中考数学二轮复习专题训练二次函数与几何.docx
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中考数学二轮复习专题训练二次函数与几何
中考数学二轮复习专题训练:
二次函数与几何
中考数学二轮复习专题训练:
二次函数与几何
中考数学二轮复习专题训练:
二次函数与几何
1. 如图,抛物线:
y=ax2+bx+1的顶点坐标为D(1,0),
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,将抛物线向右平移1个单位,向下平移1个单位得到抛物线,直线,经过点D交y轴于点A,交抛物线于点B,抛物线的顶点为P,求△DBP的面积
(3)如图2,连结AP,过点B作BC⊥AP于C,设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结并延长交于点,试证明:
为定值.
[解答]
(1)∵抛物线顶点为,经过点(0,1)∴可设抛物线的解析式为:
,得:
∴抛物线的解析式为
(2)根据题意的p(2,-1)∴抛物线的解析式为:
,∴A(0,-1),B(4,3)∴△DBP的面积=3
(3)过点作于点,过点作于点,设点的坐标是,则,.
∵ ∴∽ ∴ 即,得
∵ ∴∽ ∴ 即,得
∴,即为定值8.
2. 如图,已知抛物线C1:
的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.
(1)求P点坐标及a的值;(3分)
(2)如图1,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;(4分)
(3)如图2,点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.(5分)
[解答]
(1)由抛物线C1:
得顶点P的为(-2,-5)
∵点B(1,0)在抛物线C1上∴,∴a=9(5)
(2)连接PM,作PH⊥x轴于H,作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称,∴PM过点B,且PB=MB
∴△PBH≌△MBG,∴MG=PH=5,BG=BH=3
∴顶点M的坐标为(4,5),抛物线C2由C1关于x轴对称得到,抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为
(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称由
(2)得点N的纵坐标为5设点N坐标为(m,5)
作PH⊥x轴于H,作NG⊥x轴于G,作PK⊥NG于K
∵旋转中心Q在x轴上
∴EF=AB=2BH=6
∴FG=3,点F坐标为(m+3,0)
H坐标为(2,0),K坐标为(m,-5),
根据勾股定理得
PN2=NK2+PK2=m2+4m+104
PF2=PH2+HF2=m2+10m+50
NF2=52+32=34
①当∠PNF=90º时,PN2+NF2=PF2,解得m=3(44),∴Q点坐标为(3(19),0)
②当∠PFN=90º时,PF2+NF2=PN2,解得m=3(10),∴Q点坐标为(3
(2),0)
③∵PN>NK=10>NF,∴∠NPF≠90º
综上所得,当Q点坐标为(3(19),0)或(3
(2),0)时,以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形.
3. 已知:
如图1,二次函数y=a (x-1)2-4的图象交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,交y轴负半轴于点C,且OB=3OA.
(1)求二次函数的解析式;
(2)如图2,M是抛物线的顶点,P是抛物线在B点右侧上一点,Q是对称轴上一点,并且
AQ⊥PQ,是否存在这样的点P,使得∠PAQ=∠AMQ?
若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图3,设
(1)中抛物线的顶点为M,R为x轴正半轴上一点,将
(1)中抛物线绕R旋转180
得到抛物线C:
y=-a (x-h)2+k交x轴于D,E两点,.若tan∠BME=1,求R点的坐标。
[解答]
(1)由题意知,抛物线的对称轴:
x=1;设OA=x,则OB=3OA=3x,即:
A(-x,0)、B(3x,0);
由于A、B关于抛物线对称轴对称,所以x=1,A(-1,0)、B(3,0);
将B点坐标代入抛物线的解析式中,得:
0=a(3-1)2-4,解得:
a=1
∴抛物线的解析式:
y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
(2)设抛物线对称轴与x轴的交点为G,过P作PH⊥QM于H,如右图;
∵∠AMQ=∠PAQ,∠AGM=∠AQP=90°,∴△AMG∽△PAQ,得:
,即AQ=2PQ;
∵∠QAG=∠PQH=90°-∠AQG,∠AQP=∠PHQ=90°,
∴△AQG∽△QPH,得:
,即:
QH=AG=1,QG=2PH;
设PH=x,QG=2x(x>0),则:
P(x+1,2x-1),代入抛物线的解析式中,得:
(x+1)2-2(x+1)-3=2x-1,化简,得:
x2-2x-3=0,解得:
x=3(负值舍去)∴P(4,5);
综上,存在符合条件的P点,且坐标为(4,5).
