学年八年级数学上册尖子生同步培优题典 专题1.docx
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学年八年级数学上册尖子生同步培优题典专题1
专题1.3勾股定理的应用
姓名:
__________________班级:
______________得分:
_________________
注意事项:
本试卷满分100分,试题共24题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020春•西城区校级期中)为了迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备举办新年晚会,大林搬来一架高为2.5米的木梯,准备把拉花挂到2.4米的墙上,开始梯脚与墙角的距离为1.5米,但高度不够.要想正好挂好拉花,梯脚应向前移动(人的高度忽略不计)( )
A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米
【分析】仔细分析题意得:
梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为斜边,利用勾股定理解此直角三角形即可.
【解析】梯脚与墙角距离:
0.7(米),
∵开始梯脚与墙角的距离为1.5米,
∴要想正好挂好拉花,梯脚应向前移动:
1.5﹣0.7=0.8(米).
故选:
B.
2.(2020春•硚口区期中)如图,一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,测得AO=8米.若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米,这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米,则梯子AB的长度为( )
A.10米B.6米C.7米D.8米
【分析】首先设BO=x米,则DO=(x+2)米,利用勾股定理可列出方程,再解可得BO长,然后再利用勾股定理计算出AB长.
【解析】由题意得:
AC=BD=2米,
∵AO=8米,
∴CO=6米,
设BO=x米,则DO=(x+2)米,由题意得:
62+(x+2)2=82+x2,
解得:
x=6,
AB
10(米),
故选:
A.
3.(2020春•西城区校级期中)小明和小亮周末相约去电影院看电影,下面是他们的一段对话:
小明:
小亮,你下了300路公交车后,先向前走300米,再向左转走200米,就到电影院了,我现在在电影院门口等你呢!
小亮:
我按你说的路线走到了W超市,不是电影院啊?
小明:
你走到W超市是因为你下车后先向西走了,如果你先向北走就能到电影院了.
根据上面两个人的对话记录,小亮现在从W超市去电影院的路线是( )
A.向南直走500米,再向西直走100米
B.向北直走500米,再向西直走100米
C.向南直走100米,再向东直走500米
D.向北直走500米,再向东直走100米
【分析】根据对话画出图形,进而得出从W超市去电影院的路线.
【解析】如图所示:
从W超市去电影院的路线:
向北直走200+300=500米,再向东直走300﹣200=100米.
故选:
D.
4.(2020春•江岸区期中)如图,有一个水池,水面是一边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度为( )尺.
A.10B.12C.13D.14
【分析】找到题中的直角三角形,设水深为x尺,根据勾股定理解答.
【解析】设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,
根据勾股定理得:
x2+(
)2=(x+1)2,
解得:
x=12,
芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺),
答:
芦苇长13尺.
故选:
C.
5.(2020春•东西湖区期中)如图,一竖直的木杆在离地面4米处折断,木頂端落在地面离木杆底端3米处,木杆折断之前的高度为( )
A.7米B.8米C.9米D.12米
【分析】由题意得,在直角三角形中,知道了两直角边,运用勾股定理即可求出斜边,从而得出这棵树折断之前的高度.
【解析】∵一竖直的木杆在离地面4米处折断,頂端落在地面离木杆底端3米处,
∴折断的部分长为
5(米),
∴折断前高度为5+4=9(米).
故选:
C.
6.(2020春•桦南县期中)校园内有两棵树,相距12米,一棵树高为13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞( )
A.10米B.11米C.12米D.13米
【分析】如图所示,AB,CD为树,且AB=13,CD=8,BD为两树距离12米,过C作CE⊥AB于E,则CE=BD=12,AE=AB﹣CD=5,在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC.
【解析】如图所示,AB,CD为树,且AB=13,CD=8,BD为两树距离12米,
过C作CE⊥AB于E,
则CE=BD=12,AE=AB﹣CD=5,
在直角三角形AEC中,
AC
13.
故选:
D.
7.(2020春•单县校级期中)丽丽想知道学校旗杆的高,她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米,当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为( )
A.4米B.8米C.10米D.12米
【分析】据题意设旗杆的高为xm,则绳子的长为(x+2)m,再利用勾股定理即可求得绳子的长,即旗杆的高.
【解析】设旗杆的高为xm,则绳子的长为(x+2)m.
根据题意得:
x2+62=(x+2)2,
解得x=8.
故旗杆的高为8米.
故选:
B.
8.(2019春•九龙坡区校级期中)如图,一圆柱体的底面周长为10cm,高AB为12cm,BC是直径,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为( )
A.17cmB.13cmC.12cmD.14cm
【分析】将圆柱的侧面展开,得到一个长方体,再然后利用两点之间线段最短解答.
