《离散数学》学习指南.docx
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《离散数学》学习指南
学习指南
第1章集合论
1.重点掌握的核心知识点
(1)领会集合的概念,能判定元素与给定集合的关系;
(2)能正确地用列举法或描述法表示一个集合,会画文氏图;
(3)能利用“按定义证明法”证明两个集合间的真包含、包含和相等关系;
(4)能熟练地进行集合之间的并、交、差和补运算,掌握集合运算的定律;
(5)能熟练地计算集合A的幂集P(A)。
2.一般掌握的知识点
(1)集合的归纳法表示;
(2)集合的对称差运算。
3.了解的知识点
(1)集合的递归指定法表示;
(2)了解无限集的基本概念。
4.主要知识点汇集
(1)集合的定义、集合的正确表示、集合基数的正确计算、元素与集合的关系、集合与集合关系的判断;
(2)正确理解空集的绝对唯一性、全集的相对唯一性;牢记空集是一切集合的子集,任何集合都是它自身的子集;
(3)正确理解有限集与无限集的联系与区别;
(4)集合基本运算的定义和满足的相关运算定律,以及对应的文氏图表示,证明集合运算律的“按定义证明法”。
正确理解各种运算的定义和运算律是正确计算集合各种运算的关键;
5.习题类型
(1)基本概念题:
主要观测点在于集合的正确表示,对由描述法表示的集合,可以用列举法列举其中的元素;
(2)判断题:
主要观测点在于对给定的包含关系或者属于关系,判断它们是否正确?
对给定的运算等式,两边同时去掉相同的集合,或者两边同时添加相同的集合,判断等式是否仍然成立?
(3)计算题:
主要观测点在于集合的交、并、差运算的计算以及幂集的计算;
(4)证明题:
主要观测点在于两个集合是否相等的证明,两个集合之间包含关系的证明。
6.解题分析和方法
(1)集合的正确表示通常是将集合的一种表示方法转化为另一种表示方法,或者对自然语言描述的集合采用规范的描述法或者列举法将它表示出来。
因此在对集合进行正确的表示时,应清楚集合的各种表示方法;
(2)对给定的包含关系或者属于关系,判断它们是否正确的最直接的方法是根据定义判断;对给定的运算等式,两边同时去掉或者添加相同的集合,判断等式仍然成立的方法是按“定义证明法”直接证明;如果判断等式不成立,则采用举反例的方法;
(3)集合的基本运算是按照定义直接计算,幂集的计算按照0-元子集、1-元子集、2-元子集……的顺序计算;
(4)两个集合是否相等,是否具有包含关系的证明可根据集合相等和包含的定义,采用“按定义证明方法”证明。
例如,证明集合A等于集合B,即A=B,需要证明
和
同时成立。
为了证明
,需要证明对任意的
,都有
。
同样的方式证明
。
除此以外,还可以利用给定的运算定律证明集合相等。
第2章计数问题
1.重点掌握的核心知识点
(1)熟练运用乘法原理和加法原理;
(2)能够利用乘法原理和加法原理计算排列组合问题;
(3)熟练应用容斥原理计算有限集合交与并的计数问题。
2.一般掌握的知识点
(1)领会鸽笼原理的基本概念;
(2)能使用鸽笼原理解决简单的计数问题;
(3)理解递归关系的基本概念,会建立和计算简单的递归关系式。
3.了解的知识点
(1)离散概率的基本概念;
(2)离散概念的计算公式及相关性质。
4.主要知识点汇集
(1)乘法原理和加法原理的基本含义,注意乘法原理和加法原理的区别;
(2)r-排列,全排列,环形r排列,环排列,r-组合的基本概念,它们之间的联系与区别,相应的计算公式;
(3)容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用;
