高中数学必修4知识点总结.docx
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高中数学必修4知识点总结
高中数学必修4知识点总结
第一章:
三角函数
§1.1.1、任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念.
2、与角终边相同的角的集合:
2k,kZ.
§1.1.2、弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、
l
r
.
3、弧长公式:
lnRR
180
.
2
nR1
4、扇形面积公式:
lR
S
3602
.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点Px,y,那么:
siny,cosx,tan
y
x
2、设点Ax,y为角终边上任意一点,那么:
(设
22
rxy)
sin
y
r
,cos
x
r
,tan
y
x
,cot
x
y
y
T
P
3、sin,cos,tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线:
MP;余弦线:
OM;正切线:
AT
O
MA
x
4、特殊角0°,30°,45°,60°,
90°,180°,270等的三角函数值.
0
42
63
2
3
3
4
3
2
2
sin
cos
tan
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
22.1、平方关系:
sincos1
2、商数关系:
sin
tan.
cos
3、倒数关系:
tancot1
§1.3、三角函数的诱导公式
(概括为“奇变偶不变,符号看象限”kZ)
-1-
sin2ksin,
1、诱导公式一:
cos2kcos,(其中:
kZ)
tan2ktan.
sinsin,
2、诱导公式二:
coscos,
tantan.
sinsin,
coscos,3、诱导公式三:
tantan.
sinsin,
4、诱导公式四:
coscos,
tantan.
sincos,
2
5、诱导公式五:
cossin.
2
sincos,
2
6、诱导公式六:
cossin.
2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象:
y
y=sinx
37
-5
-
1
2
22
2
-4-3-2-o234
-75
-3
-1
222
2
y
y=cosx
x
-4
-7
2
-3
-5
2
37
1
-
3
-2
22
-24
o
25
-3
-1
22
2
x
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:
定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期性.
3、会用五点法作图.
ysinx在x[0,2]上的五个关键点为:
3
(0,0)(,,1)(,,0)(,,-1)(,2,0).
22
§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象:
-2-
y
y=tanx
3
-
2
--
2
o
2
3
2
x
2、记住余切函数的图象:
y
y=cotx
--
2
o
2
3
2
2
x
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:
定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义:
对于函数fx,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
fxTfx,那么函数fx就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
-2-
图表归纳:
正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
ysinycosxytanx
x
图象
定义域RR,}
{x|xkkZ
2
值域[-1,1][-1,1]R
最值
x2k,kZy1
时,
max
2
x2k,kZ时,y1
min
2
x2k,kZy1
时,
max
x2k,kZ时,y1
min
无
周期性T2T2T
奇偶性奇偶奇
单调性
kZ
在[2k,2k]上单调递增
22
在[2,23]
kk上单调递减
22
在[2k,2k]上单调递增
在[2k,2k]上单调递减
在(k,k)上单调递
22
增
对称性
kZ
对称轴方程:
xk
对称中心(k,0)
2
对称轴方程:
xk
对称中心(,0)
k
2
无对称轴
k
对称中心(,0)
2
§1.5、函数yAsinx的图象
1、对于函数:
yAsinxBA0,0有:
振幅A,周期
2
1
T,初相,相位x,频率2
f.
T
2、能够讲出函数ysinx的图象与
yAsinxB的图象之间的平移伸缩变换关系.
①先平移后伸缩:
yx平移||个单位ysinx
sin
(左加右减)
横坐标不变yAsinx
纵坐标变为原来的A倍
2
纵坐标不变yAsinx
横坐标变为原来的
1
||倍
平移|B|个单位yAsinxB
(上加下减)
②先伸缩后平移:
yx横坐标不变yAsinx
sin
纵坐标变为原来的A倍
纵坐标不变yAsinx
横坐标变为原来的
1
||倍
平移个单位yAsinx
(左加右减)
平移|B|个单位yAsinxB
(上加下减)
3、三角函数的周期,对称轴和对称中心
函数ysin(x),x∈R及函数ycos(x),x∈R(A,,为常数,且A≠0)的周期
2
T;
||
函数ytan(x),,
xkkZ(A,ω,为常数,且A≠0)的周期
2
T.
||
对于yAsin(x)和yAcos(x)来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.
求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心,只需令()
xkkZ与
2xk(kZ)
解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
yy
利用图像特征:
maxmin
A,
2
yy
maxmin
B.
2
要根据周期来求,要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值:
sincostan
6
124
2
623
2
4
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3
1、sinsincoscossin
2、sinsincoscossin
3、coscoscossinsin
4、coscoscossinsin
5、tantan
tan.
1tantan
6、
tantan
tan.
1tantan
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、sin22sincos,
变形:
1
sincossin2.
2
2、
cos2
2sin
cos
2
2cos1
2
12sin.
2
变形如下:
2
1cos22cos升幂公式:
2
1cos22sin
降幂公式:
1
2
cos(1cos2)
2
1
2
sin(1cos2)
2
3、
2tan
tan2.
2
1tan
4、
tan
sin21cos2
1cos2sin2
§3.2、简单的三角恒等变换
1、注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
yasinxbcosxa
2b2x
sin(
)
(其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan
第二章:
平面向量
b
a
).
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量:
力、位移、速度、加速度.
2、既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:
起点、方向、长度.
2、向量AB的大小,也就是向量AB的长度(或称模),记作AB;长度为零的向量叫做零向量;长度
4
等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:
零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、ab≤ab.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.
2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、规定:
实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作:
a,它的长度和方向规定
如下:
⑴aa,
⑵当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反.
2、平面向量共线定理:
向量aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量a,
有且只有一对实数
1,,使a1e12e2.
2
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、axiyjx,y.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、设
ax1,y,bx,y,则:
122
5
⑴
abx1x,yy,
212
⑵
abx1x,yy,
212
⑶ax1,y1,
⑷
a//bxyxy.
1221
2、设
Ax1,y,Bx,y,则:
122
ABx2x,yy.
121
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,则
⑴线段AB中点坐标为
xx
12,
2
y
1
2
y
2
,
⑵△ABC的重心坐标为
xxx
123,
3
y
1
y
2
3
y
3
.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、ababcos.
2、a在b方向上的投影为:
acos.
3、
22
aa.
4、
2
aa.
5、abab0.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、设
ax1,y,bx,y,则:
122
⑴
ab
x1xyy
212
⑵
a
22
x1y
1
⑶
abab0xxyy0
1212
⑷
a//babxyxy0
1221
2、设Ax1,y1,Bx2,y2,则:
22
ABx2xyy.
121
3、两向量的夹角公式
6
cos
ab
xxyy
1212
2222
abxyxy
1122
4、点的平移公式
平移前的点为P(x,y)(原坐标),平移后的对应点为P(x,y)(新坐标),平移向量为PP(h,k),
则
xxh
yyk.
函数yf(x)的图像按向量a(h,k)平移后的图像的解析式为ykf(xh).
7
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