【解析】如图所示:
由于圆柱体的底面周长为10cm,
则AD=10
5(cm).
又因为CD=AB=12cm,
所以AC
(cm).
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm.
故选:
B.
9.(2019春•潍城区期中)在水平地面上有一棵高9米的大树,和一棵高4米的小树,两树之间的水平距离是12米,一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端,则小鸟至少飞行( )
A.12米B.13米C.9米D.17米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知:
小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
【解析】如图,设大树高为AB=9m,
小树高为CD=4m,
过C点作CE⊥AB于E,则EBDC是矩形,
连接AC,
∴EB=4m,EC=12m,AE=AB﹣EB=9﹣4=5m,
在Rt△AEC中,AC
13(m).
故小鸟至少飞行13m,
故选:
B.
10.(2019秋•拱墅区校级期中)如图,若要将一块不能弯曲的正方形(不考虑厚度)搬进室内,需要通过一扇高为2m,宽为1m的门,以下边长的木块中哪块可以通过此门?
( )
A.2.8mB.2.5m
C.2.2mD.以上答案都不对
【分析】利用勾股定理求出门框对角线的长度,由此即可得出结论.
【解析】如图,连接AB,
由勾股定理得:
AB2=22+12=5,
∵2.82=7.84,2.52=6.25,2.22=4.84<5,
故选:
C.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上
11.(2020春•蕲春县期中)如图一根竹子长为16米,折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处,折断处离地面高度是 6 米.
【分析】子折断后刚好构成一直角三角形,设竹子折断处离地面x米,则斜边为(16﹣x)米.利用勾股定理解题即可.
【解析】设竹子折断处离地面x米,则斜边为(16﹣x)米,
根据勾股定理得:
x2+82=(16﹣x)2
解得:
x=6.
∴折断处离地面高度是6米,
故答案为:
6.
12.(2020春•铁东区期中)已知,如图,一小船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一小船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口1小时后,则两船相距 25海里 .
【分析】求出两船的行驶路程,利用勾股定理计算即可.
【解析】由题意得:
两船的行驶方向为直角,
向东北方向航行的小船行驶路程为:
20×1=20(海里),
向东南方向航行的小船行驶路程为:
15×1=15(海里),
两船的距离:
25(海里),
故答案为:
25海里.
13.(2020春•明水县校级期中)如图,一架长为4m的梯子,一端放在离墙脚3m处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙脚
m .
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出梯子顶端离墙角的距离.
【解析】由题意可得:
梯子顶端离墙角有
(m).
故答案为:
m.
14.(2020春•武昌区期中)如图,已知点B在点A的北偏东32°,点C在点B的北偏西58°,CB=12,AB=9,AC=15,则△ABC的面积为 54 .
【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形,进而解答即可.
【解析】∵CB=12,AB=9,AC=15,
∴AC2=CB2+AB2,
∴△ABC是直角三角形,
∴△ABC的面积
,
故答案为:
54
15.(2020春•西城区校级期中)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题:
今有竹高一丈,末折抵底,去本三尺.折者高几何?
意思为:
一根竹子,原高一丈,虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹稍恰好抵地,抵地处离远处竹子三尺远,则原处还有
尺竹子.(请直接写出答案,注:
1丈=10尺).
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形,设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(10﹣x)尺.利用勾股定理解题即可.
【解析】设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(10﹣x)尺,
根据勾股定理得:
x2+32=(10﹣x)2,
解得:
x
.
故答案为:
.
16.(2020春•青山区校级期中)如图,一场大风后,一棵大树在高于地面1米处折断,大树顶部落在距离大树底部3米处的地面上,那么树高是 (
1)米 .
【分析】首先根据勾股定理求得折断的树高,继而即可求出折断前的树高.
【解析】根据勾股定理可知:
折断的树高
米,
则这棵大树折断前的树高=(1
)米.
故答案为(
1)米
17.(2019春•黄浦区期中)将一根长56厘米的铁丝弯折成一个直角三角形,使它的一条直角边长为7厘米,则另一条直角边长是 24 厘米.
【分析】只需运用勾股定理就可解决问题.
【解析】设另一条直角边长为x,由题可得,该直角三角形的斜边为(56﹣7﹣x)cm,即(49﹣x)cm,
根据勾股定理可得,
72+x2=(49﹣x)2,
解得:
x=24,
∴49﹣x=25,
∴这个直角三角形另一条直角边长的长为24,
故答案为:
24
18.(2019春•天津期中)如图,要从电线杆离地面12m处向地面拉一条钢缆,要求地面钢缆固定点A与电线杆底部B的距离是5m,则钢缆的长度为(不计接头) 13米 .
【分析】根据勾股定理即可得到结论.
【解析】在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,
∴AC
13,
答:
钢缆的长度为13米,
故答案为:
13米.