(4)实验、事件、样本空间、概率函数的基本概念,离散概率的计算;
(5)递归关系、初始条件的概念、递归关系的建立方法,递归关系的求解方法。
一个序列是由递归关系和初始条件共同确定的。
5.习题类型
(1)基本概念题的主要观测点在于离散概率的基本概念,能写出一个实验的事件、样本空间;
(2)计算题的主要观测点在于排列数与组合数的计算,离散概率的计算和递归关系的建立与求解;
(3)证明题的主要观测点在于对鸽笼原理的应用。
利用鸽笼原理证明给定计数问题的存在性。
正确使用鸽笼原理的关键在于鸽子和笼子的确定。
6.解题分析和方法
(1)对离散概率的基本概念,重点在于领会实验、事件和样本空间的基本含义,针对具体问题仔细分析;
(2)对给定的排列和组合问题,可以直接利用加法原理和乘法原理计算相应的排列数和组合数;也可以利用容斥原理、递归关系等计算相应的排列数和组合数。
在排列与组合数的计算中,通常会遇到要求一些对象必须排在一起这样的排列、组合问题,这时,通常首先将这些对象看成一个整体,作为一个对象参与排列或组合,然后对这个整体中的元素再进行排列或组合;
(3)对离散概率的计算。
首先计算样本空间S的基数,然后计算发生的某个事件的基数,最后利用离散概率计算公式得到答案;难点在于计算样本空间S的基数和发生的某个事件的基数;
(4)在分析递归关系的复杂实例时,最好首先引入一些描述例子的符号,仔细地选择合适的符号会有助于求解问题;通过举例分析后,试图发现当前问题与同一问题的小的示例间的关系;最后详细地写出所需计数的对象满足的条件,这种做法经常是有帮助的;
(5)对递归关系的求解,主要使用迭代法和举出初值,观察递归关系的观察法,以及结合中学的数列知识求解的方法;
(6)关于存在性问题的证明,鸽笼原理是有效的工具。
但有效使用鸽笼原理的难点在于鸽子与笼子的构造,注意在构造鸽子和笼子时,一定保证鸽子数比笼子数多。
第3章命题逻辑
1.重点掌握的核心知识点
(1)本章要求学生掌握并能熟练应用五种基本联结词(、、、、)来对复合命题进行翻译及判断真值;
(2)记住24个基本的等价公式和15个基本的蕴涵公式,并能熟练地应用到公式的转换中;
(3)熟练地掌握范式的真值表技术和公式的转换方法,能熟练的求一个公式所对应的主析取范式和主合取范式。
2.一般掌握的知识点
(1)公式的代入规则和替换规则。
3.了解的知识点
(1)对联结词的完备集的理解和学习。
4.主要知识点汇集
(1)命题的概念、表示、分类、五种基本联结词的定义与使用、命题的正确符号化;
(2)命题变元、命题公式的概念及公式的正确翻译;
(3)等价式及蕴涵式的概念、常用的等价式及蕴涵式、等价式和蕴涵式之间的关系。
重点在于等价式、蕴涵式的证明方式的理解与总结,掌握证明等价式和蕴涵式的不同方法(如推理叙述法、等价推导法、真值表方法、直接证明方法、间接证明方法、反例法等),掌握具体方法及使用场合。
难点在于要真正通过理解掌握基本等价式和基本蕴涵式,这是推理的基础;
(4)不同真值表的公式的个数、联结词的完备集的概念;
(5)文字、短语、子句、析取范式、合取范式、极小项、极大项、主析取范式、主合取范式的概念。
求范式、主范式的方法、公式类型与主范式之间的关系。
5.习题类型
(1)基本概念题:
主要观测点在于命题的符号化及符号命题的自然语言翻译,命题公式的概念及判断;
(2)判断题:
主要观测点在于包括给定的自然语言描述,哪些是命题?
哪些不是命题?
判断给定的公式是否为永真式?
或已知一些等价式,是否另一些等价式也是成立的?
