黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修11同步练习单元测评二A附答案873624.docx
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黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修11同步练习单元测评二A附答案873624
单元测评
(二)A
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的)
1.设F1,F2分别是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,若|PF1|=4,则|PF2|=( )
A.3B.4C.5D.6
2.定义点P到图形C上每一个点的距离的最小值为点P到图形C的距离,那么平面内到定圆C的距离与到定点A(A在圆C内且不与圆心C重合)的距离相等的点的轨迹是( )
A.直线B.圆
C.椭圆D.双曲线的一支
3.平面内有两定点A,B及动点P,设命题p:
||PA|-|PB||是常数,命题q:
点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,那么p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
A.B.4
C.3D.5
5.抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是( )
A.2B.2C.D.1
6.抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是( )
A.x=-B.x=
C.x=D.x=-
7.已知椭圆与双曲线-=1有共同的焦点,且离心率为,则椭圆的标准方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
8.已知双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同,如果直线y=-x是双曲线M的一条渐近线,那么双曲线M的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
9.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则+的值为( )
A.1B.2
C.3D.4
10.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,则满足△PF1F2的周长为6+2的动点P的轨迹方程为( )
A.+=1B.+=1(x≠0)
C.+=1D.+=1(x≠0)
11.设点P是椭圆+=1(a>b>0)与圆x2+y2=3b2的一个交点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
12.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||等于 ( )
A.B.6C.D.3
请将选择题答案填入下表:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
总分
答案
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.抛物线x2=4y上一点P到焦点的距离为3,则点P到y轴的距离为________.
14.设点P在椭圆x2+=1(m>0)上,点Q在直线y=x+4上,若|PQ|的最小值为,则m=________.
15.有一隧道,内设双行线公路,同方向有两个车道(共有四个车道),每个车道宽为3m,此隧道的截面由一个长方形和一个抛物线构成,如图C2A1所示,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.25m,靠近中轴线的车道为快车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车道的限制高度为________m.(精确到0.1m)
图C2A1
16.椭圆Γ:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程:
(1)长轴长等于20,离心率为;
(2)顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x.
18.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点M(4,-),点N(3,m).
(1)求双曲线的方程;
(2)求△F1NF2的面积.
19.(12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),椭圆上两点坐标分别为A(a,0),B(0,b),若△ABF2的面积为,∠BF2A=120°.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点O(O为坐标原点)作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于M,N两点,证明:
点O到直线MN的距离为定值.
20.(12分)如图C2A2,过点C(0,1)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆与x轴交于两点A(a,0),B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当直线l过椭圆的右焦点时,求线段CD的长;
(2)当点P异于点B时,求证:
·(O为坐标原点)为定值.
图C2A2
21.(12分)如图C2A3所示,已知直线l:
y=kx-2与抛物线C:
x2=-2py(p>0)交于A,B两点,线段AB的中点坐标为(-2,-6).
(1)求直线l和抛物线C的方程;
(2)求线段AB的长;
(3)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
图C2A3
22.(12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,左焦点为F(-1,0),过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)求k的取值范围.
(3)在y轴上,是否存在定点E,使·恒为定值?
若存在,求出E点的坐标和这个定值;若不存在,说明理由.
单元测评
(二)A
1.A [解析]∵P是椭圆+=1上一点,a=,F1,F2分别是椭圆的两个焦点,|PF1|=4,∴|PF2|=2×-|PF1|=7-4=3.
2.C [解析]如图,设动点为P,点A在圆内不与圆心C重合,连接CP并延长,交于圆上一点B,由题意知|PB|=|PA|,又|PB|+|PC|=R(R为圆C的半径),∴|PA|+|PC|=R,即P的轨迹为椭圆.
3.B [解析]若||PA|-|PB||为小于|AB|的常数,则动点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线;反之,若动点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,则||PA|-|PB||是常数.故选B.
4.A [解析]由题意知焦点在x轴上,且a2=4,c2=9,∴b2=c2-a2=9-4=5,
渐近线方程为y=±x,∴该双曲线的焦点到其渐近线的距离d==.
5.D [解析]抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),该点到直线x-y=0的距离d==1.
6.A [解析]根据抛物线的定义可得抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是x=-.