(3)过E作EQ⊥MB,交MB的延长线于点Q;过M作MP⊥x轴于P,则Rt△MPB∽Rt△EQB,得:
=,即:
QE=2BQ;
在Rt△BQM中,tan∠BME=1,则:
QM=QE=2QB,即:
MB=BQ;
在Rt△MPB中,PM=4,BP=2,则:
MB=BQ=BP=2;
在Rt△BQE中,QB=2,QE=2BQ,则:
BE=BQ=10,即:
E(13,0);
由题意知,A、E以及B、D都关于点R对称,已知:
A(-1,0)、E(13,0),
点R的坐标为(6,0).
4. 如图,直线y=-x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点A(-1,0)、C(3,-4).
⑴求抛物线的解析式;
⑵动点P在线段AC上,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E,求线段PE长度的最大值;
⑶当线段PE的长度取得最大值时,在抛物线上是否存在点Q,使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?
若存在,请求出Q点的坐标;若不存在.请说明理由.
[解答]
⑴把A(-1,0)、C(3,-4)代入y=ax2+bx-4得a=1,b=-3,∴抛物线解析式为y=x2-3x-4.
⑵设点P坐标(m,-m-1),则E点坐标(m,m2-3m-4).
∴线段PE的长度为:
-m-1-(m2-3m-4)=-m2+2m+3=-(m-1)2+4.
∴由二次函数性质知当m=1时,函数有最大值4,所以线段PE长度的最大值为4。
⑶由⑵知P(1,-2).
①过P作PC的垂线与x轴交于F,与抛物线交于Q,设AC与y轴交于G,则G(0,-1),OG=1,又可知A(-1,0),则OA=1,∴△OAG是等腰直角三角形,∴∠OAG=45°,∴△PAF是等腰直角三角形,由对称性知F(3,0).可求得直线PF为y=x-3.与抛物线的解析式联立,可得:
∴Q1(2+,-1) Q2(2-,--1).
②过点C作PC的垂线与x轴交于H,与抛物线交点为Q,由∠HAC=45o,知△ACH是等腰直角三角形,由对称性知H坐标为(7,0),可求得直线CH的解析式为y=x-7,与抛物线的解析式联立,可得:
Q3(1,-6),Q4(3,-4)时,Q4与C重合,△PQC不存在.
综上所述,在抛物线上存在点Q1(2+,-1)、Q2(2-,--1)、Q3(1,-6)使得△PCQ是以PC为直角边的直角三角形。
5. 已知抛物线C:
经过点(-1,1)和(0,-2).
(1)求此抛物线C的解析式;
(2)过点A(0,4)作直线交抛物线于M、N两点,是否存在直线MN,使得OM⊥ON?
若存在,求出直线MN的解析式;若不存在,请说明理由;
(3)B(0,t)是y轴负半轴上一点,过B点作直线l∥x轴,将抛物线C作适当的平移得抛物线C1,使得抛物线的顶点在y轴上,且以抛物线C1上的任意一点P(a,b)为圆心,PO为半径的⊙P都与直线l相切,求平移后抛物线C1的解析式.
[解答]
(1)y=x2-2x-2;
(2)作MC⊥x于C,MD⊥x于D,则Rt△MCO∽Rt△ODN,
∴MC·ND=OC·OD,
∴,设过A(0,4)的直线解析式为y=kx+4,由
有,∴,,
,∴直线MN的解析式为或;
(3)当P与抛物线C1的顶点重合时,PO=PB,P为OB的中点,∴可设抛物线C1的解析式为.
