第3章刚体定轴转动习题解答.docx
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第3章刚体定轴转动习题解答
习题
3-1
一汽车发动机曲轴的转速在12s内由每分钟1200转匀加速地增加到
每分钟
2700转,求:
(1)角加速度;
(2)在此时间内,曲轴转了多少转?
解:
(1)蛍4=407i(rad/S)2=90兀(rad/s)
12
5-0、90兀一40兀25兀
At
22
(rad/s)^13.1(rad/s)
匀变速转动
Q
n=——=390圈)
«2
(2)0=d1=7807!
(rad)
3-2一飞轮的转动惯量为J,在t=0时角速度为eo0,此后飞轮经历制动
过程。
阻力矩M的大小与角速度⑷的平方成正比,比例系数K:
>0。
求:
(1)当©=%/3时,飞轮的角加速度;
(2)从开始制动到⑷=%/3所需
要的时间。
nA=600rev/min?
(2)蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到300rev/min,求其角加速度。
解:
(1)B=PAt©B=PBt
因为轮和皮带之间没有滑动,所以A、B两轮边缘的线速度相同,即
豹aRa=BbRb
3-4一个半径为R=1.0m的圆盘,可以绕过其盘心且垂直于盘面的转
轴转动。
一根轻绳绕在圆盘的边缘,其自由端悬挂一物体。
若该物体从静止
开始匀加速下降,在At=2.0s内下降的距离h=0.4m。
求物体开始下降后
第3秒末,盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。
2h2
解:
物体下落的加速度a=——=0.2(m/s2)
(△t2
又6=a=RP,得圆盘的角加速度P=0.2(rad/s2)
第3秒末,圆盘的角速度©=Pt=0.6(rad/s)
所以a=0.2(m/s2)an=*>^2R=0.36(m/s2)
解:
M=JP
得卩=0.167
径轴转动时,求圆环对轴的转动惯量
两条互相垂直的直径分别为X轴和y轴,
根据垂直轴定理Jz=JX+Jy
zxy
由对称性可知Jx=Jy,又Jz=mR2
12
得J=Jx=Jy=—mR
2
方法二:
dm=hdl=kRd日,其中Z
dJ=dm(Rsin盯"R’sin2日d日
J=02%3sin^=g=2mR2
3-7如图所示,长为2L的匀质细棒,质量为M,未端固定一质量为m
面垂直的轴线的转动惯量。
解:
可以把带孔的圆板看成均匀的完整圆板减去一个跟圆孔大小一致的
圆板,即J=J圆板一J孔板
其夹角日=120°,取连接处为坐标原点,两个细棒所在的平面为Oxy平面,
求此结构分别对Ox轴、Oy轴、Oz轴的转动惯量。
解:
(1)Jx=J左X+J右x,其中J右X=0
y22
"cos莎,dJ左"dmy7
md]=my2dyl-
lcos30
2
Icos30*mydy1,2
ml,
lcos30°4
Jml2
4
(2)
Jy
—J左y+J右y,其中J右y
」ml2
3
l=
sin30
-,dJ左y=dmx2=x2mdl°yl
mx2dx
lsin30
J左=fn30也^^ml2,所以
lsin30°12
12ml2
1212
(3)Jz=ml+ml=
3
22
ml
33
15
或Jz=Jx+Jy=-ml2+—ml2
y4
12
—ml2
3
3-10如图所示,在边长为
a的正六边形的六个顶点上各固定一个质量为
m的质点,设这正六边形放在
Oxy平面内,求:
(1)对Ox轴、Oy轴、Oz
轴的转动惯量;
(2)对过中心C且平行于Oy的Oy'轴的转动惯量。
解:
(1)Jx=2x0+4xm(字)2=3ma2
Jy=仁0+2仙号)2+2咒(号)2+lxm(2a)2=9ma2
Jz=1x0+2xma2+2x(73a)2+1xm(2a)2=12ma2
(2)Jy,=2xma2+4xm(a)2=3ma2
2
或根据平行轴定理JyJy-6mxaS3ma2
3-11匀质圆盘质量为m、半径为R,放在粗糙的水平桌面上,绕通过
问经过多长时间后圆盘静止?
的质量为
dm=cdS=2兀ordr,其中忑
受到的摩擦力矩为
dM=-»dmgr=-2%»bgr2dr
所以整体圆盘受到的摩擦力矩为
又M=JP,J=1mR2
2
p_吃M4Pg
0-«03O0R
t=
3-12如图所示,斜面倾角为0,位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为
转动惯量为J、受到的驱动力矩M,通过绳索牵引斜面上质量为m的物体,
物体与斜面间摩擦系数为卩,求重物上滑的加速度。
绳与斜面平行,不计
/曰(M—umgcos日一mgsin9)r
J+mr2
得a=
3-13如图所示,两物体质量分别为mi和m2,定滑轮的质量为m、半
径为r,可视作均匀圆盘。
已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为,求mi下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少?
