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对称及其数学教育意义方运加
“对称”及其数学教育意义
方运加
本文是作者为《中小学数学(小学版)》2012年第9期撰写的编者语
“对称”(Symmetry),一个广为人知、应用广泛的词,其表意之丰富、之深遽,堪与物质、存在、规律等词同列上位;其在哲学、数学、人文社会科学、自然科学、社会生活及生产等各领域均有种类或数量难以穷举的表述;甚至因由年龄不同、经历不同、目的不同、观念不同,对“对称”的认识或看法也会有不同;对称观点、对称关系、对称方法,对称结构,……难以尽数,现实中更是充满了对称现象。
“对称”如苍天,没有哪个领域或学科能脱离苍天俯视,任何学问都以诠释本门立论所离不开的对称思想为要务。
以至,上世纪70年代,毛主席在接见美籍物理学家、诺贝尔奖获得者李政道博士时,首先疑问道:
“为什么对称是重要的?
”
对称性已被清楚地证明是描述自然界的有效工具,我们所学的知识都以各种各样的对称性为基础,对称系统在数学中更易于描述,自然界的奥密用数学语言写就,进入现实王国的密码就是“对称”。
一、“镜像对称”——人人熟知的“对称”
面对如此不寻常的词,俺不禁想问:
啥是对称?
有易于俺们理解的、公认的“对称”表述吗?
还真有!
这个表述方法是大家在上小学时从算术、语文、音乐、美术等课程中获得的;是以实物、图形或画面为直观背景的;是人人都可意会,但不易用话语把它概括出来的;一般通过描述对称事实予以说明,属就事论事式的表述。
例如,具有左右对称显著特征的动物、建筑物、家具或用品就是常用于启蒙认识对称形象的实物。
小学一年级学生还不能够独立概括这类现象或事实,仅处于“认得”或“识得”的水平,认为“对称”就是这样子的,尚无意触及对称的本质。
小学二年级数学课本对“对称”的解释为“将一个图形对折以后,两边的图形完全重合”,对折产生的折痕叫做“对称轴”。
这个解释较狭隘,但易理解、好掌握。
教师在使学生认识对称的过程中,一般辅以“折、画、剪”等操作活动,使学生认识到:
对称图形两边对折后,折线两边能够完全重合在一起。
将“左右相同”归结为“左右重合”,或反之,这种“认得对称”的水平是普遍的,大多数人对“对称”的认知一辈子都维持在这一水平。
许多人在中学或大学学过几何学之后,对“对称”的认知也基本处于“左右全等”、“对折重合”的水平,并且习惯于借助直观手段的辅助。
但是,假如把呈“左右对称”的画面竖放或斜放,或者把一座呈轴对称形状的物品竖立或斜置,再提问是否对称时,习惯于“对称”的左右水平呈现形态的多数人会因有悖习惯而不能马上做答。
这就是人们面对各种对称现象时的最朴素、最直接的反应。
实际上,对“对称”的认识最早是从幼儿园或父母那里开始的,左右手、左右脚、左右腿、左边和右边等概念是幼儿阶段形成的经验性或习惯性认识,这是对“对称”的幼儿期认识。
待到读小学时,则进一步学习了左右概念及其应用,这时,学生自己的左右手起到了关键性的位置参照作用。
值得注意的是,与人体有关的前后对称性也是常用的,但却经常被忽略,教师与家长均未注意提炼出“左右”和“前后”是地位相等的对称现象。
“对称”概念的形成初期就是这样的。
被忽视的“对称”现象还挺多,以“观察者视角”为例,观察者若从某个角度观察某物是不对称的,还不能马上下“不对称”的结论,要多换些角度观察再说。
现实生活中常用的自行车、汽车从侧面看显然不对称,但从正面看则显现出对称性。
这仅仅是看得到的对称性,还有看不到的对称性,例如汽车的动平衡性,需要仪器测试才能得到确认。
这说明观察方法是多样的,不仅是用眼。
现在的数学课经常要求学生学会观察,但教师很少注意讲授观察方法,作为观察方法之一的“观察者视角”是很常用的数学方法,也是观察能力的集中体现,可以作为重要的数学教学内容讲授给学生。