(3)计算题:
主要观测点在于化简命题公式、求给定公式的析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式、将一种公式形式变换成包含另一些联结词的公式等;
(4)证明题:
主要观测点在于公式是否是永真(永假)式的证明、公式之间的等价关系的证明。
6.解题分析和方法
(1)命题符号化一般的处理过程是先分析自然语言描述的语义,然后用正确的语法加以表示;在构造命题公式时,应概念清楚,按命题公式的定义准确的书写命题公式;
(2)一个语句是否是一个命题的判断:
即能惟一判断其真假的陈述句。
命题有简单命题和复合命题之分,简单命题是不可再进一步分解的命题,不含联结词,而复合命题是可以进一步分解的命题,其中至少包含一个联结词;
(3)判断一个给定的公式是否是永真式,最直观有效的方法是依据永真式的定义,构造所给公式的真值表。
但可综合所学的知识在多种方法中选择其中一种:
真值表方法、公式等价转换方法、求范式的方法等;
(4)命题公式的化简可利用真值表技术、公式等价转换方法;
(5)关于求析取范式、合取范式,一般可采用公式推导的形式;而求公式的主范式可采用真值表方法、公式推导的形式、利用主析(合)取范式求主合(析)取范式的公式转换方法;
(6)关于证明一个公式是否是永真(假)公式,可采用真值表方法、公式的等价转换方法、求公式的主析取范式或主合取范式等方法;证明两个公式之间是否相等可以通过列举所给两个公式的真值表进行对比的方法、利用等价关系的公式推导方法、利用两个公式的主范式是否相同的方法、将两个公式用等价联结词联结构成的新公式并判断其永真性、证明两个公式之间相互蕴涵等多种方法。
第4章谓词逻辑
1.重点掌握的核心知识点
(1)本章要求学生能够熟练运用谓词逻辑的翻译原理对语句进行符号化,并判断谓词的真值。
(2)能正确地理解谓词公式的有效性,记住谓词公式的基本等价公式并能加以应用。
2.一般掌握的知识点
(1)能给出一个谓词公式的解释并能判断其真值
(2)基本理解量词辖域、约束变元、自由变元。
3.了解的知识点
(1)了解谓词公式的前束范式及SKOLEM范式。
4.主要知识点汇集
(1)谓词、量词、个体域和个体的概念;
(2)原子谓词公式的概念,谓词演算的合式公式的概念,谓词公式的翻译;
(3)自由变元、约束变元、辖域的概念,约束变元的改名规则和自由变元的代入规则;
(4)谓词公式分为3类:
逻辑有效式、矛盾式和可满足式;
(5)谓词演算的永真式、等价式的概念,常用的谓词演算的等价公式;
(6)前束范式的概念及求解方法,SKOLEM范式的概念及求解方法。
5.习题类型
(1)基本概念题:
主要观测点在于谓词公式的符号化及符号化形式的自然语言翻译、确定谓词公式中的自由变元和约束变元、量词的辖域等;
(2)判断题:
主要观测点在于判断给定谓词公式中的自由变元和约束变元,判断给定的谓词公式是否是有效的?
判断谓词公式中的哪些P(x)对变元y是自由的?
(3)计算题:
主要观测点在于给定确定的个体域和谓词公式,求该公式的真值,对给定的谓词公式中的约束变元进行换名或对自由变元进行代入,求给定公式中量词的辖域,求给定公式的前束范式、SKOLEM范式等;
(4)证明题:
主要观测点在于命题逻辑是谓词逻辑的特例,命题逻辑中的有关证明方法可用于谓词逻辑的证明,但不能完全照搬。
主要涉及证明一个谓词公式是有效公式、矛盾式,证明两个公式之间的等价关系。
6.解题分析与方法
(1)谓词公式的符号化问题式本章的重点,也是本章的难点,更是进行推理的基础,同一个命题在不同的个体域内可能有不同的符号化表示形式,当然也可能有不同的真值。
因而在对一个命题进行符号化之前,假定其个体域都是全总个体域,对具体问题的个体域,用一特性谓词来表示之;同时对每个完整的句子确定其对应的谓词,此时在符号化时,特别注意量词与联结词的搭配,一般地,如果前面是全称量词,则特性谓词作为蕴涵的条件加入,如果前面是存在量词,则特性谓词作为合取式之合取项加入;
(2)对于约束变元、自由变元和量词辖域的概念,直观上有明确的表现形式,在对约束变元进行改名和对自由变元进行代入时,要特别注意改名和代入规则的正确使用;
