平行四边形的性质与判定培优资料全.docx
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平行四边形的性质与判定培优资料全
平行四边形的性质与判定
(一)
知识清单
1. 平行四边形的性质:
对
边:
;
对
角:
;
对角
线:
.
2. 平行四边形的判定
对
边:
;
对
角:
;
对角
线:
.
3.三角形中位线的定理:
三角形的中位线三角形的第三边,且等于第三
边的.
4.直角三角形斜边上的中线性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边
的.
分类探究
一、平行四边形中的比例关系
1. 在 YABCD 中, AB :
BC = 5 :
4 ,周长=18 cm ,则 AB =.
2.在 YABCD 中,已知 ∠∠:
B = 5 :
3, 求这个平行四边形各内角的
大小.
A
D
F
3.如图,YABCD 中,AD :
AB = 5 :
4 ,过点 A 作 AE ⊥ BC, AF ⊥ CD,
BE
C
垂足分别为 E、F,AE=4cm,求 AF 的长.
二、方程思想在平行四边形中运用
4. 已知 YABCD 的周长为 40 cm ,对角线交于 O 点,VBOC 的周长比 VAOB 周长
长 8 cm ,求 AB 和 BC 的长.
5. 在 YABCD 中, ∠A 比 ∠B 的 2 倍少 30︒ ,求这个平行四边形各角的度数.
6. 在 YABCD 中, AB ⊥ AC, ∠B = 45︒, BC = 2 2 ,求这个平行
四边形的周长.
B
A D
C
7. 如图,已知 YABCD 的周长是 36 cm ,由钝角顶点 D 向 AB、BC 作垂线,垂
足分别是 E、F,已知 DE = 4 3cm , DF = 5 3cm ,求这个平行四边形的面积.
三、平行四边形中的等腰三角形
8.如图,在平行四边形 ABCD 中,∠ABC 的平分线交 AD
B
A E D
C
于点 E,∠C=110︒ ,BC=4cm,CD=3cm,则∠AEB=,DE=.
9.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,P 是 CD 上一点,
D
P C
且 AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA.
A
B
(1)求∠APB 的度数;
(2)如果 AD=5cm,AP=8cm,求△APB 的周长.
10.已知:
AD 为△ABC 的角平分线,DE∥AB ,在 AB 上截取
BF=AE.
求证:
EF=BD.
A
F E
B D C
四、平行四边形的判定
11.在△ABC 中,D、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点。
求证:
∠FDE=∠A。
A
F E
B
D C
E
A D
12.已知:
如图,在YABCD 中,延长 DA 到点 E,延长 BC 到点
F,使得 AE=CF,连接 EF,分别交 AB、CD 于点 M、N,连接
M
N
B C F
DM,BN.
求证:
(1)△AEM△CFN;
(2)四边形 BMDN 是平行四边形.
13.如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 两点在对角线 BD
上,且 BE=DF,连接 AE,EC,CF,FA.
求证:
四边形 AECF 是平行四边形.
A D
F
E
B C
14.如图,在△ABC 中,D 是 AB 的中点,E 是 CD 的中点,过点 C 作 CF//AB
交 AE 的延长线于点 F,连接 BF.
(1) 求证:
DB=CF;
(2) 如果 AC=BC,试判断四边形 BDCF 的形状,并证明
你的结论.A
C
E
D
F
B
五、平行四边形中的常见辅助线
A
D
15. 如图, E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC
E
F
上的点,CE = AF ,请你猜想:
线段 BE 与线段 DF 有 B
怎样的关系?
并对你的猜想加以证明.
C
16. 已知:
VABC中,AB / / EF / /GH , BE = GC,
求证:
AB = EF + GH .
A
F
H
B E G C
17.如图 18-2-16,BD,CE 是△ABC 的高,G、F
分别是 BC、DE 的中点,
求证:
FG⊥DE.
18.在△ABC 中,AB=AC,点 P 为△ABC 所在平面内的一点,过点 P 分别作
PE∥AC 交 AB 于点
E,PF∥AB 交 BC 于
点 D,交 AC 于点 F.
