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圆周运动
第3讲 圆周运动
一、匀速圆周运动及描述
1.匀速圆周运动
(1)定义:
做圆周运动的物体,若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等,就是匀速圆周运动.
(2)特点:
加速度大小不变,方向始终指向圆心,是变加速运动.
(3)条件:
合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.
2.描述匀速圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
(1)v=
=
(2)单位:
m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(1)ω=
=
(2)单位:
rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T=
=
,单位:
s
(2)f=
,单位:
Hz
向心加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an=
=rω2
(2)单位:
m/s2
自测1
(多选)一质点做匀速圆周运动,其线速度大小为4m/s,转动周期为2s,则( )
A.角速度为0.5rad/s
B.转速为0.5r/s
C.轨迹半径为
m
D.加速度大小为4πm/s2
答案 BCD
二、匀速圆周运动的向心力
1.作用效果
向心力产生向心加速度,只改变速度的方向,不改变速度的大小.
2.大小
F=m
=mrω2=m
r=mωv=4π2mf2r.
3.方向
始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个变力.
4.来源
向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力提供,还可以由一个力的分力提供.
自测2
(多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是( )
A.因向心力总是沿半径指向圆心,且大小不变,故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心,且与线速度方向垂直,所以它不能改变线速度的大小
C.向心力就是物体所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不变的
答案 BC
自测3
教材P25第3题改编 如图1所示,小物体A与水平圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动,则A受力情况是( )
图1
A.重力、支持力
B.重力、向心力
C.重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D.重力、支持力、向心力、摩擦力
答案 C
三、离心运动和近心运动
1.离心运动定义:
做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动.
2.受力特点(如图2)
图2
(1)当F=mrω2时,物体做匀速圆周运动;
(2)当F=0时,物体沿切线方向飞出;
(3)当F (4)当F>mrω2时,物体逐渐向圆心靠近,做近心运动. 3.本质: 离心运动的本质并不是受到离心力的作用,而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力. 命题点一 圆周运动的运动学问题 1.对公式v=ωr的理解 当r一定时,v与ω成正比. 当ω一定时,v与r成正比. 当v一定时,ω与r成反比. 2.对an= =ω2r的理解 在v一定时,an与r成反比;在ω一定时,an与r成正比. 3.常见的传动方式及特点 (1)皮带传动: 如图3甲、乙所示,皮带与两轮之间无相对滑动时,两轮边缘线速度大小相等,即vA=vB. 图3 (2)摩擦传动和齿轮传动: 如图4甲、乙所示,两轮边缘接触,接触点无打滑现象时,两轮边缘线速度大小相等,即vA=vB. 图4 (3)同轴传动: 如图5甲、乙所示,绕同一转轴转动的物体,角速度相同,ωA=ωB,由v=ωr知v与r成正比. 图5 例1 如图6所示,轮O1、O3固定在同一转轴上,轮O1、O2用皮带连接且不打滑.在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C,已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3=2∶1∶1,求: 图6 (1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC; (2)A、B、C三点的角速度大小之比ωA∶ωB∶ωC; (3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC. 答案 (1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1 解析 (1)令vA=v,由于皮带传动时不打滑,所以vB=v.因ωA=ωC,由公式v=ωr知,当角速度一定时,线速度跟半径成正比,故vC= v,所以vA∶vB∶vC=2∶2∶1. (2)令ωA=ω,由于轮O1、O3共轴转动,所以ωC=ω.因vA=vB,由公式ω= 知,当线速度一定时,角速度跟半径成反比,故ωB=2ω,所以ωA∶ωB∶ωC=1∶2∶1. (3)令A点向心加速度为aA=a,因vA=vB,由公式a= 知,当线速度一定时,向心加速度跟半径成反比,所以aB=2a. 又因为ωA=ωC,由公式a=ω2r知,当角速度一定时,向心加速度跟半径成正比.故aC= a. 所以aA∶aB∶aC=2∶4∶1. 变式1 (多选)(2018·辽宁丹东质检)在如图7所示的齿轮传动中,三个齿轮的半径之比为2∶3∶6,当齿轮转动的时候,小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点( ) 图7 A.A点和B点的线速度大小之比为1∶1 B.A点和B点的角速度之比为1∶1 C.A点和B点的角速度之比为3∶1 D.以上三个选项只有一个是正确的 答案 AC 解析 题图中三个齿轮边缘线速度相等,A点和B点的线速度大小之比为1∶1,由v=ωr可得,线速度一定时,角速度与半径成反比,A点和B点角速度之比为3∶1,选项A、C正确,选项B、D错误. 命题点二 圆周运动的动力学问题 1.向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力. 2.