高三摸底考试数学文试题 含答案.docx
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高三摸底考试数学文试题含答案
2021-2022年高三8月摸底考试数学(文)试题含答案
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数,i是虚数单位,则z的虚部是
A.2i B.-2i C..2 D.-2
2.设集合A=,B=,则
A.{5,6}B.{4,5,6,7}C.{x|4 3.已知是定义在R上的奇函数,且时的图像如图所示,则 A.-3 B.-2 C.-1 D.2 4.抛物线的准线方程为 A.x=2 B. C.x=-2 D.y=2 5.下列判断错误的是 A.是的充分不必要条件 B.命题的否定是 C.命题“若,则tan=1”的逆否命题是“若则” D.若为假命题,则均为假命题 6.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是 A.B.C.D. 7.已知等比数列的前项和为,且,则数列的公比的值为 A.2B.3C.2或-3D.2或3 8.设满足约束条件 ,则的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.6 9.要得到函数的图像,只要将函数的图像 A.向左平移单位B.向右平移单位C.向左平移单位D.向右平移单位 10.已知两个平面垂直,给出下列四个命题: ①一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直另一平面内的无数条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直另一平面. ④在一个平面内一定存在直线平行于另一平面. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 11.已知圆C: 直线,圆C上任意一点A到直线的距离小于2的概率为 A. B. C. D. 12.已知函数 ,若a,b,c互不相等, 且,则abc的取值范围是 A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分. 13.已知幂函数的图像经过点,则该函数的解析式为. 14.在等差数列中,,则此数列前13项的和是. 15.已知向量满足,且,则与的夹角为. 16.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球的表面积之比为. 三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 在,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=. (1)求cos(B+C)+cos2A的值; (2)若a=,求bc的最大值. 18.(本小题满分12分) 在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,底面ABCD,F为BE的中点. (1)求证: 平面ACF; (2)若CE=1,AB=,求三棱锥E-ACF的体积. 19.(本小题满分12分) 交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数T. 其范围为[0,10],分别有五个级别: T畅通;基本畅通;轻度拥堵;中度拥堵;严重拥堵.在晚高峰时段,从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示. (1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个? (2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数; (3)从 (2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少一个路段为轻度拥堵的概率. 20.(本小题满分12分) 如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆的离心率为,过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,弦AB长4. (1)求椭圆的方程; (2)若.求直线AB的方程. 21.(本小题满分12分) 已知函数. (1)求的最小值; (2)设 ,讨论函数的单调性. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一天计分.做答是用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分10分) 如图,已知AP是圆O的切线,P为切点,AC是圆O的割线,与圆O交于B,C两点,圆心O在的内部,点M是BC中点. (1)证明: A,P,O,M四点公园共圆; (2)求的大小. 23.(本小题满分10分) 已知切线C的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线L的参数方程为 (t为参数). (1)写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程; (2)设曲线C经过伸缩变换,得到曲线,判断L与切线交点的个数. 24.(本小题满分10分) 设函数. (1)当a=2时,解不等式; (2)若的解集为,,求证: m+2n4. 17.解析: (1)在中,因为cosA= 所以cos(B+C)+cos2A=-cosA+-1=--------------------6分 (2)由余弦定理知 所以3= 当b=c时,bc的最大值是----------------------12分 18.解析: (1)证明如下: 连接OF. 由四边形ABCD是正方形可知,点O为BD中点. 又F为BE中点,所以. 又平面ACF,平面ACF, 所以平面ACF.-------------6分 (2)因为在中,的中点,CE=1,BC= 所以 又因为底面ABCD是正方形,底面ABCD 所以 所以AB平面BCE 所以三棱锥E-ACF的体积 -----12分 19.解析: (1)由直方图得: 这20个路段中,轻度拥堵的路段有(0.1+0.2)个,中度拥堵的路段有个,严重拥堵的路段有个.----------4分 (2)由 (1)知: 拥堵路段共有6+9+3=18个,按分层抽样,从18个路段选出6个,依次抽取的三个级别路段的个数分别为 ,即从交通指数在的路段中分别抽取的个数为2,3,1.-------8分 (3)记选出的2个轻度拥堵路段为,选出的3个中度拥堵路段为,选出的1个严重拥堵路段为,则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下: ,共15种情况.其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有: ,共9种. 所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是.----------12分 20.解析: (1)由题意知,,又,解得: ,所以椭圆方程为: .--------6分 (2) 当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知,不满足条件; 当两弦斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1), 则直线CD的方程为. 将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得 , 则 ,所以 . 同理, . 所以 == 解得,所以直线AB方程为x-y-1=0或x+y-1=0.-------12分 21.解析: (1),令得. 当时,;当时,, 在上递减,在递增. 当时,.-----------6分 (2) . 当时,恒有在上是增函数; 当时,令得解得, 令得解得; 综上,当时,在上是增函数; 当时,在上单调递增,在上单调递减.----12分 22.解析: (1)证明: 连接OP,OM.因为AP与圆O相切于点P,所以. 因为M是圆O的弦BC的中点,所以.于是由圆心O在 的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.-------5分 (2)由 (1)得A,P,O,M四点共圆,所以.由 (1)得, 由圆心O在的内部,可知, 所以.-----------10分 23.解析: (1)消去参数t得直线L的直角坐标方程为: 由公式得曲线C的直角坐标方程为;--------5分 (2)曲线C经过伸缩变换得到曲线的方程为,由于直线L恒过点,点在椭圆内部,所以直线L与椭圆相交, 故直线与椭圆有两个交点.-------10分 24.解析: (1)当a=2时,不等式为, 因为方程的解为 所以不等式的解集为; (2)即,解得,而解集是, 所以,解得a=1,所以 所以 .---------10分 UW401079CAB鲫3787493F2鏲237555CCB峋3832195B1閱218005528唨236715C77屷a365358EB7躷210765254剔D334098281芁3474987BD螽
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