二项式定理十大典型问题及例题.docx
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二项式定理十大典型问题及例题
学科教师辅导讲义
学员编号:
年级:
高二课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
数学学科教师:
教学内容
1•二项式定理:
.、n亠0n亠1n1.亠「nr.r亠n.n,■■:
*、
(ab)二CnaCnaFHlCnaF|1丨Cnb(nN),
2.基本概念:
1二项式展开式:
右边的多项式叫做(a-b)n的二项展开式。
2二项式系数:
展开式中各项的系数Cnr(r=0,1,2,…,n).
3项数:
共(r1)项,是关于a与b的齐次多项式
4通项:
展开式中的第r1项C:
an」br叫做二项式展开式的通项。
用Tr勺二C;an」br表示。
3.注意关键点:
1项数:
展开式中总共有(n・1)项。
2顺序:
注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a-b)n与(b■a)n是不同的。
3指数:
a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n,是升幕排列。
各项的次数和等于n.
4系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是cnW’C:
…,C;,…,C;.项的系数是a与b的系数
(包括二项式系数)。
4.常用的结论:
令a=1,b=x,(1x)n=C0C:
xC;x2HICxrHlC;xn(nN)
令a=1,b=-x,(1-x)"=C-C:
xcfx?
IC;x,IH(-1fC^^(nN)
5.性质:
1二项式系数的对称性:
与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即C0二cn,…Cn=CnkJ
2二项式系数和:
令a=b=1,则二项式系数的和为c:
+cn+C:
+川+cn+Hl+c:
=2n,
变形式cnCnjipc;jhcn=2n-1o
3奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
在二项式定理中,令a=1,b-一1,贝UC:
—C:
•C:
—C;•川(_l)nC:
=(1—1)n=0,从而得到:
C;+C;+C:
…+C?
+…=C:
+C;+|卄+Cnr*+…=1x2n=22
2
4奇数项的系数和与偶数项的系数和:
(a+x)n=C;anx0+C:
an二x+C;a2x2+川+cna°xn=a0+玄必1+a2x2+(H+anXn
(x+a)n=C;a0xn+cnaxn」+C2a2xn,+C:
anx0=anxn+j(|+a2x2ta/1+a0
令x=1,则a0-a1a2a3卄|an=(a1)n①
令x=-1,则a0-a2_a3•川•an=(a_1)n②①+②得,a0+a2+a4川+an=_1—掘一(奇数项的系数和)
2
①一②得,a1as比川an=住〔)二(a"]偶数项的系数和)
2
n
5二项式系数的最大项:
如果二项式的幕指数n是偶数时,则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。
n-1n:
:
1
如果二项式的幕指数n是奇数时,则中间两项的二项式系数Cn2,Cn2同时取得最大值。
6系数的最大项:
求(abx)n展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
1A1亠A
为A,A2,…,An*,设第r+1项系数最大,应有彳,从而解出r来。
lAr卅色A七
专题一
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
Cn■Cn6■Cn6^1■Cn6n^=.
解:
(16)n=C0C16-Cn262■c36^1■C:
6n与已知的有一些差距,
二cn+c26+C;'62+1朴+Cn■6n^=1(C16+Cn6^11+C;;6n)6
lU+Cn16+C;Gm+C:
6n-1)=1[(1+6)n-1]#(7n-1)
666练:
C「3C29CnHI'3nJCn
解:
设Sn•3C;-9C;川|3nJCn,则
3Sn二C:
3•C;32•C;33创|•C:
3nC:
3C'32C;33•C:
3n一仁(「3)n-1
题型二:
利用通项公式求xn的系数;
例:
在二项式(41•3x2)n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有X3的项的系数?
解:
由条件知Cn--45,即Cn-45,.n2-n-90=0,解得n=-9(舍去)或n=10,由
1210」2
T—=C;o(x^)1O_r(x3)r=C;oX—3,由题意一+2r=3,解得r=6,
43
3633
贝y含有x的项是第7项T61二C10X=210x,系数为210。
1
练:
求(X2…)9展开式中x9的系数?
2x
解:
Tr十=C;(x2)9_r(-1)r=c9x18'r(_1)rx』=C;(—1)rx18'r,令18-3r=9,则r=3
2x22
931321
故x9的系数为C;(-)3:
22
题型三:
利用通项公式求常数项;
2110
例:
求二项式(X)的展开式中的常数项?