如图当P不与抛物线C1的顶点重合时(b≠t),作PH⊥l于H点,则PH=PO,∴,又P点在抛物线C1上,∴,∴,
∴,∵b≠t,t≠2b,
∴,∴抛物线C1的解析式为.
6. 如图,抛物线y=mx2―2mx―3m(m>0)与x轴交于A、B两点, 与y轴交于C点,点M为抛物线的顶点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)是否存在以BM为斜边的Rt△BCM的抛物线?
若存在,请求出抛物线的解析式;如果不存在,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,若抛物线上有一点P,连接PC交线段BM于Q点,且S△BPQ=S△CMQ,请出点P的坐标.
[解答]
(1)∵抛物线y=mx2―2mx―3m(m>0)与x轴交于A、B两点,
∴当y=0时,mx2―2mx―3m=0,∵m>0,∴x2―2x―3=0,解得x1=-1,x,2=3,
∴A,B两点的坐标为(-1,0)、(3,0).
(2)存在使△BCM为直角三角形的抛物线.
过点C作CN⊥DM于点N,则△CMN为Rt△,CN=OD=1,DN=OC=3m,
∴MN=DM-DN=m,
∴CM2=CN2+MN2=1+m2,
在Rt△OBC中,BC2=OB2+OC2=9+9m2,
如果△BCM是直角三角形,且∠BCM=90°时,
则BC2+CM2=BM2.在Rt△BDM中,
BM2=BD2+DM2=4+16m2.
故9+9m2+1+m2=4+16m2,
解得 m=±1,∵m>0,∴m=1.
∴存在抛物线y=x2-2x-3使得△BCM是直角三角形。
(3)由S△BPQ=S△CMQ可得S△BPM=S△CPM ,故MP∥BC,
易求直线BC的解析式为y=x-3,故设直线MP的解析式
为y=x+b,代入点M的坐标(1,-4)可得b=-5,
联立直线MP和抛物线的解析式所组成的方程组可求得P点坐标为(2,-3).
7. 如图1,抛物线:
与直线AB:
交于x轴上的一点A,和另一点B(3,n).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上的一个动点(点P在A,B两点之间,但不包括A,B两点),PM⊥AB于点M,PN∥y轴交AB于点N,求△PMN周长的最大值;
(3)如图2,将抛物线绕顶点旋转180°后,再作适当平移得到抛物线,已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上,且抛物线与抛物线交于点D,过D点作轴的平行线交抛物线于点F,过E点作轴的平行线交抛物线于点G,是否存在这样的抛物线,使得四边形DFEG为菱形?
若存在,请求E点的横坐标;若不存在请说明理由.
[解答]
⑴由题意得:
A(-1,0)、B(3,2)
∴ 解得:
∴抛物线的解析式为y=-x+x+2
⑵设AB交y轴于D,则D(0,),∴OA=1,OD=,AD=,∴=,
∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.
∴.∴=×PN=PN.
∴当PN取最大值时,取最大值.
设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.
∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.
∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).
⑶设E(n,t),由题意得:
抛物线为:
y=-(x-)+,为:
y=(x-n)+t.
∵E在抛物线上,∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG
连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2(n-).
∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得:
n=.
∴t=-.∴存在点E,坐标为E(,-).
8. 如图,已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(2,0),对称轴为y轴,顶点为P
(1)求该抛物线的解析式,写出其顶点P的坐标,请在图①中画出大致的图象;
(2)如图②,将此抛物线向右平移m个单位,再向下平移m个单位(m>O).平移后的抛物线与直线y=1相交于M、N两点,若2≤MN≤4.求m的取值范围;
(3)如图③,若此抛物线在
(2)的平移方式下,新抛物线的顶点为B点,与y轴的交点为C.若∠OBC=45°,试求m的值.
