q0为试探电荷;
•一般取q0>0,则E和F方向一致,简化思维。
4.高斯定理
通过任意闭合曲面(高斯面)S的电通量等于该面内全部电荷的代数和除以ε0,与S外电荷无关。
其数学表述是
说明:
ΦE=
O∫∫SE
⋅dS
=∑q
(S内)
/ε0
1)静电场是有源场,电荷是它的源;
2)E是S面上的电场,E由全空间电荷的分布决定
(与ΦE不同);
3)dS的方向规定为外法线方向。
证明思路:
讨论对象是任意带电体和任意闭合曲面,不容易一步到位。
先讨论简单情况:
1)带电体简化为点电荷,之后用叠加原理推广;
2)任意高斯面简化为以点电荷为中心的单位球面,这样就可以直接通过点电荷电场公式求电通量,之后再设法推广到一般高斯面(该推广是本证明的关键之处)。
3)至于q位于S外情形的证明,需要利用前面结果和的任意性。
证明:
先针对最简单的点电荷情况证明高斯定理。
1)当高斯面为单位半径的球面(r=1)、q位于球心所在位置时,E的大小q/(4πε0),方向与外法线方向一致,可求得
ΦE=ES=
4π=.
4πε0ε0
2)对高斯面为任意封闭曲面S的情况,考察其任一
元ΔS,设其外法线n与电场E的方向夹角为θ,ΔS与q的距离为r。
以q为顶点,通过ΔS的周线作一面,该锥面在单位球面上切出一面元ΔS1,在半径为r的球面上切出一面元ΔS2。
显然有
ΔS2
=ΔS
cosθ,
ΔS2
ΔS
=r2,
E=q.
4πεr2
10
1
ΔΦE
=EΔS
cosθ
=EΔS2
=q
2
4πε0r
r2ΔS=
q
4πε0
ΔS1,
关键:
ΔS与ΔS1上的电通量相同。
ΔS和ΔS1之间存在一一对应的关系
→穿过S的电通量与单位球面的相等,即q/ε0。
3)q处于高斯面外。
作一个
包围q且与S相交的封闭曲面,交线ABCD将S分为S1和S2两部分,而新作封闭曲面在S之外的部分记为S0。
不必是球面!
因为S0和S1构成了包围q的一个高斯面,所以有
∫∫S0
E⋅dS
−∫∫S
E⋅dS
=q/ε0,
注意n1的方向!
1
S0和S2也构成了包围q的一个高斯面,所以
∫∫S0
E⋅dS+
∫∫S2
E⋅dS
=q/ε0.
由第二式减去第一式可得
1
∫∫S
E⋅dS
+∫∫S
E⋅dS
=∫∫S
E⋅dS
=0.
2
可见当高斯面不包围点电荷q时,总电通量为零。
到此,证明了对单个点电荷的情况高斯定理成立。
最后,由叠加原理,将点电荷的高斯定理推广到点
电荷系、连续带电体。
Nn
ΦE=
∑
i=1
ΦEi
=1∑q
i
ε0i=1
=1∑q,
ε0(S内)
O∫∫
S
E⋅dS=1
ε0
∫∫∫
V
ρe(r)dV
=1Q
ε0
进一步讨论
•高斯定理可以直接推广到非静电场。
•高斯定理反映了静电力∝r−2,与径向性无关。
•不必讨论点电荷正好在高斯面上的情形,因为点电是带电体尺度远小于研究尺度时的数学近似。
当带体在高斯面上时,点电荷近似失效。
•高斯面外的电荷对高斯面的总电通量为零,但并非一面元上的通量为零,因为面元处一般E≠0,除非E⊥ΔS,否则E·ΔS≠0。
•此处用初等方法证明,形象直观,但严谨性不够。
例如,若S的形状奇特,锥体可能多次穿过它。
当q
在S外部或内部时,锥体穿过S偶数或奇数次。
由于相邻两次的通量抵消,分别只是零通量或穿过一次
通量的贡献。
•其他证法,如立体角法:
O∫∫
E⋅dS
q
=O∫∫
r⋅dS
=O∫∫
qdΩ=q
3
SS4πε0r
S4πε0ε0
其中利用了立体角的定义dΩ=
为4π。
r⋅dS
r3
以及总立体角
5.环路定理
静电场环路定理:
静电场的环量恒等于零,即对任意闭合回路L有
O∫LE⋅dl=0
[证]先证点电荷情形。
点电荷q产生静电场
r
3
E=q
4πε0r
对闭合路径做功
电场做功与路径无关
A=qq0
4πε0
r
O∫Lr3
⋅dl
由图可知
r⋅dl
=rcosθdl
=rdr.
