中考数学二次函数压轴题题型归纳.docx
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中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考二次函数综合压轴题型归类
一、常考点汇总
1、两点间的距离公式:
AB
yA
yB
2
xA
xB
2
2、中点坐标:
线段AB的中点C的坐标为:
xA
xB
yAyB
2
,
2
直线yk1xb1(k10)与y
k2x
b2(k2
0)的位置关系:
(1)两直线平行
k1
k2且b1
b2
(2)两直线相交
k1
k2
(3)两直线重合
k1
k2且b1
b2
(4)两直线垂直
k1k2
1
3、一元二次方程有整数根问题
,解题步骤如下:
①
用和参数的其他要求确定参数的取值范围;
②
解方程,求出方程的根;(两种形式:
分式、二次根式)
③
分析求解:
若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。
例:
关于x的一元二次方程x2-2m
1x
m2=0有两个整数根,m<5且m为整数,求m的值。
4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。
(方法同上)
例:
若抛物线ymx23m1x3与x轴交于两个不同的整数点,且m为正整数,试确定
此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下:
已知关于x的方程mx23(m1)x2m30(m为实数),求证:
无论m为何值,方程总
有一个固定的根。
解:
当m
0时,x
1;
当m
0时,
m
32
0,x
3m1
,x1
2
3、x2
1;
2m
m
综上所述:
无论
m为何值,方程总有一个固定的根是
1。
6、函数过固定点问题
,举例如下:
已知抛物线y
x2
mx
m
2(m是常数),求证:
不论
m为何值,该抛物线总经过一个
固定的点,并求出固定点的坐标。
1
解:
把原解析式变形为关于
m
的方程
y
x2
2m1
x;
∴
y
x2
20,解得:
y
1
;
1
x
0
x1
∴抛物线总经过一个固定的点(
1,-1)。
(题目要求等价于:
关于
m的方程y
x2
2
m1
x不论m为何值,方程恒成立)
..
ax
b
有无数解
a
0
小结:
关于x的方程
b
0
7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)
(1)如图,直线l1、l2,点A在l2上,分别在l1、l2上确定两点M、N,使得AMMN之和最小。
(2)如图,直线l1、l2相交,两个固定点A、B,分别在l1、l2上确定两点M、N,使得
BMMNAN之和最小。
(3)如图,A、B是直线l同旁的两个定点,线段a,在直线l上确定两点E、F(E在F的左侧),使得四边形AEFB的周长最小。
2
8、在平面直角坐标系中求面积的方法:
直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法:
如右图,
S
·PM·△x=1/2·AN·△y
△PAB=1/2
9、函数的交点问题:
二次函数(y=ax2+bx+c)与一次函数(y=kx+h)
(1)解方程组
y
=
ax
2+
+
c可求出两个图象交点的坐标。
bx
y
=
+
h
kx
(2)解方程组
y
=
ax
2+
+
c,即ax2+b-kx+c-h=0,
bx
y
=
+
h
kx
通过可判断两个图象的交点的个数
有两个交点
仅有一个交点
没有交点
>0
0
<0
10、方程法
(1)设:
设主动点的坐标或基本线段的长度
(2)表示:
用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
(3)列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求几何分析
跟平行有关的
平移
图形
勾股定理逆定理
跟直角有关的利用相似、全等、平
图形行、对顶角、互余、互补等
跟线段有关的利用几何中的全等、
图形中垂线的性质等。
利用相似、全等、平
跟角有关的图
行、对顶角、互余、
形
互补等
涉及公式
l1∥l2
k1=k2
y1
y2
、k
x2
x1
AByAyB2xAxB2
AByAyB2xAxB2
应用图形
平行四边形
矩形
梯形
直角三角形
直角梯形
矩形
等腰三角形
全等
等腰梯形
3
【例题精讲】
一基础构图:
y=x22x3(以下几种分类的函数解析式就是这个)
★和最小,差最大在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小,求出P点坐标
在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,求出P点坐标
★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P,使得ACP面积最大,求出P坐标
★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形,
求出P坐标或者在抛物线上求点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.
★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为等腰三角形,
求出P坐标
★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,
且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标
y
BOAx
C
D
y
BOAx
C
D
y
BOAx
C
D
y
BOAx
C
D
4
二综合题型
例1
(中考变式)如图,抛物线y
x2
bxc与x轴交与A(1,0),B(-3
,0)两点,顶点为D。
交Y轴于C
(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形,若存在,求出点P的坐标。
若没有,请说明理由
(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合),过E作EF与X轴垂直,交
BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,
求L关于X的函数关系式?
关写出X的取值范围?
当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标?
(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。
当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形?
(5)在(5)的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BCE的面积最大?
5
例2
考点:
关于面积最值
如图,在平面直角坐标系中,点
A、C的坐标分别为(-1,0)、(0,-
3),点B在x轴上.已知某
二次函数的图象经过
A、B、C三点,且它的对称轴为直线
x=1,点P为直线BC下方的二次函数
图象上的一个动点(点
P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交
BC于点F.
(1)求该二次函数的解析式;
y
(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段
PF的长;
(3)求△PBC面积的最大值,并求此时点
P的坐标.
AO
F
Bx
C
P
x=1
例3
考点:
讨论等腰
如图,已知抛物线y
1
2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),
=
2
x
点C的坐标为(0,-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,
说明理由.
yy
D
x
BO
A
BO
A
x
E
C
C
备用图
6
例4考点:
讨论直角三角
⑴如图,已知点A(一1,0)和点B(1,2),在坐标轴上
确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P共有().