(3)对于谓词公式的有效性的判断有一定难度,一般总是利用所学知识及已掌握的等价式,先从整体上分析给定的谓词公式,若能断定是有效式则要给出严格的证明,否则举出一个反例来破坏其有效性,即对一个确定的个体域及一些具有明确含义的谓词,说明该公式在给定个体域上不是有效的,存在其真值为假的情况即可;
(4)给定确定的个体域和谓词公式,在求该公式的真值时,如果是有限个体域G={x0,x1,…,xn},则可采用如下展开式的方法:
(x)G(x)=G(x0)∧G(x1)∧......∧G(xn)
(x)G(x)=G(x0)∨G(x1)∨......∨G(xn)
(5)如果需要对约束变元进行改名时,一定要注意改名的变元名称范围是量词中的指导变元及量词辖域中该变元的所有出现,公式的其余部分不变,同时改名时一定要更改辖域中没有出现的变元名称,对于自由变元的代入时,对于公式中的自由变元出现的每一处都要做代入,而且用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相同;
(6)在求给定公式的前束范式时,首先利用有关等价式将谓词公式中的联结词→、
消去,其次反复利用双重否定律、德摩根定律及量词转换将约束变元换名或将自由变元代入,最后把量词提到整个公式的最前端,即得到相应的前束范式;
(7)在求SKOLEM范式时,首先将公式转化成前束范式,对该前束范式的量词,如果该量词是一个全称量词,则直接用一个变量符号x来取代xi在M中一切出现处,且该x不同于M中的任何其它变量符号,如果该量词是一个存在量词且其左边没有全称量词,则直接用一个常量符号a来取代xi在M中一切出现处,且该a不同于M中的任何其它常量符号;如果存在量词的左边有全称量词(xj),(xl),…,(xk),则直接用一个函数f(xj,xl,…,xk)来取代xi在M中一切出现处,该函数符号f不同于M中的任何其它函数符号;
(8)证明一个谓词公式是一个有效公式,一般不能采用真值表的方法,但可利用已知的谓词逻辑中的等价式,用等价取代的方法,将原公式简化为一个有效式的形式;
(9)证明两个公式之间是否是等价公式,完全同命题逻辑中的证明过程,即利用已知的一些等价关系,从所给的两个公式中的一个向另一个的表示形式进行推导,或从两个公式同时进行推导而得到一个相同的公式表示形式,从而证明了两个给定公式彼此等价的;
(10)证明两个公式之间是否等价,还可采取将要证明的等价式表示为公式G
H的形式,将证明等价关系的问题转化为证明该公式为有效公式,从而可利用证明有效式的方法来证明公式之间的等价性。
第5章推理与证明技术
1.重点掌握的核心知识点
(1)熟练掌握各种不同类型的规则和公理,特别是命题逻辑和谓词逻辑的推理规则和公理;
(2)熟练掌握不同证明方法的证明原理、不同的应用场景;
(3)真正理解谓词逻辑的精髓,将谓词逻辑的思想贯穿于所有的证明之中。
2.主要知识点汇集
(1)命题演算的推理方法——真值表法、直接证明方法(P规则、T规则、CP规则)、间接证明方法(反证法);
(2)谓词逻辑的推理理论——直接证明方法和间接证明方法,用于消去量词的全称特指规则和存在特指规则,用于添加量词的全称推广规则和存在推广规则及应用;
(3)数学归纳法——数学归纳法原理、强形式数学归纳法原理及应用;
(4)按定义证明方法的原理及应用。
3.习题类型
(1)命题公式之间的蕴涵关系的证明、综合证明题(给出命题的自然语言描述,要求先将命题进行符号化,然后证明结论的有效性);
(2)谓词逻辑之间的蕴涵关系的证明、综合证明题(给出命题的自然语言描述,要求先用谓词进行符号化,然后证明结论的有效性);
(3)一些适合于用数学归纳法证明的题目,通常情况下,该题目都涉及到一些数字,当这些数字很小时,结论很容易得到验证;
(4)一些适合于用按定义证明方法来证明的题目,通常情况下,当要证明的结论的定义描述是以“如果…则…”的方式描述的情况。
4.证明方法总结
(1)关于证明蕴涵式或结论有效性的方法主要有将前提G和结论H之间用蕴涵联结词联结构成的新公式,判断其是否为一个永真公式?