几种典型运动模型 运动模型 向心力的来源图示 飞机水平转弯 火车转弯 圆锥摆 飞车走壁 汽车在水平路面转弯 水平转台 3.“一、二、三、四”求解圆周运动问题 例2 (多选)如图8所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道,两个弯道分别为半径R=90m的大圆弧和r=40m的小圆弧,直道与弯道相切.大、小圆弧圆心O、O′距离L=100m.赛车沿弯道路线行驶时,路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍,假设赛车在直道上做匀变速直线运动,在弯道上做匀速圆周运动,要使赛车不打滑,绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大,重力加速度g=10m/s2,π=3.14),则赛车( ) 图8 A.在绕过小圆弧弯道后加速 B.在大圆弧弯道上的速率为45m/s C.在直道上的加速度大小为5.63m/s2 D.通过小圆弧弯道的时间为5.58s 答案 AB 解析 在弯道上做匀速圆周运动时,根据径向静摩擦力提供向心力得,kmg=m ,当弯道半径一定时,在弯道上的最大速率是一定的,且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率,故要想时间最短,可在绕过小圆弧弯道后加速,选项A正确;在大圆弧弯道上的速率为vmR= = m/s=45m/s,选项B正确;直道的长度为x= =50 m,在小弯道上的最大速率为: vmr= = m/s=30m/s,在直道上的加速度大小为a= = m/s2≈6.50m/s2,选项C错误;由几何关系可知,小圆弧轨道的长度为 ,通过小圆弧弯道的时间为t= = s≈2.79s,选项D错误. 变式2 两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球,细线上端固定在同一点,若两个小球以相同的角速度,绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动,则两个摆球在运动过程中,相对位置关系示意图正确的是( ) 答案 B 解析 小球做匀速圆周运动,对其受力分析如图所示,则有mgtanθ=mω2Lsinθ,整理得: Lcosθ= ,则两球处于同一高度,故B正确. 命题点三 竖直面内圆周运动的两类 模型问题 1.两类模型比较 绳—球模型 杆—球模型 实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 最高点 受力特征 重力、弹力,弹力方向向下或等于零 重力、弹力,弹力方向向下、等于零或向上 受力示意图 力学特征 mg+FN=m mg±FN=m 临界特征 FN=0,vmin= 竖直向上的FN=mg,v=0 过最高点条件 v≥ v≥0 速度和弹力关系讨论分析 ①能过最高点时,v≥ ,FN+mg=m ,绳、轨道对球产生弹力FN ②不能过最高点时,v< ,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动 ①当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心 ②当0 时,-FN+mg=m ,FN背离圆心,随v的增大而减小 ③当v= 时,FN=0 ④当v> 时,FN+mg=m ,FN指向圆心并随v的增大而增大 2.解题技巧 (1)定模型: 首先判断是轻绳模型还是轻杆模型,两种模型过最高点的临界条件不同. (2)确定临界点: 抓住绳模型中最高点v≥ 及杆模型中v≥0这两个临界条件. (3)研究状态: 通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况. (4)受力分析: 对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程: F合=F向. (5)过程分析: 应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程. 模型1 绳—球模型 例3 如图9所示,一质量为m=0.5kg的小球,用长为0.4m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.g取10m/s2,求: 图9 (1)小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为多大? (2)当小球在最高点的速度为4m/s时,轻绳拉力多大? (3)若轻绳能承受的最大张力为45N,小球的速度不能超过多大? 答案 (1)2m/s (2)15N (3)4 m/s 解析 (1)在最高点,对小球受力分析如图甲,由牛顿第二定律得mg+F1= ① 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力,即F1不可能取负值, 亦即F1≥0② 联立①②得v≥ , 代入数值得v≥2m/s 所以,小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为2m/s. (2)将v2=4m/s代入①得,F2=15N. (3)由分析可知,小球在最低点时轻绳张力最大,对小球受力分析如图乙,由牛顿第二定律得 F3-mg= ③ 将F3=45N代入③得v3=4 m/s 即小球的速度不能超过4 m/s. 变式3 (2017·广东汕头二模)如图10甲,小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动,小球经过最高点时的速度大小为v,此时绳子的拉力大小为FT,拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示,图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量,以下说法正确的是( ) 图10 A.数据a与小球的质量有关 B.数据b与圆周轨道半径有关 C.比值 只与小球的质量有关,与圆周轨道半径无关 D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径 答案 D 解析 在最高点对小球受力分析,由牛顿第二定律有FT+mg=m ,可得图线的函数表达式为FT=m -mg,题图乙中横轴截距为a,则有0=m -mg,得g= ,则a=gR;图线过点(2a,b),则b=m -mg,可得b=mg,则 = ,A、B、C错.由b
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