概率论习题答案随机变量的数字特征.docx

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概率论习题答案随机变量的数字特征

第3章随机变量的数字特征

1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求

.

“TheyfoundPekinggreatlychanged”

解：

根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。

它们的字母数分别为4，5，6，7，7。

所以分布律为

4567

1/51/51/52/5

.

2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求

。

解：

５个单词字母数还是４，５，６，７，７。

这时，字母数更多的单词更有可能被取到。

分布律为

4567

4/295/296/2914/29

.

3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。

解：

根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为

，

，

。

所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为

。

4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。

求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。

解：

根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。

分布律为

12345789101112

得分的数学期望为

。

5，

（1）已知

，

，求

。

（2）设随机变量

的分布律为

，

问

的数学期望是否存在？

解：

（1）根据

，可得

，因此计算得到

，即

。

所以

=6。

（2）根据题意，按照数学期望的公式可得

，

因此期望存在。

（利用了

）（不符书上答案）

6，

（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为

，求一天的平均耗水量。

（2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为

求这种动物的平均寿命。

解：

（1）一天的平均耗水量为

（百万升）。

（2）这种动物的平均寿命为

（年）。

7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为

，

求X的数学期望。

解：

=1/4。

8，设随机变量X具有概率密度如下，求

。

。

解：

。

9，设随机变量X具有概率密度如下，求

。

解：

。

（对第一个积分进行变量代换

）

10，设

，求数学期望

.

解：

。

（不符书上答案）

11，设球的直径R服从区间

上的均匀分布，求球体积

的数学期望。

解：

R的概率密度函数为

，所以

。

12，设随机变量X的概率密度为

，另有X的函数

，求数学期望

。

解：

（不符书上答案）

13，设随机变量

相互独立，且都服从区间

上的均匀分布，记

，

，求

。

解：

因为

的分布函数为

，所以可以求出

的分布函数为

，

。

的密度函数为

，

。

所以

的数学期望为

，

。

14，设随机变量（X,Y）具有分布律

Y

X

0

1

2

0

3/28

9/28

3/28

1

3/14

3/14

0

2

1/28

0

0

求

，

。

解：

求出边缘分布律如下

Y

X

0

1

2

0

3/28

9/28

3/28

15/28

1

3/14

3/14

0

12/28

2

1/28

0

0

1/28

10/28

15/28

3/28

1

，

，

，

，

。

15，在上题中，求

。

解：

，

。

16，设随机变量具有概率密度

求

。

解：

，

，

。

17，某工程队完成某种工程的天数X是随机变量，具有分布律

1011121314

0.20.30.30.10.1

所得利润（以元计）为

，求

。

解：

根据题意，可得利润的分布律为

200010000-1000-2000

0.20.30.30.10.1

因此，

（元）

。

18，设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为

其中

为常数，求

。

解：

，

，

，

。

（本题积分利用了

，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）

19，设随机变量X服从几何分布，其分布律为

，

其中

是常数。

求

。

解：

，

，

所以，

。

本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。

设

，则

，所以

。

类似的，设

，则经过两次积分以后可得到

，在经过两次求导得到

。

20，设随机变量X具有概率密度为

其中

为常数。

（1）若

，求

。

（2）问当

时，

是否存在？

（3）若

，求

。

（4）问当

时，

是否存在？

解：

（1）当

时，

。

（2）当

时，

，即

不存在。

（3），当

时，

，

所以，

。

（4）当

时，

，所以

不存在。

21，

（1）在14题中，求

。

（2）在16题中，求

，

。

（3）在第二章习题第14题中，求

。

解：

（1）根据14题中结果，得到

；

因为

，

，

所以

，

，

。

（2）根据16题结果可得：

；

因为

，

，

所以，

，

，

。

（3）在第2章14题中，由以下结果

Y

X

0

1

2

0

0.10

0.08

0.06

0.24

1

0.04

0.20

0.14

0.38

2

0.02

0.06

0.30

0.38

0.16

0.34

0.50

1

得到，

，

，

，

，

，

所以，

；

，

.

22，设随机变量（X,Y）具有

，

，求

，

。

解：

根据题意有

。

。

23，

（1）设随机变量

相互独立，且有

，

，求

。

（2）设

相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求

。

解：

（1）因为

相互独立，所以

。

（2）根据题意，可得

，

。

。

24，设随机变量（X,Y）具有概率密度

验证X,Y不相关，但X,Y不是相互独立的。

解：

因为

，

，

，

所以，

，

即，验证了X,Y不相关。

又因为，

；

，

显然，

，所以验证了X,Y不是相互独立的。

25，将

只球

放入

只盒子

中去，一只盒子装一之球。

若一只球装入与之同号的盒子中，称为一个配对。

记

为总的配对数，求

。

解：

引入随机变量定义如下

则总的配对数

，而且因为

，所以，

。

故所以，

。

（第3章习题解答完毕）