即考察假设G为真时,是否有H为真(或者假设H为假,是否G同时为假)也成立,若成立,则G蕴涵H,否则G不蕴涵H,这实际上是一种推理叙述法。
其实可利用真值表的方法、直接证明方法、带CP规则的直接证明方法、间接证明方法等都可以证明;
(2)真值表的方法:
列出公G和H的真值表,若针对G、H中变元的不同真值组合,每当G为真(或H为假)时,H也为真(或G也为假),则根据蕴涵式的定义知,原蕴涵式成立,否则就不成立;
(3)直接证明方法(构造证明法):
可以构造一个描述推理过程的命题公式的序列,其中每个命题公式或者为已知的前提,或者是由某些前提应用推理规则得到的结论,若是一个已知的前提,此时使用的是P规则;若是其中某些前提的结论或中间结论,此时使用的是T规则。
若要证明的结论是“P→Q”,的公式形式,则可将P作为假设前提,引入推理过程中,设法证明公式Q也会出现在推理公式的序列中,此时使用的是CP规则;
(4)间接证明方法:
此方法也是构造一个描述推理过程的命题公式序列,与上述方法不同的是先将要证明的结论的否定作为假设加入到前提集合当中,若能与原有的前提集合一起推出一个矛盾式来,则说明原结论是有效的,否则原结论是无效的;
(5)综合证明题:
给出命题的自然语言描述,要求先进行符号化,然后证明结论的有效性。
一般使用前面总结的解题技巧,即可完成证明;
(6)上面的证明方法对命题逻辑和谓词逻辑都同样有用,只是在使用构造证明方法论证结论的有效性时,谓词逻辑中新引入了4条规则,全称特指规则US、存在特指规则ES、全称推广规则UG、存在推广规则EG需要在证明时使用。
具体使用时一定要注意规则成立的条件,尤其时在前提集合中,当存在量词的公式和全称量词的公式作为前提同时出现时,应先考虑使用包含存在的前提条件,否则会产生错误,其他的注意事项在谓词推理的难点处可以找到;
(7)数学归纳法首先要验证问题归纳假设成立,再假设一般成立,最后证明结论成立;
(8)对于证明问题是按“如果…则…”来描述的问题,一般采用按定义证明方法,此时首先将证明问题的定义叙述出来,该证明问题可分为两部分,一部分是前提,一部分是结论,将定义中的前提加入到已知的条件中,作为一个附件条件,构成一组新的前提条件,由这组新的前提条件证明证明问题的结论。
第6章二元关系
1.重点掌握的核心知识点
(1)理解并记住从A到B的二元关系和A上的二元关系的定义;
(2)能正确使用集合表达式,关系矩阵,关系图表示给定的二元关系;
(3)掌握关系的各种运算,特别是复合运算和逆运算;
(4)牢记关系5个性质的定义,对给定A上的关系R,能用三种方式(集合、关系矩阵、关系图)判断关系R具备的性质,并能用按定义证明方法证明R是否具备某种性质。
2.一般掌握的知识点
(1)理解关系自反、对称和传递闭包的基本概念;
(2)会求一个关系的自反、对称、传递闭包。
3.了解的知识点
(1)n重有序组、n个集合的笛卡儿积的定义;
(2)两个n重有序组相等的判定方法。
4.主要知识点汇集
(1)序偶和笛卡儿积的概念;
(2)二元关系的概念和表示;
(3)关系是一种特殊的集合,除了能进行交、并、补和差运算外,还有其特殊的运算,即复合运算、逆运算及幂运算,其中复合运算是难点;
(4)五种关系性质的定义,关系图和关系矩阵的基本特征,以及关系性质的逻辑表示;对抽象关系性质的证明性定理和关系性质的保守性定理;
(5)关系的自反、对称、和传递闭包的概念及计算。
5.习题类型
(1)基本概念题的主要观测点在于关系性质的判定,关系性质的保守性;
(2)判断题的主要观测点在于关系性质的保守性,即判断对给定具有某种性质的两个关系,经过运算之后是否仍具有原来的性质;
(3)计算题的主要观测点在于关系的交、并、补、差、复合、求逆以及幂运算的计算,关系闭包的计算;
(4)证明题的主要观测点在于关系性质的证明,关系运算律的证明。
6.习题类型分析和方法
(1)判断具体关系的性质时,主要通过关系图和关系矩阵来判定。
