版浙江数学知识清单与冲A训练9 直线平面垂直的判定及性质.docx
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版浙江数学知识清单与冲A训练9直线平面垂直的判定及性质
知识点一 直线与平面垂直
1.定义
如果直线l与平面α内的________直线都________,就说直线l与平面α互相垂直,记作________.直线l叫做平面α的________,平面α叫做直线l的________.
2.判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
一条直线与一个平面内的________________都垂直,则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
知识点二 直线与平面所成的角
1.定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________.
2.范围
设直线与平面所成的角为θ,则0°≤θ≤90°.
3.画法
如图所示,斜线AP与平面α所成的角为________.
知识点三 二面角
1.二面角
从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角.
2.二面角的平面角
取二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱________的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图,
若有
(1)________;
(2)OA________α,OB________β;(3)OA________l,OB________l,则二面角α-l-β的平面角是________.
知识点四 平面与平面垂直
1.定义
如果两个平面相交,所成的二面角是________,就说这两个平面互相垂直.
2.判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
一个平面过另一个平面的______,则这两个平面垂直
⇒α⊥β
知识点五 直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言
⇒a∥b
功能
判定两直线平行
知识点六 平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直,则________________垂直于________的直线与另一个平面________
符号语言
⇒a⊥β
图形语言
例1 (2016年4月学考)在空间中,设a,b,c为三条不同的直线,α为一平面,现有:
命题p:
若a⊄α,b⊂α且a∥b,则a∥α;命题q:
若a⊂α,b⊂α且c⊥a,c⊥b,则c⊥α.则下列判断正确的是( )
A.p,q都是真命题
B.p,q都是假命题
C.p是真命题,q是假命题
D.p是假命题,q是真命题
例2 (2016年4月学考)如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,P是BC上的动点,设直线A1P与平面ABC所成的角为Q1,与直线BC所成的角为Q2,则Q1,Q2的大小关系是( )
A.Q1=Q2B.Q1>Q2
C.Q1 例3 (2016年10月学考)如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若PA=AB=2,AC=BC,则二面角P-AC-B的正切值是( ) A. B. C. D. 例4 如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是________. 例5 如图所示,已知AB为圆O的直径,且AB=4,点D为线段AB上一点,且AD= DB,点C为圆O上一点,且BC= AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB. (1)求证: CD⊥平面PAB; (2)求直线PC与平面PAB所成的角. 例6 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点. 求证: (1)BG⊥平面PAD; (2)AD⊥PB. 例7 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC= a,求证: (1)PD⊥平面ABCD; (2)平面PAC⊥平面PBD; (3)二面角P-BC-D是45°的二面角. 例8 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别为其所在边的中点,O为面对角线A1C1的中点. (1)求证: 平面MNP∥平面A1C1B; (2)求证: MO⊥平面A1C1B. 一、选择题 1.下列四个命题: ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ②垂直于同一个平面的两条直线相互平行; ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行; ④垂直于同一个平面的两个平面相互平行. 其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 2.下列命题中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β C.如果平面α与平面β相交,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β D.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 3.如图,PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是( ) ①平面PAB⊥平面PBC;②平面PAB⊥平面PAD; ③平面PAB⊥平面PCD;④平面PAB⊥平面PAC. A.①②B.①③ C.②③D.②④ 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为A1C1上的一动点,则直线CE一定垂直于( ) A.BDB.AC C.A1DD.A1D1 5.