2丘
16
练:
求二项式(2x——)6的展开式中的常数项?
2x
1
练:
若(x2+-)n的二项展开式中第5项为常数项,则n=.
x
解:
T5=C4(x2)n"4
(1)^C"x2n42,令2n-12=0,得n-6.
x
题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;例:
求二项式(\x-3x)9展开式中的有理项?
1127丄
解:
Tr1.=C;(x2)9」(一x3)r=(—1)rC;xF,令27~r.Z,(Q 6 所以当r=3时,27一「=4,T4=(-1)七9^4--84x4, 6 当r=9时,271=3,Tio=(一1)七学3=—x3。 6 题型五: 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和; 令x--1,则有ao•a「…an=0,①,令x=1,则有ao-印•a2-a3爲…爲(-1)nan=2n,② 将①-②得: 2(a1a3•a5--2n,.a1a3a^--2nJ, 练: 若(^‘+^丄)"的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。 解: ;Cn■cn2■Cn-C2^…=C「C3c^r…-2nJ,.22=1024,解得n=11 题型六: 最大系数,最大项; 1 例: 已知(,2x)n,若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项 2 的系数是多少? 解: : C: =2C;,・n2-21n9^0,解出n-7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是 T4和T5二T4的系数=。 ;(丄)423=35,,T5的系数=C;(丄)‘24=70,当n=14时,展开式中二项式系数最大 222 1 的项是T8,T8的系数二C;4(—)727=3432。 2 练: 在(ab)2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少? 解: 二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大,即T2nTn1,也就是第n1项。 1 2 练: 在(2—》)n的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少? n612 解: 只有第5项的二项式最大,则27=5,即n=8,所以展开式中常数项为第七项等于C8 (2)=7 练: 写出在(a-b)7的展开式中,系数最大的项? 系数最小的项? 解: 因为二项式的幕指数7是奇数,所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有 343434 T4二-C? ab的系数最小,T5-C7ab系数最大。 1 练: 若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(•2x)n的展开式中系数最大的项? 2 解: 由C0■C1■Cn=79,解出n-12,假设Tr1项最大,;(12x)12=(;)12(14x)12 练: 在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少? 解: 假设Tr1项最大,: *Tr=C;02rxr r=7,展开式中系数最大的项为T8-C102x-15360x. 题型七: 含有三项变两项 例: 求当(x2,3x,2)5的展开式中x的一次项的系数? 解法①: (x2,3x2)^[(x22)3x]5,Tr十=C;(x2•2)5」(3x)r,当且仅当r=1时,Trd的展开式中才有x 的一次项,此时人+=丁2=C;(x2+2)43x,所以x得一次项为C;C: 243x 它的系数为C;C: 243=240。 解法②: (x23x2)5=(x1)5(x2)5-(C^X5C;X4c^cfx5C;X42C;25) 故展开式中含x的项为C5xCf25C^x2^240x,故展开式中x的系数为240. A 练: 求式子(W+1-2)3的常数项? |x| 33 6-2r=0,r=3,.T31=(-1)C6=…20. 题型八: 两个二项式相乘; 例: 求(1-2x)3(1-x)4展开式中x2的系数. 解: : (12x)3的展开式的通项是Cm(2x)^cm2mxm, (1-x)4的展开式的通项是C4<-x)^c4-1nxn,其中m=0,123,n=0,1,2,3,4, 令mn=2,则m=0且n=2,m=1且门=1,m二2且n=0,因此(12x)3(1「x)4 的展开式中X2的系数等于C020C「(-1)2+c3Qc4<-1)^c322c4C1)0=—6.练: 求(1•3x)6(1•41)10展开式中的常数项. Vx .mn4m」n 解: (13x)6(14-)10展开式的通项为Cjx3G0xPC10x12 Vx m=0,丄m=3,丄m=6, 其中m=0,1,2,…,6,n=0,1,2,…,10,当且仅当4m=3n,艮卩或或 小=0,屮=4,小=8, 时得展开式中的常数项为C;C10C3C10-CbC;0=4246. 练: 已知(1+x+x2)(x+-y)n的展开式中没有常数项,nEN*且2乞n兰8,则n=. x 解: (X…1)“展开式的通项为Cnxnxxj3r=Cnxn^r,通项分别与前面的三项相乘可得 x cnx^Gfrcnxn*2,: 展开式中不含常数项,2辽n注 .n=4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n=5. 