设绳子和滑轮间无相对滑动,轮轴受的摩擦力忽略不计。
rng-T;FaE-怙29Fa解:
{Tir-T2r=JP
I12
J=mr
2
a邛r
得4=严9-呃9)
2m+2m2+m
2m^2m^m
3-14如图所示的飞轮制动装置,
飞轮质量m=600kg,半径R=0.25m,
绕其水平中心轴O转动,转速为900rev/min。
闸杆尺寸如图示,闸瓦与飞轮
间的摩擦系数4=0.40,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算,现在闸杆的
在这段时间内飞轮转了几转?
习题3-14图
习题3-15图
又=穿,得n丄=53(转)
3-15如图所示,长为丨,?
质量为M的匀质细棒可绕过其端点的水平轴
在竖直面内自由转动,现将棒提到水平位置并由静止释放,当棒摆到竖直位置时与放在地面上质量为m的物体相碰。
设碰后棒不动,物体与地面的摩
擦系数为卩,求碰撞后物体经过多少时间停止运动?
I1
解:
由机械能守恒Mg-=-
转动。
质量为m的人站在转台的边缘,人和转台原来都静止。
当人沿转台
边缘走一周时,求人和转台相对地面转过的角度。
解:
以人和转台组成的系统为研究对象,设人相对于转盘的角速度为,转台相对地的角速度为3,由角动量守恒得
212
mrer严
移项得
2122
mrA=(MR+mr沟
2
2dS’122d9
mr2——=(一MR2+mr2)——dt2dt
^^mr^d^U1MR2+mr2)d9
2
2rmr
mr2+2MR2
3-17质量为M、半径为R的水平转台,可绕过中心的竖直轴无摩擦地
解:
以人和转台组成的系统为研究对象,其角动量守恒。
设某一时刻t人
mr2
3-MR2+2mu2t2%
d日
又因为
尬=
dt
3-18如图所示,
一质量为m的小球由一绳索系着,以角速度*^0在无
摩擦的水平面上,作半径为r0的圆周运动。
在绳的另一端作用一竖直向下的拉力后,小球作半径为ro/2的圆周运动.试求:
(1)小球新的角速度;
(2)
拉力所作的功。
解:
(1)由角动量守恒得m)0r02=me)
C=40^0
1r13
(2)A=AE=-m(⑷丄)2--m(©0r0)2=-mr0o30
2222
3-19如图3-30所示,A与B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接,
A轮的转动惯量J1=10.0kgm2,开始时B轮静止,A轮以n1=600rev/min的
转速转动,然后使A与B连接,因而B轮得到加速而A轮减速,直到两轮
的转速都等于n=200rev/min为止.求:
(1)B轮的转动惯量;
(2)在啮合过
程中损失的机械能。
解:
(1)
2兀
X600
叫A=
=20兀(rad/s)
60
⑷作=0
2兀X200
20
OO2AW2B
=时=
兀(rad/s)
60
3
亘J^1B=
=(」1+」2)⑷
11
(2)AE=—(J1+」2再2」1国12=—2.63x103(J)
22
3-20长L=0.40m的匀质木棒,质量M=1.0kg,可绕水平轴O在竖
直面内转动,开始时棒自然下垂,现有质量m=8.0g的子弹以V=200m/s
角速度;
(2)棒的最大偏角。
0=94°12'
3-21如图所示,一扇长方形的均质门,质量为m、长为a、宽为b,
转轴在长方形的一条边上。
若有一质量为m0的小球以速度v0垂直入射于门
面的边缘上,设碰撞是完全弹性的。
求:
(1)门对轴的转动惯量;
(2)碰撞
后球的速度和门的角速度;(3)讨论小球碰撞后的运动方向。
解:
(1)dm=crdS=badx
22
dJ=xdm=oaxdx
b21312
J=foaxdx=—旳b=-mb
033
(2)设碰撞后,门的角速度为⑷,小球的速度大小为V,方向与v0同向
3mo+mVo
>3mo,vcO,与Vo反向,小球反弹回来
环的半径为R,初始角速度为%。
质量为m的小球静止于环的最高点A,
(mob2-J)vo3mo-m
VJ+mob2
小环相对于环的速球度各为多少?
m
/*
解:
由角
习题3-21图
动量守恒定
习题3-22图
以地面为参考系,取B点为重力势能零点,则由机械能守恒定律,有
其中vB为小珠在B点相对于地的速度,它的竖直分量即为小珠相对
环的速度Vb,它的水平分量即为环B点的线速度Rb,因此有
Vq=vB+(R灼B)2
上C点的线速度为零)
Vc=Vc
联立上面各式解得
Vb=]J%R:
+2Rg
VJ+mR2
Vc=\f4Rg
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