现在小学阶段数学课程安排了“三视图”内容,其意义如何,尚待确证,但若通过“三视图”来教学“观察者视角”,并进一步提炼出观察方法,这就是极有意义的事啦。
二、“对称”与数学教学
如何从理性上、用数学方法去精准把握“对称”这个一直在发展着的概念(几百年来,数学、物理学、化学经常产出与“对称”相关的重大进展或发现),使之在人的智慧或思维水平的提高上产出显著效益,这值得中小学数学教师认真研究。
笔者曾经撰文强调,有三个重要的概念及相关的思想、方法是贯穿于数学科学的,是从小学一年级一直到上大学、读研究生、做科研都离不开的,这就是“对称、对应、比”。
这是三个相互之间有多层次联系的最重要的数学思想,三个在数学发展历程中不断发生交互作用的,你中有我、我中有你的数学方法,在他们身上体现出无可限量的力量,是应该在数学教学中经常渗透的,绝非可有可无。
同时,如果教师能够从小学算术中挖掘出对称、对应、比的思想方法,这无疑会提高小学数学的育人价值。
做到这一点并不难,只须教师对其有基本认识,知识上有一些储备;教学中不刻意增加课时和作业,却能发挥四两拨千斤之效。
这方面的教学行为可透射出教师对数学的认识以及专业能力。
小学阶段,算术在解释和运用对称意义上有许多便利性,植树问题、找规律、鸡兔同笼、数字谜、九宫格都是运用对称思想或方法的现成问题。
从教学角度研究数学定义不是“咬文嚼字”,而是从中提取思想和方法的营养或力量,能做到这一点除需要些数学功夫外,也需要教师对整个数学中的少数核心思想或方法有基本的、清晰的认识,当然,还要有深度的教学思考,这样才能从数学中挖掘出积极的思想和力量,惟如此才能教给学生活的知识、聪慧的知识,才能从数学宝库中提取真正的、高效的营养以哺育学生。
三、“对称”是一种变换
中小学数学教师应该如何认识对称呢?
下述说法是适当的:
对称不是数字,也不是形状,而是一种特殊的变换(transformation),一种移动物体的方式。
换言之,若一个物体在经过变换之后看起来与之前相同,那这个变换就是对称。
简言之,对称是个变换,这个变换的功能是“保持不变”。
如果忘了中学或大学所学,对“变换”一词的数学含义记不清了,没关系!
换成“操作”这个词也行,“变换”就是“操作”。
如果对“物体”这个词也感到困惑,认为有设限之俗,有悖“君子不器”,那干脆把“物体”这个词也省掉,于是就有了“对称”的一个简化版表述:
“对称就是操作后不变”。
问题又来了,谁是操作者?
这么问导致的麻烦是有可能列举不尽操作者,那还不如不问,多一事不如少一事是数学研究者的工作风格。
不提并不意味着不存在,反正数学家兼哲学家罗素(Bertand Russell)曾经说过:
数学可以界定为不知道在说什么,也不知道说得对不对的学科。
这个深不见底的名言透露出数学其实并不喜欢把什么都搞清楚说明白,数学是“难得糊涂”的典范,数学之如此反而给自己留下了巨大的话语空间。
这里,数学之聪明表现为:
既然不提这个事于大局无碍,那就不提为好。
待碰到具体问题需要搞清楚操作者是谁的时候,再说!
譬如看到有蜜蜂进出的窝是如图1所示的六角形对称结构,若问谁建的,谁是操作者,答案自然是蜜蜂,是它们构造了蜂巢(图1表达的是蜂巢六角形窝洞底部封口的结构)。
瑞士数学家克尼格曾经计算过,若要消耗最少的材料来制成最大的菱形容器,其六角形的钝角角度应该是109º26′,这比法国人马拉尔第测得的蜂巢六角形的钝角角度109º28′要少2分。
但之后苏格兰数学家马克劳林重新计算证实了:
蜜蜂是对的,克尼格的计算是错的。
蜂巢是精密的对称性建筑,精明的蜜蜂们为了用最少的材料来制成最大的菱形容器而自然选择了精准的角度,并做到了一分不差。
伟大的操作者——蜜蜂!
