届百校联盟全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学第十模拟解析版.docx
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届百校联盟全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学第十模拟解析版
百校联盟2016年全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学(第十模拟)
一、选择题:
共12题
1.已知集合A={0,1,m},B={x|0 A.(0,1)B.(1,2)C.(0,1)∪(1,2)D.(0,2) 【答案】C 【解析】本题考查集合的交运算,考查考生对基础知识的掌握情况,根据集合中元素的互异性进行检验是解题的关键. 因为A={0,1,m},所以m≠0且m≠1,因为A∩B={1,m},B={x|0 2.若复数z=1-i(i是虚数单位),则复数z+在复平面内对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】D 【解析】本题考查复数的基本运算及复数的几何意义.解题的关键是求出复数在复平面内对应的点,然后确定其所在的象限. 由z=1-i得1-i+=1-i+-,故复数z+在复平面内对应的点(,-)在第四象限. 3.对于锐角α,若sin(α-)=,则cos(α-)= A.B.C.D. 【答案】A 【解析】本题考查同角三角函数之间的基本关系、两角差的余弦公式等知识,考查考生对基础知识的掌握情况. 由于α为锐角,且sin(α-)=,则cos(α-)=,cos(α-)=cos[(α-)-]=cos(α-)cos+sin(α-)sin. 4.甲、乙两名同学做游戏,他们都从1~5中任写一个数,若两数之和小于6,则甲赢;若大于6,则乙赢;若等于6,则和局.那么甲不输的概率为 A.B.C.D. 【答案】A 【解析】本题考查古典概型的概率计算,考查考生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力. 用(甲,乙)分别表示甲、乙所写之数,则他们都从1~5中任写一个数所构成的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个,记“甲不输”为事件A,则A表示“两数之和小于或等于6”,其包含的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1),共15个,故P(A)=. 5.若实数x,y满足,则z=4x+y的最大值为 A.6B.8C.10D.12 【答案】D 【解析】本题考查线性规划的知识,考查由约束条件画可行域的基本操作步骤.解题时,先作出可行域,再利用目标函数的意义求解. 作出可行域如图中阴影部分所示,由z=4x+y得y=-4x+z,表示斜率为-4的一族平行直线,z是直线的纵截距.显然,当直线y=-4x+z过点A时,z取得最大值.由⇒,所以当x=2,y=4时,z取得最大值,且最大值为4×2+4=12. 6.若双曲线x2-=1(b>0)的一条渐近线与圆x2+(y-)2=1至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是 A.(1,)B.(1,]C.(1,2)D.(1,2] 【答案】B 【解析】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求解,考查考生对基础知识的掌握情况.解题时要注意圆、双曲线的性质的运用. 圆x2+=1的圆心为(0,),半径r=1,因为双曲线x2-=1(b>0)的一条渐近线与圆x2+(y-)2=1至多有一个交点,不妨设渐近线方程为y=bx,所以圆心(0,)到渐近线y=bx的距离d=≥1,即b2≤2.所以e2=1+b2≤3,因为e>1,所以1 7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 A.[8k+1,8k+5](k∈Z)B.[8k-1,8k+5](k∈Z) C.[8k-5,8k+1](k∈Z)D.[8k+3,8k+5](k∈Z) 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生借助图象处理数学问题的基本能力.解题时,先根据图象求出函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性求解. 由图象可知A=2,T=2×(7-3)=8,又由=8得ω=,所以f(x)=2sin(+φ),又0<φ<π,结合f(3)=0,即2sin(+φ)=0,得φ=,故f(x)=2sin(+),由+2kπ≤+≤+2kπ(k∈Z)⇒8k+1≤x≤8k+5(k∈Z).故函数f(x)的单调递减区间为[8k+1,8k+5](k∈Z). 8.已知某工厂产值的程序框图如图所示,其中a=200表示2004年的产值,r=0.05表示以后各年的平均增长率,则输出的值是(注: lg1.75≈0.2430,lg1.05≈0.0212) A.2014B.2015C.2016D.2017 【答案】C 【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查考生的运算求解能力及对循环结构的理解与运用. 本题的程序框图实现的功能是当累积产值大于3000时,输出最小的年份值.于是,由200+200(1+0.05)+…+200(1+0.05)n-1>3000,即>3000⇒1.05n>1.75⇒n>≈11.46,此时,取n=12,那么输出的值是2016. 9.若数列{an}中a1=1,且a1,a3,…,a2n-1是递增数列,a2,a4,…,a2n是递减数列,a1>a2,|an+1-an|=2n,则数列{an}的前6项和S6= A.-11B.-12C.-13D.-14 【答案】B 【解析】本题主要考查数列的有关概念及运算,考查考生对等比数列基本公式的理解与运用.解题时,首先利用累加法求出通项公式,再利用求和公式求出前n项和,最后代入求解. 由于a3>a1,又a1>a2⇒a3>a2⇒a3-a2=22,类似地,有a4-a3=-23,a5-a4=24,……,an-an-1=(-2)n-1,又a1>a2,则a2-a1=-2,那么an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=,从而Sn=++…+-+,故S6=2-14=-12. 10.