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课堂竞赛教案
§14.2一次函数
马龙县王家庄中学唐稳昌
教学分析:
一次函数是函数学习的基础.掌握一次函数的意义、特点、应用对以后进一步学习函数有着非常重要的意义.毛
本节课首先从最简单的正比例函数入手.从正比例函数的定义、函数关系式、图象及其特点、性质引入一次函数的特点及性质,逐步掌握一次函数的线性性质特点,并会利用特点使一次函数的不同表达方法相互转化.根据实际问题、具体要求选用适当的表示方法来解决相关问题.
本节的重点是理解掌握正比例函数、一次函数的解析式、图象特点及性质,进一步学会不同表达方法间的转化,提高解决实际问题的能力,使学生感到数学与现实世界的联系,鼓励他们有条理地表达和思考,培养其学习的兴趣.
§14.2.1正比例函数
教学目标
(一)教学知识点
1.认识正比例函数的意义.
2.掌握正比例函数解析式特点.
3.理解正比例函数图象性质及特点.
4.能利用所学知识解决相关实际问题.
(二)能力训练要求
1.经历思考、探究过程、发展总结归纳能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2.体验数形之间联系,逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题.
3.体会解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新意识.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动,对其产生好奇心和求知欲.
2.形成合作交流、独立思考的学习习惯.
教学重点
1.理解正比例函数意义及解析式特点.
2.掌握正比例函数图象的性质特点.
3.能根据要求完成转化,解决问题.
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握.
教学方法
探究─交流,归纳─总结.
教具准确
多媒体演示.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)?
2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系?
3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?
我们来共同分析:
一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:
25600÷(30×4+7)≈200(km)
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为:
y=200x(0≤x≤127)
这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=200x的值.即
y=200×45=9000(km)
以上我们用y=200x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?
我们这节课就来学习.
Ⅱ.导入新课
首先我们来思考这样一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示?
这些函数有什么共同特点?
1.圆的周长L随半径r的大小变化而变化.
2.铁的密度为7.8g/cm3.铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的大小变化而变化.
3.每个练习本的厚度为0.5cm.一些练习本摞在一些的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化.
4.冷冻一个0℃的物体,使它每分钟下降2℃.物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化.
[生]1.根据圆的周长公式可得:
L=2
r.
2.依据密度公式p=
可得:
m=7.8V.
3.据题意可知:
h=0.5n.
4.据题意可知:
T=-2t.
我们观察这些函数关系式,不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y=200x的形式一样.
[师]很好!
正如你所说.
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数(proportionalfunc-tion),其中k叫做比例系数.
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,那么它的图象有什么特征呢?
[活动一]
活动内容设计:
画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.
1.y=2x2.y=-2x
活动设计意图:
通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规律,让学生自己动手、动口、动脑,经历规律发现的整个过程,从而提高各方面能力及学习兴趣.
教师活动:
引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述.
学生活动:
利用描点法正确地画出两个函数图象,在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程,并能准确地表达出,从而加深对规律的理解与认识.
活动过程与结论:
1.函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
画出图象如图
(1).
2.y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
-2
-4
-6
画出图象如图
(2).
3.两个图象的共同点:
都是经过原点的直线.
不同点:
函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的增大y也增大;经过第一、三象限.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,即随x增大y反而减小;经过第二、四象限.
尝试练习:
在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.
1.y=
x2.y=-
x
x
-6
-4
-2
0
2
4
6
y=
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y=-
x
3
2
1
0
-1
-2
-3
比较两个函数图象可以看出:
两个图象都是经过原点的直线.函数y=
x的图象从左向右上升,经过三、一象限,即随x增大y也增大;函数y=-
x的图象从左向右下降,经过二、四象限,即随x增大y反而减小.
[师]就以上活动及练习的结果,大家可否总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律呢?
[生]正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.当x>0时,图象经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,图象经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
[师]很好!
正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.
[活动二]
活动内容设计:
经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象?
画正比例函数的图象时,怎样画最简单?
为什么?
活动设计意图:
通过这一活动,让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系,完成由图象到关系式的转化,进一步理解数形结合思想的意义,并掌握正比例函数图象的简单画法及原理.
教师活动:
引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手,寻求转化的方法.从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法.
学生活动:
在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化,进一步理解数形结合思想,找出正比例函数图象的简单画法,并知道原由.
活动过程及结论:
经过原点与点(1,k)的直线是函数y=kx的图象.
画正比例函数图象时,只需在原点外再确定一个点,即找出一组满足函数关系式的对应数值即可,如(1,k).因为两点可以确定一条直线.
Ⅲ.随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象:
1.y=
x2.y=-3x
解:
除原点外,分别找出适合两个函数关系式的一个点来:
1.y=
x(2,3)
2.y=-3x(1,-3)
Ⅳ.课时小结
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征,并掌握图象特征与关系式的联系规律,经过思考、尝试,知道了正比例函数不同表现形式的转化方法,及图象的简单画法,为以后学习一次函数奠定了基础.
板书设计
§14.2.1正比例函数
一、正比例函数定义
二、正比例函数图象特征
三、正比例函数图象特征与解析式的关系规律
四、随堂练习
2011.10.9.
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