科学家发现,蜂巢的一头是正六边形,另一头被3个相同的菱形密封住。
17世纪,法国天文学家马拉尔第测出蜂巢菱形的纯角是109º28′,锐角是70º32′。
18世纪,瑞士数学家克尼格算出用最少的材料做出最大的菱形容器,钝角应为109º26′、锐角应为70º34′。
苏格兰著名数学家马克劳林(1698-1746)重新计算得到的结果是109º28′和70º31′44″。
克尼格之错缘于他用的数学用表印错了。
图1
守恒与永恒同义,是自然科学致力于揭示的自然规律。
据说公认的守恒律共有12个,力越强,其交互作用越受守恒律限制。
强相互作用力交互作用受所有12个守恒律的限制,电磁力交互作用受11个守恒律的限制,弱相互作用力交互作用受8个守恒律的限制。
引力受哪些守恒律的制约,至今还处在探索中。
这些守恒定律中,大家最熟悉的莫过于质量守恒定律和能量守恒定律。
爱因斯坦说“能量拥有质量,质量就是能量”,口说无凭,他还给出了这个说法的数学表达E=mc2。
人类与地球、太阳、银河系共处于时空中,受时空规律左右,而时空守恒定律揭示的是万物生成和运行的规律,不变或永恒是“对称”的本质,所以人们把守恒律也称为对称律。
如果一定要问时空对称的操作者是谁,人类拟就的答案有很多,甚至宗教信仰都有可能在其中发挥影响,于是,对时空的解释也存在远离规律或事实的可能。
前面提到小学生或者大多数人对“对称”的理解是基于特定形状的,是某些规则形状使然。
而变换意义下的对称说的是:
如果某物形状被旋转后没有发生形变,与原形状无异,则称旋转前后的两个形状是旋转对称。
仔细想想,这太令人吃惊了,“对称”竟是这样的普遍存在,一个东西挪个窝、转个圈,只要不因此有毫发之损之变,就相当于进行了一次对称变换。
这个网格半球体建筑可以表达多种含义的对称形状。
图2
例如图2,这个网格半球上的三角形们是全等的,可以看作是一个三角形在球面上运动的结果。
虽然这个网格球体不是严格意义上的球,但这岂不是说平面上凡具有全等性质的图形,或空间中凡具有全等关系的实体,本质上是一个图形、一个实体位移的结果?
是这样的!
全等意义下的图形只有一个,这是对称的意义之一。
这方面最典型的、也为学生最熟悉的对称形象是圆,圆是完美对称的典范,其数学表达也极其简单。
公元前580年,希腊哲学家阿那克西曼德(Anaximander)因所有形状中最对称的是圆形而给出了第一个宇宙模型,自此圆形统治天文学一直到1609年,这年开普勒证明了火星运行轨道是椭圆。
圆,无论怎样转动她,都不会变形,都看不出转与不转的区别。
但令人困惑的是,并非看着完全相同的事物,或者说是左右对称的事物,经过旋转和平移,他们就可以重合。
如图3,若为飞机机身画一个左机翼,再对称画一个右机翼,不难发现:
只要不脱离纸面无论怎样平移或旋转,左机翼都无法与右机翼重合,除非左右机翼翼型是经过平移或旋转能够重合的特殊形状,例如矩形、等腰三角形、等腰梯形等。
若不翻折,在平面上你无法使左机翼与右机翼重合。
这其中暗含着一个事实。
二维平面上无法办到的事,在三维空间中可以办到。
譬如使左右机翼重合
图3
于是镜像对称(亦称“反射对称”)概念就成为必要的了。
我们可以通过空间翻折(翻筋头)来达到左右重合,来说明左右机翼是镜像对称的。
有意思的是,人们比较认可镜像对称图形的对称性,而对于更具普遍性的平移对称现象,反而往往忽略其对称属性,例如图4所表达的平移对称。
典型的实例是工厂流水线末端的产成品,它们就是平移对称的。
批量生产产品的思想本质上是对称概念的实际应用。
另外,假如你试图用重合法来证明自己的左右手是对称的,不妨想想能否做到,若不能做到,能琢磨出一个解决方案来也是不错的!
图4
四、“对称”的基本要素
前面说到用数学方法描述对称系统有极大地便利性,那么,“对称”的要素有哪些呢?
数学工作者认为:
任何领域、任何学科的关于“对称”意义的表述必须具备变换(transformation)、结构(structure)、保持(
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