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线AB交抛物线于点A,B,交抛物线的准线于点C,若,则|AB|= A.4B.5C.6D.7 【答案】B 【解析】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等,考查考生的数形结合思想和运算求解能力. 设直线AB的倾斜角为α,A(x1,y1),B(x2,y2),过点B作准线的垂线,垂足为D,则|BD|=|BF|,那么cosα=⇒tanα=2,于是直线AB的方程为y=2(x-1),由⇒x2-3x+1=0⇒x1+x2=3,故|AB|=x1+x2+2=5. 11.已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心与正四面体一边的一个截面如图所示,且图中三角形(正四面体的截面)的面积为,则该球的体积是 A.πB.2πC.2πD.2π 【答案】A 【解析】本题主要考查正四面体的概念、性质及球的相关知识,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.解题时,利用正四面体的高求出球的半径是解题的关键. 如图,由正四面体的特点及性质可知,四面体的截面即为等腰三角形ABE,其中E为CD的中点.设正四面体的边长为a,则AE=BE=,△ABE的面积为×a×,故a=2,于是正四面体ABCD的高h=,设球O的半径为R,则(-R)2+()2=R2,得R=,从而球O的体积V=π()3=π. 12.已知函数f(x)=(ex+1)(ax+3a-1),若存在x∈(0,+∞),使得不等式f(x)-1<0成立,则实数a的取值范围为 A.(-∞,)B.(0,)C.(-∞,)D.(0,) 【答案】C 【解析】本题主要考查函数的单调性、不等式成立等知识,考查考生借助导数处理数学问题的基本能力及数形结合思想.解题时,首先对a分情况讨论,然后通过函数的单调性求解. 由f(x)-1<0⇒(ex+1)(ax+3a-1)<1⇒ax+3a-1<.①若a≤0,当x∈(0,+∞)时,ax+3a-1<0,而ex+1>0,此时结论成立.②若a>0,设h(x)=,则h'(x)=<0,所以h(x)在(0,+∞)上是减函数,则0 二、填空题: 共4题 13.若f(x+1)+1为奇函数,则f(-2)+f(4)= . 【答案】-2 【解析】本题考查奇函数的定义与性质,考查考生对基础知识的掌握情况. 由f(-x+1)+1=-[f(x+1)+1]⇒f(x+1)+f(-x+1)=-2,令x=3,得f(-2)+f(4)=-2. 14.如图,四边形ABCD为矩形,且AB=2,AD=1,点E,F分别在边CD,BC上,若·=6,则·= . 【答案】1 【解析】本题考查平面向量的基本运算,考查考生的运算求解能力.解题时,可以直接运用向量的运算法则求解,也可以建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算求解. 通解 因为·=6,·=0,所以·=(-)·(-)=6-·-·=6--=1. 优解 以A为原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),设E(x,1),F(2,y),则=(x,1),=(2,y),由·=6得2x+y=6,=(x-2,1),=(2,y-1),则·=2(x-2)+y-1=2x+y-5=1. 15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 . 【答案】3+12 【解析】根据几何体的三视图,画出该几何体的直观图,可知该几何体是将一个棱长为2的正方体沿着如图所示的截面ABCDEF截去之后剩下的几何体.根据三视图,可知该几何体的表面积为3×[+2×1]+3×+6××()2=3+12. 16.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC=4csinA,b=4,若△ABC的面积S=10,则a的值为 . 【答案】 【解析】本题考查正弦定理、同角三角函数之间的关系、三角形的面积公式等知识,考查考生的运算求解能力. 由3acosC=4csinA得,即⇒tanC=,又S=10,故bcsinA=10⇒csinA=5,由tanC=⇒cosC=,那么3acosC=4csinA=20,从而a=. 三、解答题: 共8题 17.设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为55,且a2,,a4-9成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 【答案】 (1)设等差数列{an}的公差为d, 则⇒或(舍去), 故数列{an}的通项公式为an=7+2(n-1),即an=2n+5. (2)由 (1)得bn=(-). 故Sn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=. 【解析】本题考查等差数列与等比数列的基本性质及裂项相消法求和. (1)利用等差数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质即可求解; (2)利用 (1)的结论及裂项相消法求和. 【备注】新课标全国卷Ⅱ对数列的考查比较基础,常规情况下以考查等差数列与等比数列的基础知识或能转化为等差、等比数列的递推关系式为主,往往侧重于基本的求和方法,如分组求和、裂项相消法求和、错位相减法求和等,因此遇到求和问题时,要有意识地往这三种方法去思考. 18.在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2. (1)求证: CE∥平面PAB; (2)若F为PC的中点,求三棱锥F-AEC的体积. 【答案】 (1)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°, ∴BC=,AC=2. 取AD的中点M,连接EM,CM, 则EM∥PA. ∵EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB, ∴EM∥平面PAB. 