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( ) A. B. C. D. 6.如图,在长方体中,AB=AD=2 ,CC1= ,二面角C1-BD-C的大小为θ,则tanθ等于( ) A. B.1 C. D. 7.如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD,将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( ) A.A′C⊥BD B.CA′与平面A′BD所成的角为30° C.∠BA′C=90° D.四面体A′-BCD的体积为 二、填空题 8.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD= a,则它的5个面中,互相垂直的面有________对. 9.如图,若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直,则cosα∶cosβ=________. 10.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时,有A1C⊥B1D1.(注: 填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况) 11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.给出下列命题: ①点H是△A1BD的中心;②AH⊥平面CB1D1;③AC1与B1C所成的角为90°.其中真命题的序号是________. 三、解答题 12.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的菱形,∠BCD=60°,点E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA= . (1)证明: 平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的大小. 答案精析 知识条目排查 知识点一 1.任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面 2.两相交直线 知识点二 1.角 3.∠PAO 知识点三 1.两个半平面 2.垂直 (1)O∈l (2)⊂ ⊂ (3)⊥ ⊥ ∠AOB 知识点四 1.直二面角 2.垂线 知识点五 平行 知识点六 在一个平面内 交线 垂直 题型分类示例 例1 C 由线面平行的判定定理知,p正确;由线面垂直的判定定理知,加上条件a与b相交才能推出c⊥α,故命题q不正确.] 例2 C 作AG⊥BC,交BC于G, 连接A1G,由AA1⊥平面ABC, ∴AA1⊥BC,又AG⊥BC, ∴BC⊥平面AA1G,∴BC⊥A1G, 由题意知∠A1PG=Q2, ∴sinQ2= , 连接AP,则∠APA1为直线A1P与平面ABC所成的角, ∴∠APA1=Q1, sinQ1= , ∵A1G>AA1, ∴sinQ1 ∴Q1 例3 B 例4 a∥l 解析 ∵EA⊥α,l⊂α,∴EA⊥l, 同理,EB⊥l,∵EA∩EB=E, ∴l⊥平面EAB, ∵EB⊥β,a⊂β, ∴EB⊥a, ∵a⊥AB,EA∩AB=A, ∴a⊥平面EAB,∴a∥l. 例5 解 方法一 (1)证明 连接CO,由3AD=DB知, 点D为AO的中点, 又∵AB为圆O的直径, ∴AC⊥CB,由 AC=BC知, ∠CAB=60°, ∴△ACO为等边三角形. 故CD⊥AO. ∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D, ∴PD⊥平面ABC,又CD⊂平面ABC, ∴PD⊥CD,由PD⊂平面PAB, AO⊂平面PAB,且PD∩AO=D, 得CD⊥平面PAB. (2)由 (1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角, 又△AOC是边长为2的正三角形, ∴CD= . 在Rt△PCD中,PD=DB=3,CD= , ∴tan∠CPD= = , ∴∠CPD=30°. 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 方法二 (1)证明 ∵AB为圆O的直径,∴AC⊥CB. 在Rt△ABC中,由AB=4,3AD=BD, AC=BC得, DB=3,BC=2 , ∴ = = , 则△BDC∽△BCA, ∴∠BCA=∠BDC,即CD⊥AO. ∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D, ∴PD⊥平面ABC. 又CD⊂平面ABC,∴PD⊥CD. 由PD⊂平面PAB,AO⊂平面PAB, 且PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB. (2)由 (1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角. 在Rt△PCD中,PD=BD=3, CD= = , ∴tan∠CPD= = , ∴∠CPD=30°, 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 例6 证明 (1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°, ∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD. 又AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD. (2)由 (1)可知BG⊥AD,PG⊥AD, BG∩PG=G, 所以AD⊥平面PBG, 又PB⊂平面PBG, 所以AD⊥PB. 例7 证明 (1)∵PD=a,DC=a, PC= a, ∴PC2=PD2+DC2,则PD⊥DC. 同理可证PD⊥AD. 又∵AD∩DC=D, 且AD,DC⊂平面ABCD, ∴PD⊥平面ABCD. (2)由 (1)知PD⊥平面ABCD, 又∵AC⊂平面ABCD, ∴PD⊥AC. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD. 又∵BD∩PD=D, 且PD,BD⊂平面PBD, ∴AC⊥平面PBD. 