将q0沿L从点P移到点Q,电场E做功
Q
A=q
E⋅dl=
q0q
Qr⋅dl
r
=
q0q
r
Qdr
=
q0q
⎛1
−1⎞.
PQ∫0
4πε
∫r3
4πε
∫r2
4πε
⎜rr⎟
P0rP
0rP
0⎝PQ⎠
可见,单个点电荷的静电场对试
探电荷q0所做功,只与q0的起、终点的位置有关,与路径L无关。
由此可推出环量为零,因为
⋅d=
q
dr=
q⎛
r
dr+
dr⎞
=0.
O∫El
4πε
O∫r2
4πε
QP
⎜
⎜∫2∫
⎝
⎟
r2⎟
L0L
0P(L1)
Q(L2)⎠
式中L1+L2=L,即L1与L2构成闭合环路L,证毕。
连续带电体:
可视为许多点电荷的叠加,环量仍
为零。
进一步讨论
•环路定理表明静电场是一个无旋场,静电场的电场线不闭合。
•环路定理的成立归因于库仑力的径向性,与距离平方反比律无关。
(将r−2换成r−n或者更一般形式f(r),仍可以导出环路定理)
•对含时电场,环路定理失效。
6.电势差和电势
由于静电作功与路径无关,可引进电势的概念。
当把试探电势q0由点P移到点Q时,定义电场力
所做功为电势能的减少:
WPQ
=WP
−WQ
=APQ
Q
=q0∫PE⋅dl.
常令无穷远处电势能为零,则q0在点P的电势能
∞
WP=
q0∫PE
⋅dl,
P、Q两点间的电势差和P点的电势分别定义为
QP
UPQ
=WPQ
/q0=∫
E⋅dl
=−∫
E⋅dl,
PQ
∞P
UP=WP
/q0
=∫P
E⋅dl
=−∫∞
E⋅dl.
匀强电场、重力场、惯性力、碰撞……
二、导体和电介质
•物质按导电性分类
•静电屏蔽
•电容器
•电介质
•电像法
•利用静电能求静电力
1)导体导电能力极强的物体,电阻率10−8~10−6Ω⋅m。
如:
金属、电解质水溶液、电离气体。
2)绝缘体(电介质)导电能力极弱的物体,电阻率
106~1018Ω⋅m。
如:
橡胶、陶瓷、纯水、空气。
3)半导体导电能力介于导体和绝缘体之间,温度效应明显,电阻率10−6~106Ω⋅m,如:
硅、锗、硒。
4)超导体足够低温下电阻率突然→0。
如:
几十种元素、几百种合金和金属化合物,Tc=0.12~150K。
导电性能取决于载流子
——物质中可以自由移动的带电微粒
•金属导体:
原子最外层的价电子,即自由电子
•电解质:
正、负离子
•电离气体:
电子和正、负离子
•绝缘材料:
微量自由电子、本征离子、杂质离子
•半导体:
n型/自由电子;p型/空穴
•超导体:
电子对,又称库珀对
导电性能跨度几十个数量级,什么机制?
2.静电屏蔽
(1)腔外不影响腔内
(2)腔内却影响腔外
腔内无电荷腔内有电荷
(3)空腔接地,腔内腔外互不影响
腔内有电荷,导体腔接地等效图
3.电容器
1)孤立导体球的电容,设半径为R
∞
U=∫
∞Q
E⋅dr=∫
dr=Q
r
0
RR4πε2
Q
4πε0R
C¾=
U
4πε0R
•用孤立导体球要得到1F的电容,球半径为大?