通常关系的自反、反自反、对称、反对称利用关系图和关系矩阵来判定,而关系传递性通常使用逻辑表示来判定;抽象关系性质的判定通常根据定义直接证明,或者利用定理6.4.1证明;
(2)判断关系运算的保守性时,如果具有相应性质的保守性,则可根据对应性质的定义或者定理6.4.1加以证明;如果不具有对应性质的保守性,则需举出相关反例;
(3)关系的交、并、补、差、求逆以及幂运算的计算主要按照定义计算,复合运算除了根据定义计算外,还可以根据关系图和关系矩阵进行计算,关系闭包的计算主要以定理6.5.1为依据;
(4)关系性质的证明主要以定义为依据,采用“按定义证明方法”证明。
例如,证明R在集合A上是传递的方法为:
“任取a,b,c∈A,假设,∈R,……,∈R。
”
上面的“……”表示利用题目的已知条件和附加的已知条件、∈R得到的中间结果;
(5)与关系运算有关的证明通常是证明等式成立或者包含关系成立,因此,也可以根据集合相等和集合包含的定义采用“按定义证明方法”证明。
只是在假设关系中的元素时,需假设为序偶的形式。
第7章特殊关系
1.重点掌握的核心知识点
(1)识记等价关系,偏序关系,拟序关系这3种特殊关系的定义;
(2)能用按定义证明方法证明一个关系是等价关系,偏序关系;
(3)给定A上的等价关系R,会求其所有的等价类和商集A/R,或者求与R相对应的划分;反之给定集合A上的划分,会求对应于的等价关系;
(4)给定A上的偏序关系≤,画出偏序集的哈斯图,反之给定偏序集的哈斯图,会求的集合表达式;
(5)熟练确定偏序集的任意非空子集B的最大元,最小元,极大元,极小元,上界,下界,上确界,下确界。
2.一般掌握的知识点
(1)拟序关系、全序关系、良序关系的基本概念;
(2)拟序关系与偏序关系的联系;
(3)拟序关系、全序关系、良序关系之间的联系。
3.了解的知识点
(1)拟序关系、全序关系、良序关系的相关性质。
4.主要知识点汇集
(1)等价关系的概念、等价关系的证明、等价类、商集的定义与计算;
(2)集合划分的定义、求给定集合的划分;
(3)等价关系与集合划分的关系。
给定非空集合A上的一个等价关系,就可得到集合A的一个划分。
反过来,给定集合A的一个划分,就可求出对应的一个等价关系,记住由划分计算等价关系的公式;
(4)偏序关系、拟序关系、全序关系和良序关系的定义,它们之间的异同;
(5)偏序关系哈斯图的画法,哈斯图可以帮助正确寻找8个特殊元素;
(6)偏序关系八个特殊元-最大元、最小元、极大元、极小元、上界、下界、上确界和下确界等的定义和基本定理。
5.习题类型
(1)基本概念题的主要观测点在于寻找偏序关系的8个特殊元;
(2)判断题的主要观测点在于对给定的证明过程,指出其错误的地方;对给定的划分,判断是否为给定集合的划分;对给定的特殊关系R,将其做一定的变化后,判定其是否保持特殊性不变。
对给定的偏序关系,判定它是否为全序关系,良序关系?
(3)计算题的主要观测点在于对给定的等价关系,计算其等价类和商集;反过来若给定集合的划分,则计算对应的等价关系;
(4)证明题的主要观测点在于等价、偏序、全序、良序等关系的证明;
(5)画图题的主要观测点在于能正确画出给定等价关系的关系图、偏序关系的哈斯图。
6.解题分析和方法
(1)在寻找给定偏序关系的特殊元素时,首先要画出对应的哈斯图,根据哈斯图和特殊元素的定义找出特殊元素。
另外,还可以根据特殊元素之间的关系找出特殊元;
(2)在已给出的证明过程中找错误,判定特殊关系的是否成立等,通常应该从定义本身出发进行纠错和判定;
(3)给定非空集合A上的等价关系R,每一个A中的元素,将与之有关系的A中的元素写在一个集合中,就可以得到该元素生成的等价类;将所有不同的等价类构成一个集合就称为是A关于R的商集;
(4)对给定集合的划分,按照定理7.2.3直接计算;
(5)等价关系的证明需要证明自反性、对称性和传递性同时成立,而这三条性质
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