三、解答题(本大题共6小题,共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2020春•云梦县期中)如图,某电信公司计划在A,B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔,且使C,D两个村庄到E的距离相等.已知AD⊥AB于点A,BC⊥AB于点B,AB=80km,AD=50km,BC=30km,求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方?
【分析】可以设AE=xkm,则BE=(80﹣x)km,在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE2,在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE2,根据DE=CE可以求得x的值,即可求得AE的值.
【解析】设AE=xkm,则BE=(80﹣x)km,
∵AD⊥AB,BC⊥AB,
∴△ADE和△BCE都是直角三角形,
∴DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,
又∵AD=50,BC=30,DE=CE,
∴502+x2=(80﹣x)2+302,
解得x=30.
答:
5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方.
20.(2020春•硚口区期中)如图,一根直立于水中的芦苇BD高出水面AC1米,一阵风吹来,芦苇的顶端D恰好到达水面的C处,且C到BD的距离AC=3米,求芦苇BD的长度为多少米?
【分析】设芦苇BD的长度为x米,则水深(x﹣1)米,利用勾股定理列出方程,再解即可.
【解析】设芦苇BD的长度为x米,则水深(x﹣1)米,由题意得:
x2﹣32=(x﹣1)2,
解得:
x=5,
答:
芦苇BD的长度为5米.
21.(2020春•铁东区期中)在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=BC,由于某种原因,由C到B的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D(A、D、B在同一条直线上),并新修一条路CD,测得CA=6.5千米,CD=6千米,AD=2.5千米.
(1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路?
请通过计算加以说明;
(2)求原来的路线BC的长.
【分析】
(1)利用勾股定理逆定理证明CD⊥AB,根据垂线段最短可得答案;
(2)设BC=x千米,则BD=(x﹣2.5)千米,利用勾股定理列出方程,再解即可.
【解析】
(1)是,
理由:
∵62+2.52=6.52,
∴CD2+AD2=AC2,
∴△ADC为直角三角形,
∴CD⊥AB,
∴CD是从村庄C到河边最近的路;
(2)设BC=x千米,则BD=(x﹣2.5)千米,
∵CD⊥AB,
∴62+(x﹣2.5)2=x2,
解得:
x=8.45,
答:
路线BC的长为8.45千米.
22.(2020春•武汉期中)如图,在笔直的铁路上A,B两点相距20km,C,D为两村庄,DA=8km,CB=14km,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B.现要在AB上建一个中转站E,使得C,D两村到E站的距离相等,求AE的长.
【分析】根据题意设出E点坐标,再由勾股定理列出方程求解即可.
【解析】设AE=x,则BE=20﹣x,
由勾股定理得:
在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=82+x2,
在Rt△BCE中,CE2=BC2+BE2=142+(20﹣x)2,
由题意可知:
DE=CE,
所以:
82+x2=142+(20﹣x)2,解得:
x=13.3
所以,E应建在距A点13.3km.
23.(2020春•涿鹿县期中)如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD),经测量,在四边形ABCD中,AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,∠B=90°.
(1)△ACD是直角三角形吗?
为什么?
(2)小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米80元,试问铺满这块空地共需花费多少元?
【分析】
(1)先在Rt△ABC中,利用勾股定理可求AC,在△ACD中,易求AC2+CD2=AD2,再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°;
(2)分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积,两者相加即是四边形ABCD的面积,再乘以80,即可求总花费.
【解析】
(1)如图,连接AC,
在Rt△ABC中,∵AB=3m,BC=4m,∠B=90°,AB2+CB2=AC2
∴AC=5cm,
在△ACD中,AC=5cmCD=12m,DA=13m,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°;
(2)∵S△ABC
3×4=6,S△ACD
5×12=30,
∴S四边形ABCD=6+30=36,
费用=36×80=2880(元).
答:
铺满这块空地共需花费2880元.
24.(2019春•罗庄区期中)某小区内有一块如图所示的三角形空地ABC,计划将这块空地建成一个花园,以美化小区环境,预计花园每平方米造价为25元,小区修建这个花园需要投资多少元?
【分析】过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x,则CD=14﹣x,再根据勾股定理求出x的值,进而可得出AD的长,由三角形的面积公式即可得出结论.
【解析】过点A作AD⊥BC于点D,
设BD=x,则CD=14﹣x,在Rt△ABD与Rt△ACD中,
∵AD2=AB2﹣BD2,AD2=AC2﹣CD2.
∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,即132﹣x2=152﹣(14﹣x)2,解得x=5,
∴AD2=AB2﹣BD2=132﹣52=144.
∴AD=12(米),
∴学校修建这个花园的费用=25
14×12=2100(元).
答:
学校修建这个花园需要投资2100元.
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