又∵AC⊂平面PAC, ∴平面PAC⊥平面PBD. (3)由 (1)知PD⊥BC, 又∵BC⊥DC,且PD,DC为平面PDC内两条相交直线, ∴BC⊥平面PDC. ∵PC⊂平面PDC,∴BC⊥PC. 则∠PCD为二面角P-BC-D的平面角. 在Rt△PDC中,∵PD=DC=a, ∴∠PCD=45°, 即二面角P-BC-D是45°的二面角. 例8 证明 (1)连接D1C,则MN为△DD1C的中位线, ∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B, ∴MN∥A1B. 同理,MP∥C1B. 而MN与MP相交,MN,MP⊂平面MNP, C1B,A1B⊂平面A1C1B, ∴平面MNP∥平面A1C1B. (2)连接C1M、OM和A1M,如图,设正方体的边长为a. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 有C1M=A1M, ∵O为A1C1的中点,∴A1C1⊥MO. 连接OB和MB, 在△BMO中,经计算知OB= a,MO= a,MB= a, ∴OB2+MO2=MB2,即OB⊥MO. 又∵A1C1∩OB=O,A1C1,BO⊂平面A1C1B, ∴MO⊥平面A1C1B. 考点专项训练 1.B ①垂直于同一条直线的两条直线相互平行,不正确,如正方体的一个顶角的三个边就不成立;②垂直于同一个平面的两条直线相互平行,根据线面垂直的性质定理可知正确;③垂直于同一条直线的两个平面相互平行,根据面面平行的判定定理可知正确;④垂直于同一个平面的两个平面相互平行,不正确,如正方体相邻的三个面就不成立.故选B.] 2.C 对于A,平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,则l⊥γ,命题正确; 对于B,平面α⊥平面β,不妨设α∩β=a,作直线b∥a,且b⊂α,则b∥β,命题正确; 对于C,当平面α⊥平面β时,过α与β交线上的点作交线的垂线时,该垂线一定垂直于β,所以原命题错误; 对于D,假设平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β,这与已知平面α与平面β不垂直矛盾,所以假设不成立,命题正确,故选C.] 3.A 由于BC⊥AB, 由PA垂直于正方形ABCD所在平面, 所以BC⊥PA. 易证BC⊥平面PAB,则平面PAB⊥平面PBC. 又AD∥BC,故AD⊥平面PAB, 则平面PAD⊥平面PAB.故选A.] 4.A ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ABCD是正方形,∴BD⊥A1C1, 且BD⊥CC1,又A1C1∩CC1=C1, ∴BD⊥平面A1C1C, 又∵CE⊂平面A1C1C, ∴BD⊥CE,故选A.] 5.B 如图所示,作PO⊥平面ABC, 则O为△ABC的中心, 连接AP,AO, S△ABC= × × ×sin60°= . ∴VABC-A1B1C1 =S△ABC·OP = ·OP= ,∴OP= . 又OA= × × =1, ∴tan∠OAP= = , 又0<∠OAP< ,∴∠OAP= .] 6.C 连接AC,交BD于O, 连接OC1,C1B,由AB=AD得, AC⊥BD, 又CC1⊥BD, ∴BD⊥平面C1OC, ∴BD⊥OC1, 则∠C1OC=θ,OC= ,CC1= , tanθ= = = .] 7.C 若A成立可得BD⊥A′D, 产生矛盾,故A不正确; 由题设知: △BA′D为等腰直角三角形,CD⊥平面A′BD, 得BA′⊥平面A′CD,于是C正确; 由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D=45°知B不正确; VA′-BCD=VC-A′BD= ,D不正确,故选C.] 8.5 解析 底面ABCD是边长为a的正方形, 侧棱PA=a,PB=PD= a,可得PA⊥底面ABCD, PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAD, 可得平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAD⊥平面ABCD, AB⊥平面PAD, 可得平面PAB⊥平面PAD, BC⊥平面PAB, 可得平面PAB⊥平面PBC, CD⊥平面PAD, 可得平面PAD⊥平面PCD. 故答案为5. 9. 解析 由题意,两个矩形的对角线长分别为5, =2 , ∴cosα= = , cosβ= ,∴cosα∶cosβ= . 10.AC⊥BD或四边形ABCD为菱形 解析 若A1C⊥B1D1,由四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱, AA1⊥B1D1,易知B1D1⊥平面AA1C1C, 则A1C1⊥B1D1,即AC⊥BD, 则四边形ABCD为菱形. 11.①②③ 解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, A-A1BD是一个正三棱锥,因此点A在平面A1BD上的射影H是△A1BD的中心,故①正确;又因为平面CB1D1与平面A1BD平行,所以AH⊥平面CB1D1,故②正确;从而可得AC1⊥平面CB1D1,即AC1⊥B1C,所成的角等于90°,③也正确.答案为①②③. 12. (1)证明 如图, 连接BD, 因为底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°, 所以△BCD是正三角形. 因为点E是CD的中点,所以BE⊥CD. 因为AB∥CD,所以BE⊥AB. 因为PA⊥底面ABCD,BE⊂底面ABCD, 所以PA⊥BE. 因为PA∩AB=A, 所以BE⊥平面PAB. 因为BE⊂平面PBE, 所以平面PBE⊥平面PAB. (2)解 因为BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB, 所以BE⊥PB. 因为BE⊥AB,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角. 在Rt△PAB中,tan∠PBA= = , 所以∠PBA=60°, 所以二面角A-BE-P的大小为60°.
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