(A)2个(B)4个(C)6个(D)7个
⑵已知:
如图一次函数
y
1
x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数
1
x
2+
=
2
y=
2
bx+c的图象与一次函数
y=
1
x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,
2
0)
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?
若存在,求出所有的
点P,若不存在,请说明理由.
y
C
2
B
x
AODE
例5考点:
讨论四边形
已知:
如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),点B(6,0),
与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的
解析式;
(3)在
(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是
否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?
如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果
不存在,请说明理由.
y
C
AOBx
7
综合练习:
1、平面直角坐标系xOy中,抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴
交于点C,点A的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为D。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB,求点P的坐标;
(3)Q为线段BD上一点,点A关于∠AQB的平分线的对称点为A,若QAQB2,求点Q的坐标和此时△QAA的面积。
2、在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y
ax2+2axc的图像与y轴交于点C0,3
,与x
轴交于A、B两点,点B的坐标为
3,0。
(1)求二次函数的解析式及顶点
D的坐标;
(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线
OM把四边形ACDB分成面积为1
:
2的
两部分,求出此时点
M的坐标;
(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点,问:
点
P在何处时△CPB的面积最大?
最大面积
是多少?
并求出此时点
P的坐标。
8
3、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2x22x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,
m
且对称轴与x轴交于点C。
(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示);
(2)D为OB中点,直线AD交y轴于E,若E(0,2),求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点M在直线OB上,且使得AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直
线BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标。
4、已知关于x的方程(1m)x2
(4m)x
30。
(1)若方程有两个不相等的实数根,求
m的取值范围;
(2)若正整数m满足82m
2,设二次函数
y(1
m)x2
(4m)x3的图象与x轴交于
A、B两点,将此图象在
x轴下方的部分沿
x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一
个新的图象;请你结合这个新的图象回答:
当直线y
kx
3与此图象恰好有三个公共点时,
求出k的值(只需要求出两个满足题意的
k值即可)。
9
5如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(﹣4,0)和B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,
连接CQ.当△CEQ的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,
点D的坐标为(﹣2,0).问是否有直线l,使△ODF是等腰三角形?
若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
2
例1.已知二次函数y=x+(m-1)x+m-2的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且
x1<x2.
(1)若x1x2<0,且m为正整数,求该二次函数的表达式;
(2)若x1<1,x2>1,求m的取值范围;
(3)是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与
y轴相切于点
C(0,2),若存在,求出
m的值;
若不存在,请说明理由;
1
MD
1
(4)若过点D(0,2)的直线与
(1)中的二次函数图象相交于
M、N两点,且
DN=
3
,求该直
线的表达式.
题型二、抛物线与
x轴两交点之间的距离问题
例2已知二次函数
y=x2
+mx+m-5,
(1)求证:
不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点;
(2)求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短.
10
题型三、抛物线方程的整数解问题
例1.已知抛物线yx22(m1)xm20与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且m<5,则
整数m的值为_____________
例2.已知二次函数y=x2-2mx+4m-8.
(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围;
(2)以抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN(M,N两点
在拋物线上),请问:
△AMN的面积是与m无关的定值吗?
若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由;
y
(3)若抛物线y=x2-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数..m的值.
Ox
A
题型四、抛物线与对称,包括:
点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
例1.已知抛物线yx2bxc(其中b>0,c≠0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的
对称点为B(m,n),且AB=2.
(1)求m,b的值
(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方,且BO=20。
求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒:
请画图思考)
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)
例1.已知:
二次函数yx24xm的图象与x轴交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1
<x2),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.
(1)求实数m的取值范围;
(2)如果(x1+1)(x2+1)=8,求二次函数的解析式;
(3)把
(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移,如果平移后的函数图象与x轴交于点A1、
B1,顶点为点C1,且△A1B1C1是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式.
综合提升
11
1.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4),且|AB|=23,图象的对称轴为x=1.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方,求m的取值范围.
2.已知二次函数
2
y=-x+mx-m+2.
(1)若该二次函数图象与
x轴的两个交点
A、B分别在原点的两侧,并且
AB=
5,求m的值;
(2)设该二次函数图象与
y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点
M、N,且S
△MNC
=27,求
的值.
m
2
2
3.已知关于x的一元二次方程x-2(k+1)x+k=0有两个整数根,k<5且k为整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于
x的二次函数
2
-2(k+1)x+k
2
y=x
的图象沿x
轴向左平移4个单位,求平移后的二次函数图象的解析式;
(3)根据直线y=x+b与
(2)中的两个函数图象交点的总个数,求
b的取值范围.
4.已知二次函数的图象经过点(1,0)和点
(2,1),且与
y
轴交点的纵坐标为
.
A
B
m
(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围;
(3)若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为22,求m的值.
四、中考二次函数定值问题
12
1.如图,已知二次函数L1:
y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点
C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:
y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?
如果不会,请求出EF
的长度;如果会,请说明理由.
2.如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点,过坐标原点O的直
线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0,-2)作平行于x轴的直线l1、l2.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切;
(3)求线段MN的长(用k表示),并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长.
13
3.如图1,已知直线y=kx与抛物线y=4x2+22x交于点A(3,6).
273
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直
线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:
线段QM与线段QN的长度之比
是否为定值?
如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,
0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:
m在什么范围时,符合条件的
E点的个数分别是1个、2个?
4.孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将
一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,
请解答以下问题:
(1)若测得OA=OB=22(如图1),求a的值;
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点
F,测得OF
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