题型九: 奇数项的系数和与偶数项的系数和; 例: 在(x-两2006的二项展开式中,含x的奇次幕的项之和为S,当x=时,S=. 解: 设(x-/2)2006=a0■a1x1a2x2■a3x3川a2006x2006① (_x—,2)2006=比—qx1•a2x2_a3x3■IH■a2006x2006② ①-②得2(ax盼3-a§x5IHa2005X2005)=(x-、2)2006-(x2)2006 •(x-2严展开式的奇次幂项之和为S(x)叮(x-W)2006-(xT)2006] 32006 当x=逅寸,S(滴=1[(旋-滴2006一(忑+72严]一匚一23008 22 题型十: 赋值法; 例: 设二项式(3〔x1)n的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若 x p-s=272,则n等于多少? _A解: 若(33x-—)n=a0a-|Xa2x^…爲anxn,有P=a。 •ai亠亠an,S=C0亠亠C;=2n, x 令x=1得P=4n,又ps=272,即4n2n=272二(2n17)(2n-16)=0解得2n=16或2n=-17(舍去), /1丫 解: 令x=1,贝V3仮-〒的展开式中各项系数之和为2n=64,所以n=6,则展开式的常数项为 c6(3,x)3(-I)3=-540. 练: 若(1-2x)2009=a°十盼1+a? x2+a3X3+H|+a2009X2009(x£R),则]+寺+…+瞬的值为解: 令x=2‘可得3。 号十贵+…十謊=0,号+予•"熒一a。 在令x=0可得a°=1,因而号+穿+■■■十||器=-1. 练: 若(x—2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2十玄必1+a0,贝Va1+a2+a3+a4+a5=. 解: 令x=0得a°二-32,令x=1得a°a1a2a3a4a^-1, a1a2a3a4a5=31. 题型十一: 整除性; 例: 证明: 32n2-8n-9(n•N)能被64整除 证: 32n2_8n_9=9n ~'8n-'9=(81)-'8n-'9 =C018n1C1J 8n+…+C: ¥82+C;;十81+C: ¥—8n_9 -C018n1C1J 8n+…+Cnn¥82+8(n+1)+1—8n_9=卅8n+■■■+(黑82 由于各项均能被64整除.32「2-8n-9(n,N*)能被64整除 1、(x—1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是彳⑴—“-1)=(—2)11/2工「1024 2 2、cn3cn飞七: …一3ncn-2、 2、4n 3、(勺呂+寺)20的展开式中的有理项是展开式的第项* 3、3,9,15,21 4、(2x-1)展开式中各项系数绝对值之和是 6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数. 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令x=1,则所求和为35 求系数为c[i• x2的系数最小? 7、若f(x)=(1•x)m(1x)n(m・n•N)展开式中,x的系数为21,问mn为何值时, 7、由条件得m+n=21,x2的项为cmx2+C: x2,则Cm+C: =(n—空)2+臾9.因n€N,故当n=10或11时上式有 24 最小值,也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时,x2的系数最小. 8、自然数n为偶数时,求证: 1■2Cnc22C「C: 宀」2C: ‘■Cn=32°^ 8、原式=(CnC1c2Cn4Cn)(C;c3-Co-Cn4^2n-2n4=3.2n4 11 9、求80被9除的余数 9、8011=(81—1)11-。 壮卩_屏8110+…+C1081_1=81k_1(k^Z), •••k€乙•••9k-1€Z,「.8111被9除余8 10、在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数. 10、(x2-3x2)5=(x1)5(x2)5 在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为C;=5x,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为C;24x=80x •展开式中含x的项为1(80x)5x(32^240x,此展开式中x的系数为240. 11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项, 11、设Tr+1的系数最大,则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数,即有 仏屮亠HC「213」-: C;2X2CF上门心乂卩佢1^zCcJ 11 -3r_4r=4 33 •展开式中系数最大项为第5项,T5=16c42x4=7920x4
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- 二项式 定理 典型 问题 例题