数学同步人教B必修2刷题首选卷知识对点练+课时综合练 35.docx
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数学同步人教B必修2刷题首选卷知识对点练+课时综合练35
第10课时 空间中直线与直线之间的位置关系
对应学生用书P27
知识点一
空间中两条直线的位置关系
1.下列说法中正确的个数是( )
①两条直线无公共点,则这两条直线平行;
②两直线若不是异面直线,则必相交或平行;
③过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线;
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.
A.0B.1C.2D.3
答案 B
解析 对于①,空间两直线无公共点,则可能平行,也可能异面,因此①不正确;对于②,空间两条不重合的直线的位置关系只有三种:
平行、相交或异面,故②正确;对于③,过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内过该点的直线是相交直线,故③不正确;对于④,如图所示,直线AB,AC分别与两异面直线a,b都相交,但AB,AC却是相交直线,故④不正确.
2.设三条不同的直线l1,l2,l3,满足l1⊥l3,l2⊥l3,则l1与l2( )
A.是异面直线
B.是相交直线
C.是平行直线
D.可能相交,或平行,或异面直线
答案 D
解析 构造长方体,令l3为一侧棱,可知选D.
知识点二
公理4及等角定理
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D,平面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A.相交B.异面C.平行D.垂直
答案 C
解析 连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,故选C.
4.若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( )
A.全等B.相似
C.仅有一个角相等D.无法判断
答案 B
解析 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似.
知识点三
异面直线所成的角
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=,AA1=,则异面直线AC1与BB1所成的角为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
答案 C
解析 如图,因为BB1∥AA1,所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角.因为tan∠A1AC1===,所以∠A1AC1=60°,故选C.
6.在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,求:
(1)A′B和AD′所成的角;
(2)D′B和AC所成的角.
解
(1)如右图,连接BC′,A′C′,
∵AD′∥BC′,
∴∠A′BC′即为A′B与AD′所成的角.又A′C′=A′B=BC′=a,
∴∠A′BC′=60°,
∴A′B和AD′所成的角为60°.
(2)如图,连接AC,与BD交于点O,则O为AC的中点,取DD′的中点E,连接OE,则OE∥BD′,则∠AOE即为AC与BD′所成的角.连接AE,CE,
则AE=CE,∴△ACE为等腰三角形.
∴EO⊥AC,即∠AOE=90°.
∴D′B和AC所成的角为90°.
对应学生用书P27
一、选择题
1.在空间中,下列结论正确的是( )
A.三角形确定一个平面
B.四边形确定一个平面
C.一个点和一条直线确定一个平面
D.两条直线确定一个平面
答案 A
解析 空间四边形不能确定一个平面,因此B错误;若点在直线上,则有无数个平面,因此C错误;若两条直线异面,则不能确定一个平面,因此D错误.
2.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )
A.60°B.120°
C.30°D.60°或120°
答案 D
解析 由等角定理可知,β为60°或120°.
3.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.CC1与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
答案 C
解析 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,A错误;由于CC1在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于点E,点E不在C1C上,故CC1与AE是异面直线,同理,AE与B1C1是异面直线,所以B错误,C正确;AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,又E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,D错误.故选C.
4.
如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=4,BB1=1,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案 C
解析
如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD=DE=EB=,所以∠BDE=60°,故选C.
5.如图,空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点.若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案 A
解析 取AD的中点H,连接FH,EH,则EH∥CD,FH∥AB.∠FEH是EF与CD所成的角或其补角,∠EFH是EF与AB所成的角或其补角.
∵EF⊥AB,∴在△EFH中,∠EFH=90°.
∵CD=2AB,∴HE=2HF,∴∠FEH=30°.
二、填空题
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是________.
答案 平行
解析 在△ABC中,∵AE∶EB=AF∶FC,∴EF∥BC.又∵BC∥B1C1,∴EF∥B1C1.
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和BD所成的角是________.
答案 60°
解析 ∵EF∥AB1,BD∥B1D1,∴∠AB1D1为异面直线EF,BD所成的角或其补角,连接AD1,得△AB1D1为正三角形,∴∠AB1D1=60°.
8.如图所示,空间四面体A-BCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,MN=5,则异面直线AC与BD所成的角为________.
答案 90°
解析 取AD的中点P,连接PM,PN.
∵M,N分别为AB,CD的中点,
∴PM∥BD,PN∥AC,
∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角或其补角.
∵AC=8,BD=6,
∴PN=AC=4,
PM=BD=3.
又MN=5,
在△PMN中,由勾股定理知∠MPN=90°.
故异面直线AC和BD所成的角为90°.
三、解答题
9.长方体AC1中,底面ABCD为边长为2的正方形,高AA1为1,M,N分别是边C1D1与A1D1的中点.
(1)求证:
四边形MNAC是等腰梯形;
(2)求梯形MNAC的面积.
解
(1)证明:
连接A1C1,则MN是△A1C1D1的中位线,如图所示,则有MN綊A1C1.
又A1C1綊AC,∴MN綊AC.
∴M,N,A,C共面,且四边形MNAC为梯形.
∵Rt△AA1N≌Rt△CC1M.
∴AN=CM.
∴梯形MNAC为等腰梯形.
(2)由题意,得AN2=A1A2+A1N2=1+1=2,AC=2,MN=,则梯形MNAC的高
h==,
∴S梯形ACMN=(AC+MN)×h=.
10.在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q.
(1)求证:
M,N,P,Q四点共面;
(2)若AC⊥DE,且AC=BC,求异面直线DE与PN所成角的大小.
解
(1)证明:
∵CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,
∴PQ为△ADE的中位线,MN为梯形BCDE的中位线.
∴PQ∥DE,MN∥DE,∴PQ∥MN,
∴M,N,P,Q四点共面.
(2)∵PN为△ABE的中位线,∴PN∥AB.
又BC∥DE,∴∠ABC即为异面直线DE与PN所成的角或其补角.
又AC⊥DE,∴AC⊥BC,
在Rt△ACB中,tan∠ABC===,∴∠ABC=60°.
∴异面直线DE与PN所成的角为60°.
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