(1)如图 1,若点 P
在 BC 边上,∥此时
PD=0,猜想并写出 PD、PE、PF 与 AB 满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)如图 2,当点 P 在△ABC 内,猜想并写出 PD、PE、PF 与 AB 满足的数
量关系,然后证明你的猜想;
(3)如图 3,当点 P 在△ABC 外,猜想并写出 PD、PE、PF 与 AB 满足的数
量关系.(不用说明理由)
平行四边形的性质与判定练习
1、平行四边形的两邻边分别为 3、4,那么其对角线必()
A.大于 1B.小于 7C.大于 1 且小于 7D.小于 7 或大于 1
2、如图,□ABCD 中,EF 过对角线的交点 O,AB=4,AD=3,OF=1.3,则
四边形 BCEF 的周长为()
A.8.3B.9.6 C.12.6D.13.6
DCA
E
ABBE
第 2 题图第 3 题图
第 4 题图
ABCD=__________.
3、如图所示,已知四边形 ABCD,R,P 分别是 DC,BC 上的点,E,F 分别
是 AP,RP 的中点,当点 P 在 BC 上从点 B 向点 C 移动而点 R 不动时, 那
么下列结论成立的是()
A.线段 EF 的长逐渐增大B.线段 EF 的长逐渐减少
C.线段 EF 的长不变D.线段 EF 的长不能确定
4 、 如 图 在 □ ABCD 中 , DB=DC , ∠ A=65 ° , CE ⊥ BD 于 E , 则 ∠
BCE=.
ABCD 的周长是 30,AC、BD 相交于点 O,△OAB 的周长比△OBC 的
周长大 3,则 AB=。
6、如果平行四边形的一条边长是 8,一条对角线长为 6,那么它的另一条对角
线长 m 的取值范围是________.
7、□ ABCD 的对角线交于点 O,=2cm2,则
AOB
8、如图,△ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边 AB 上的高,AD=9,BD=4,那
么 CD=____AC=____
9、已知:
如图,□ ABCD 中, E 、 F 分别是 AB 、CD 上的点, AECF ,M 、
N 分别是 DE 、 BF 的中点。
求证:
四边形 ENFM 是平行四边形。
D
F
C
M
N
A
E
B
10、在平行四边形 ABCD 中,点 E、F 为对角线 AC 上的三等分点,求证:
四
边形 BFDE 是平行四边形.
11、已知:
如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点 P
自点 A 向 D 以 1cm/s 的速度运动,到 D 点即停止.点 Q 自点 C 向 B 以
2cm/s 的速度运动,到 B 点即停止,直线 PQ 截梯形为两个四边形.问当
P,Q 同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?
12、已知任意四边形 ABCD,且线段 AB、BC、CD、DA、AC、BD 的中点分
别是 E、F、G、H、P、Q。
(1)若四边形 ABCD 如图 2-1,判断下列结论是否正确(正确的在括号里
填“√”,错误的在括号里填“×”)。
甲:
顺次连接 EF、FG、GH、HE 一定得到平行四边形;()
乙:
顺次连接 EQ、QG、GP、PE 一定得到平行四边形。
()
(2)请选择甲、乙中的一个,证明你对它的判断。
(3)若四边形 ABCD 如图 2-2,请你判断
(1)中的两个结论是否成立?
13.在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形 ABCD 分割成
四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等;
(1)根据小强的分割方法,你
认为把平行四边形分割成满足以
上全等关系的直线有
_________组;
(2)请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线;
(3)由上述实验操作过程,你发现所画的两条直线有什么规律?
14.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠BCD=Rt∠,AB=AD=10cm,
BC=8cm.点 P 从点 A 出发,以每秒 3cm 的速度沿折线 ABCD 方向运动,点
Q 从点 D 出发,以每秒 2cm 的速度沿线段 DC 方向向点 C 运动.已知动点 P、
Q 同时发,当点 Q 运动到点 C 时,P、Q 运动停止,设运动时间为 t.
(1)求 CD 的长;
(2)当四边形 PBQD 为平行四边形时,求四边形 PBQD 的周长;
(3)在点 P、点 Q 的运动过程中,是否存在某一时刻,使得△BPQ 的面积为
20cm2?
若存在,请求出所有满足条件的 t 的值;若不存在,请说明理由.
15.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 O(0,0)、A(2,0)、B(1,
1),则第四个顶点 C 的坐标是多少?
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