9
C=1F
时,R
=1/4πε0
=9×10(m)
≈1400RE
•孤立导体电容的缺点
A电容一般很小,不能满足使用的需求
A实际的电容附近常有其他导体或介质,难以孤立
2)电容器
•构成:
A两个彼此绝缘而又互相靠近的导体组成的系统
A两个导体带有等量异号的电荷,±Q
A夹层绝缘物可以是空气、纸、云母片、塑料
C=Q
UA−UB
=QUAB
•优点:
电容值大、静电屏蔽
问题:
为什么电容器的Q/U为常数?
4.电介质
1)法拉第实验电介质对电场的影响
•充电的电容器,静电计指针显示两板间的电势差;
•插入电介质,静电计指示两极板间电势差减小。
•分析:
U E′为介质与外电场相互作用所产生,称退极化场。 E′与外场E0反方向,说明电介质的 表面出现了与极板电荷异号的电 荷,这种电荷只能在分子范围内移动,与电介质是不可分离的,称为极化电荷或束缚电荷。 电介质在外电场作用下,其表面甚至内部出现极化 电荷的现象,叫做电介质的极化。 电介质中的总电场为两个电场之和: E=E0+E′≠0 2)介质极化机制 •无极分子: 无外场时分子电荷的正负中心重合,无固有电偶极矩。 如: He,Ne,O2,CO2,CH4 •有极分子: 无外场时分子电荷的正负中心分开,有固有电偶极矩,如: 水,HCl,NH3,CH3OH 无极分子有极分子 p+ ± − 无外场时(热运动) •无极分子的极化 外电场使得正、负电荷中心发生位移,不再重合,形成电偶极子,表面出现束缚电荷,此为位移极化。 •有极分子的极化 热效应? 外电场使得分子电偶极矩受力矩作用而转向外场 方向,表面出现束缚电荷,此为取向极化。 5.电像法 •理论依据 A唯一性定理 •适用范围 A导体或介质界面的几何形状较简单。 •解题步骤A确定像电荷的大小和位置,必须满足原边界条件A去掉界面,按源电荷和像电荷求解所求区域电场A求解边界上的感应电荷和电场力。 6.静电能 1)定义 •一个系统的带电过程总伴随着电荷相对运动。 在这个过程中,外力必须克服电荷间的相互作用而做功。 •外界作功所消耗的能量将转换为带电系统的能量,该能量定义为带电系统的静电能。 •显然,静电能应由系统的电荷分布决定。 •点电荷在外电场中的电势能就是一种静电能。 2)两个点电荷的静电能 •初始q1和q2相距无穷远 •将q1移至r1,外力不做功;再将q2移至r2,外界克服 静电力F12做功 ∞qq 122122∫1 W=qU =qE r2 ⋅dl= 21 4πε0r12 •由上式对称性,外力做功与两个点电荷的移动顺序无关,先移q2再移q1外力做功W21=q1U21=W12 •可将W21或W12定义为该体系的静电能。 •等价式 W=1(W +W)= 1(qU +qU) 221221 2121212 3)N个点电荷的静电能 1NNq1N N∑∑∑ii W= 8πε0 j=1 j≠i i=1 i rji =qU. 2i=1 4)带电体和带电面的静电能 W=1 ρ(r)U(r)dV, W=1 σ(r)U(r)dS. e2∫∫∫Vee 2∫Se 带电线静电能发散,即此时线电荷模型失效。 5)带电导体的静电能 NNN We= 1∑∫∫ σeUdS =1∑U i∫∫ σedS =1∑ qiUi, 2i=1S 2i=1S 2i=1 ii 6)电场的能量和能量密度 平行板电容器的静电能如何用电场表示? 