[解答]
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(2,0),对称轴为y轴为y轴,∴b=0,c=4,∴y=-x2+4,
P(0,4);
(2)MN=2,则2≤2≤4,解得-1≤m≤2∵m>0∴0分类讨论如下:
①∵抛物线先向右平移m个单位,再向下平移m个单位m个单位(m>0)∴B(m,4-m),y=-(x-m)2+4-m,∴C(0,-m2-m+4),已知∠OPB=45°,又∠OBC=45°,∴△OCB与△OBP相似;如图1,当点C在y轴正半轴上时,即-m2-m+4>0时,BO2=OC·OP,∵BO2=2m2-8m+16,OC=-m2-m+4,OP=4,解得m1=0,m2=3
(2);
②如图2,当点C在y轴正半轴上时,即-m2-m+4时,BO2=OC·OP,∵BC2=m2+m4,OC=m2+m-4,CP=m2+m,解得m3=0,m4,5=1±(负根舍去),∴m=1+,综上所述,m=m2+m或m=1+
9. 如图1,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,直线经过点B及抛物线的顶点M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为对称轴右侧抛物线上的一点,PQ垂直于对称轴于点Q,以PQ为边作正方形PQDE,若点E恰好落在直线BM上,求P点的坐标;
(3)如图2,将△OBC沿轴正方向平移个单位长度得到△,与抛物线交于点N,连接,试问:
是否存在这样的实数,使得△∽△ABC?
若存在,请求出实数的值;若不存在,请说明理由.
[解答]
⑴由题意得:
M(1,b)B(3,0)∵M在直线y=-2x+6,∴b=4,∴M(1,4).
将B(3,0)代入抛物线y=a+4中,得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-+4=-+2x+3.且A(-1,0) C(0,3)
⑵设P(m,-m+2m+3),则Q(1,-m+2m+3).
∵四边形PQDE为正方形.∴QD=DE=PE=PQ=m-1
∴D(1,-m+m+4),E(m,-m+m+4)∵BM的解析式为y=-2x+6.且E在BM上,
∴-m+2m+4=-2m+6解得m=1或m=2,
∵P在对称轴x=1右侧,∴x>1,∴只取m=2,∴P(2,3)
⑶由题意得:
OA=1,OC==OB==3,=m,过N作NF⊥x轴于点F.
∵△N∽ΔABC.∴∠N=∠A∠ABC=∠N=45°∵OC=3OA=OB
∴NF=3F=F,∴F==,NF=3×=
∵N在抛物线y=-+2x+3上.∴令y=,得-+2x+3=,解得:
x=
∵将△OBC向右平移,∴x=<0,不合题意,舍去.∴x=
∴N(,).∴m=-=.
10. 抛物线y=(x﹣3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.
(1)求点B及点D的坐标.
(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标.
②若第一象限抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.
[解答]
(1)∵抛物线y=(x﹣3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),
∴当y=0时,(x﹣3)(x+1)=0,解得x=3或﹣1,∴点B的坐标为(3,0).
∵y=(x﹣3)(x+1)=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴顶点D的坐标为(1,﹣4);
(2)①如右图.
∵抛物线y=(x﹣3)(x+1)=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C,∴C点坐标为(0,﹣3).
∵对称轴为直线x=1,∴点E的坐标为(1,0).
连接BC,过点C作CH⊥DE于H,则H点坐标为(1,﹣3),
∴CH=DH=1,∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°,
∴CD=,CB=3,△BCD为直角三角形.
分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q,R.
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR,
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP,
∴∠CDB=∠QCO,∴△BCD∽△QOC,∴==,
∴OQ=3OC=9,即Q(﹣9,0).
∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3,直线BD的解析式为y=2x﹣6.
由方程组,解得.∴点P的坐标为(,﹣);[
②若点N在射线DC上,如备用图2,MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G.
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,∴==,∴MN=2CN.设CN=a,则MN=2a.
∵∠CDE=45°,
∴△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
∴NF=CN=a,CF=a,∴MF=MN﹣NF=a,
∴MG=FG=a,∴CG=FG+FC=a,
∴M(a,﹣3+a).代入抛物线y=(x﹣3)(x+1),解得a=5,
∴M(5,12);点M坐标为(5,12).
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