7.B [解析]∵椭圆与双曲线-=1有共同的焦点,∴椭圆的焦点为,即c=,又=,∴a=5,b=2,∴椭圆的标准方程为+=1.
8.D [解析]椭圆+=1的焦点坐标是,设双曲线M的方程为-=1(a>0,b>0),∵双曲线M的焦点与椭圆+=1的焦点相同,∴a2+b2=9①,∵y=-x是双曲线M的一条渐近线,∴=②,解①②组成的方程组,得a2=3,b2=6,∴双曲线M的方程为-=1.
9.D [解析]设|PF1|=r1,|PF2|=r2,r1>r2,椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,|F1F2|=2c,则由椭圆、双曲线的定义,得r1+r2=2a1,r1-r2=2a2,平方得4a=r+r+2r1r2,4a=r-2r1r2+r.在△F1PF2中,由余弦定理得4c2=r+r-r1r2,消去r1,r2,得a+3a=4c2,即+=4.故选D.
10.B [解析]∵双曲线的方程为-=1,∴a2=2,b2=3,可得c2=a2+b2=5,因此双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2.∵△PF1F2的周长为6+2,=2,∴+=6,∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆(上、下顶点除外).由椭圆的定义得,椭圆长轴长为6,长半轴长为3,∴该椭圆的短半轴长为2,∴点P的轨迹方程为+=1(x≠0).
11.D [解析]依据椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,又∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a,∵圆x2+y2=3b2的半径r=b,∴在三角形POF2(O为原点)中,由余弦定理可得
=(b)2+c2-2cbcos∠POF2,在三角形PF1O中,=(b)2+c2+2cbcos∠POF2,∴可得7a2=8c2,得e==.
12.D [解析]F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则F为△ABC的重心,∴A,B,C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍,即等于,∴||+||+||=++=3.
13.2 [解析]根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,根据抛物线定义,知yp+1=3,解得yp=2,代入抛物线方程求得xp=±2,∴点P到y轴的距离为2.
14.3 [解析]根据题意,椭圆x2+=1(m>0),与直线y=x+4平行且距离为的直线方程为y=x+2或y=x+6(舍去),则消去y,得(m+1)x2+4x+4-m=0,令Δ=16-4(m+1)(4-m)=0,解得m=3.
15.4.3 [解析]如图,以抛物线的对称轴为y轴,长方形的上边为x轴,建立平面直角坐标系,由已知可得,抛物线顶点的坐标为(0,6),与x轴的一个交点为(8,0),设抛物线的方程为y=ax2+6,把(8,0)代入解析式,得a=-,∴抛物线的方程为y=-x2+6,当x=6时,y=2.625,2.625+2-0.25=4.375,∴慢车道的限制高度为4.3m.
16.-1 [解析]在△MF1F2中,∠MF1F2=60°,所以∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°.又|F1F2|=2c,所以|MF1|=c,|MF2|=c.根据椭圆的定义,得2a=|MF1|+|MF2|=c+c,得e===-1.
17.解:
(1)依题意,所求曲线为椭圆,设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0).由已知,得解得a=10,b=8,c=6.所以所求椭圆的方程为+=1或+=1.
(2)所求曲线为双曲线,当焦点在x轴上时,设所求双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意,得解得a=3,b=,所以焦点在x轴上时,双曲线的方程为-=1.同理可求得焦点在y轴上时,双曲线的方程为-=1.
18.解:
(1)由离心率e==,解得a=b,设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),又双曲线过点M(4,-),∴16-10=λ,解得λ=6,∴双曲线方程为-=1.
(2)由点N(3,m)在双曲线上,得-=1,解得|m|=,又|F1F2|=2c=2=4,所以△F1NF2的面积S=×4×=6.
19.解:
(1)由题意,易知a=2c,b=c,SΔABF2=×(2c-c)×c=c2=,
∴c=1,a=2,b=,∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)证明:
设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线MN的斜率不存在时,MN⊥x轴,此时△MNO为等腰直角三角形,∴|y1|=|x1|,又+=1,解得|x1|==,即点O到直线MN的距离d=.
当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx+m,与椭圆+=1联立消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,∴x1+x2=-
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