在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=2, ∴AD=4,AM=2=AC, ∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB. ∵MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴MC∥平面PAB. ∵EM∩MC=M,∴平面EMC∥平面PAB. ∵CE⊂平面EMC,∴CE∥平面PAB. (2)∵PA=AC=2,F为PC的中点,∴AF⊥PC. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 又EF∥CD,∴EF⊥平面PAC,即EF为三棱锥E-AFC的高. ∵CD=2,∴EF=,从而VE-AFC=AC×PA×EF=×2×2×. ∵VE-AFC=VF-AEC,∴VF-AEC=. 【解析】本题考查线面平行的证明及三棱锥体积的计算,考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. (1)利用面面平行的性质即可证明; (2)利用等体积转换法求解. 19.已知某班n名同学的数学测试成绩(单位: 分,满分100分)的频率分布直方图如图所示,其中a,b,c成等差数列,且成绩在[90,100]内的有6人. (1)求n的值; (2)规定60分以下为不及格,若不及格的人中女生有4人,而及格的人中,男生比女生少4人,借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”? 附: K2= 【答案】 (1)依题意得⇒b=0.01, 因为成绩在[90,100]内的有6人,所以n==60. (2)由于2b=a+c,而b=0.01,可得a+c=0.02, 则不及格的人数为0.02×10×60=12,及格的人数为60-12=48, 于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下: 结合列联表计算可得K2=≈1.6667<2.706, 故没有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”. 【解析】本题考查频率分布直方图及独立性检验的有关知识,考查考生的运算求解能力. (1)利用频率分布直方图的知识求解; (2)先列出2×2列联表,再利用独立性检验的有关知识进行分析. 【备注】通过各种图表,如数据统计表、频数分布表、频率分布直方图、即兴设计的其他数表等给出数据,借助这些数据设计的古典概型、线性回归及独立性检验等问题在高考中最为常见,求解此类题的关键在于充分认识图表与合理利用图表. 20.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别是B1,B2,C是B1F2的中点,若·=2,且⊥. (1)求椭圆的方程; (2)点Q是椭圆上任意一点,A1,A2分别是椭圆的左、右顶点,直线QA1,QA2与直线x=分别交于E,F两点,试证: 以EF为直径的圆与x轴交于定点,并求该定点的坐标. 【答案】 (1)设F1(-c,0),F2(c,0),B1(0,b),则C(,). 由题意得⇒⇒⇒, 从而a2=4, 故所求椭圆的方程为+=1. (2)由 (1)得A1(-2,0),A2(2,0), 设Q(x0,y0),易知x0≠±2,则直线QA1的方程为y=(x+2),与直线x=的交点E的坐标为(,(+2)), 直线QA2的方程为y=(x-2),与直线x=的交点F的坐标为(,(-2)), 设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0),m≠,则HE⊥HF,从而kHE·kHF=-1,即·=-1⇒=-(-m)2 ①, 由+=1得 ②. 所以由①②得m=±1, 故以EF为直径的圆与x轴交于定点,且该定点的坐标为(+1,0)或(-1,0). 【解析】本题考查椭圆方程的求解及椭圆的性质,考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.第 (1)问结合向量的基本运算及椭圆中基本量之间的关系求出基本量的值,即可得椭圆的方程;第 (2)问将问题转化为两条直线的斜率之积为-1进行求解. 【备注】与圆锥曲线有关的定值、定点问题是解析几何中的一类常见问题,它多与圆锥曲线的性质相结合,是高考试题中一道亮丽的风景线,如考查圆锥曲线过定点、证明直线的斜率为定值等. 21.设函数f(x)=x3-(a-1)x2-2bx+1,其中a∈R. (1)若f(x)的单调递减区间为(-1,2),求f(x)在区间[-3,3]上的最大值与最小值; (2)若对任意的实数a<1,函数f(x)都有两个极值点x1,x2(x1≠x2),则是否存在b使得+-x1·x2=成立? 若存在,求出b的值或取值范围;若不存在,请说明理由. 【答案】f'(x)=3x2-2(a-1)x-2b. (1)由题意知f'(x)<0的解集为(-1,2),即不等式3x2-2(a-1)x-2b<0的解集为(-1,2),于是方程3x2-2(a-1)x-2b=0的两根分别为-1,2, 由⇒,此时f(x)=x3-x2-6x+1, 由f'(x)=3x2-3x-6=3(x+1)(x-2), 易得当x∈[-3,-1)时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x∈(-1,2)时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x∈(2,3]时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增. 于是,f(x)max=max{f(-1),f(3)}=max{,-}=, f(x)min=min{f(-3),f (2)}=min{-,-9}=-, 故f(x)在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为与- . (2)对任意的实数a<1,函数f(x)都有两个极值点x1,x2,所以对任意的实数a<1,方程f'(x)=0有两个不等的实数根x1,x2,即方程3x2-2(a-1)x-2b=0有两个不等的实数根x1,x2,于是[2(a-1)]2-4×3×(-2b)>0对任意的a<1恒成立,即6b>-(a-1)2对任意的a<1恒成立,从而b≥0 ①. 若存在b使得+-x1·x2=成立,则存在b使得(x1+x2)·[-3x1·x2]=1成立, 由于, 故(x1+x2)[-3x1·x2]=[-3×(-)]=1, 得b=-, 设φ(a)=, 则φ'(a)=-, 令φ'(a)=0,即-=0⇒a=1-,
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