前有We =1QU, 2 设电容器极板间填满介质,则有 Q=σe0S=DS,U=Ed, 从而上述静电能公式可改用电场强度表示 W=1 DSEd =1DEV, e22 定义单位体积的静电能为静电能密度: w=W /V= 1DE. ee2 写成矢量式如下 we= 1D⋅E. 2 可见,原认为局限于极板表面电荷中的静电 能,实际上贮存于电场空间。 逐点对应,局域量! 对一般形式的电场,总静电能应为 We= ∫∫∫ wedV 1 =2∫∫∫ D⋅EdV. VV 这样定义的静电能密度和静电能计入了介质的 极化能,它要求介质是线性无损耗的。 7.利用静电能求静电力 由电荷分布可以直接求静电力,但电荷分布经常是不知道的。 三、稳恒电流 •电流连续方程 •稳恒条件 •欧姆定律的微观机制 •电源与电动势 •基尔霍夫定律解复杂电路 •导电介质的综合求解问题 1.电流连续方程——电荷守恒定律的数学表示。 •在导体内任取一闭合曲面S,所围区域为V,则电荷守恒定律要求 O∫∫S j⋅dS =−dq,dt 这就是积分形式的电流连续方程。 其中 O∫∫Sj⋅dS 是单位时间内由S面流出的电量,而dq/dt是单位时 间内V中电量的减少。 •电荷守恒定律的普适性→电流连续方程普遍成立 •电流线性质: 起、止于电荷随时间变化处。 起点dq/dt<0,累积负电荷; 终点dq/dt>0,累积正电荷;电荷不随时间变化处,电流线不会中断。 2.稳恒条件 •稳恒电流,意味着j与时间无关,电流连续方程的左边不含时,所以dq/dt应为与时间无关的常数。 •为避免无限积累电荷,该常数必为零,即dq/dt=0,于是得到稳恒条件 O∫∫S j⋅dS =0, •既然电荷分布与时间无关,所产 生电场必然是静电场。 •稳恒条件下的电流线不可能有起点和终点,即稳恒电流的电流线或电流管一定是闭合的。 同一电流管各截面的电流强度相等。 •推论: 直流电路是闭合的,且沿一段没有分支的电路,电流强度处处相等。 3.欧姆定律的微观机制 以金属导体为例 •定性的微观结构: 金属中的原子倾向于失去部分电子而成为正离子。 全部正离子周期有序排列,形成“晶体点阵”或“晶格”。 脱离原子的电子称为自由电子,它们不束缚于某一特定的正离子,而是为全体正离子所共有。 •在无外电场(或其它原因,如温度或数密度不均匀等)时,金属中的自由电子好像气体中的分子一样无规热运动,没有特定方向,因而j=0。 •当有外电场时,自由电子在电场力驱动下加速,直 到与晶格碰撞。 在电场力和碰撞力的共同作用下,自由电子沿外电场的反方向漂移,形成沿电场方向 的宏观电流。 •碰撞改变电子的运动方向和速率,并将部分能量转移给晶格上的正离子,使其热振动加剧。 这就是金属具有电阻和焦耳热的原因。 •电子漂移速度的定量分析: 电子在相邻两次碰撞之间匀加速漂移,而每次碰撞后电子对原来的速度完全丧失记忆,即沿各方向等概率散射,宏观定向速度u0=0。 在相邻两次碰撞之间,电子的宏观定向速度 u1= a⋅τ =−eτ E/m 其中τ 为电子在相邻两次碰撞之间的平均自由飞行 时间。 设电子的平均自由程为λ,平均热运动速率 为v,一般情况下v >>u1,则近似有 τ=λ/v 电子的漂移速度u应是碰撞前后宏观定向速度的平 均,即 u=1(u +u)=1u=−eλE 20121 2mv •j和u的定量关系。 在导体中某点P作一面元ΔS⊥u。 经过Δt后电子漂移的距离为uΔt。 以ΔS为底,uΔt为 高,逆着u的方向作一柱体,则在Δt时间内,只有 柱体中的电子全部通过ΔS。 设电子的数密度为n, 这些电子的总数为nuΔtΔS。 ∴ΔI=Δq/Δt=neuΔS, 电流密度j=ΔI/ΔS=neu,考虑到方向,则 j=−neu, 将u的表达式代入上式得 ne2λ j=E 2mv •电导率 与欧姆定律j=σE比较,可求得电导率的表达式为 ne2λσ= 2mv 我们不仅解释了欧姆定律,而且导出了电导率与 微观量平均值的关系。 这一关系定性上正确,如 11 σ∝∝ (×), T↑则σ ↓(√). vT 严格定量的金属导电机制,需要用到量子理论。 •分析单位时间电子因碰撞而损失的动能,可以得到焦耳定律的微分形式p=j2/σ。 •欧姆定律的失效问题——j与E(I与U)线性否 1)电场很强(金属中E>103-104V/m)时,u~v,计算τ 时不可忽略与电场有关的u,即τ =τ(E),→j与E的 关系非线性。 另,高速运动电子与晶格碰撞可使正 离子进一步电离,n=n(E),加剧j和E间的非线性。 2)低气压下的电离气体,λ↑,τ ↑,则u↑, 从而导致欧 姆定律失效,理由同前。 3)晶体管、电子管,其导电机制导致I与U非线性。 4)高频交变电场中的导体内,稳恒条件不成立。 5)各向异性导体的σ是张量,j与E不同向。 6)超导体中。 4.电源与电动势 1)稳恒电流离不开电源 •电流线闭合vs电场线不闭合,但j//E,似有矛盾! 破解: 非静电力,助正电荷从低电势→高电势。 •提供非静电力的装置称电源。 单位正电荷所受非静电力用K表示,电路断开时K与E反向。 •电源另一作用: 通路时,通过极板及外电路各处累积的电荷产生静电场,使电流经外电路由正极指向负极。 2)电源内部的欧姆定律 已经由F=qE得到了外电路欧姆定律j=σE,类比,可由F=q(K+E)得到 j=σ内(K+E) •实际应用中,描述电源的性质,更常用的不是K,而是电动势E,它定义为 + E=∫− K⋅dl (电源内部) 即非静电力在电源内部将单位电荷从负极搬运到 正极所做的功。 3)常见的非静电力 •溶液中离子对极板的化学亲和力→化学电池; •与温度梯度和电子浓度梯度相联系的扩散作用→温差电偶; •光伏效应→光电池; •核力→放射源电池; •磁场对运动电荷的洛伦兹力→动生电动势; •变化磁场产生的涡旋电场对电荷的作用力→感生电动势。 5.基尔霍夫定律解复杂电路 •四个基本概念 1)节点: 在电路中,3条或更多导线的汇合点,如图中的点A、B、…、F。 2)支路: 相邻两节点间由电源和电阻串联而成的通路,如图中的AB、BD。 3)回路: 起点和终点重合在同一节点的环路,如图中 的ABDA、ABCA。 多回路直流电路 4)独立回路: 每个回路都不能等价为其他回路的线性 组合,则称这些回路互相独立。 对于平面电路,简单易行的取法是网孔法。 前图中的ABDA、ACFEA、BCDB等互相独立。 •内在关系: 独立回路的数目m加上节点的数目n减1正好等于支路的数目ℓ(? ),即 m−1=ℓ−n 此式可以作为独立回路数目的判据。 •基尔霍夫第一定律——节点电流方程 汇合于任一节点处的各电流的代数和等于零,即 ∑I=∑I入−∑I出=0, 它是稳恒电流条件O∫∫Sj⋅dS =0的必然结果。 •基尔霍夫第二定律——回路电压方程 任一闭合回路的全部支路电压代数和等于零,即 ∑U=∑(±E±Ir±IR)=0, 该方程的依据是静电场环路定理O∫L E⋅dl =0。 •E和I的符号规则: 先规定回路的绕行方向,当绕 行方向经电源内部由正极→负极时,E取正,反 之负;当绕行方向与I一致时,I取正,反之负。 •两种求解电路方法 1)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 电磁学 专题