拔高讲义第一章集合与常用逻辑用语之第1讲集合及其运算教师用.docx
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拔高讲义第一章集合与常用逻辑用语之第1讲集合及其运算教师用
第1讲 集合及其运算
最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种:
属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示).
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
A⫋B
空集
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形表示
意义
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:
A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
(2)交集的性质:
A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
(3)补集的性质:
A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
精彩PPT展示
(1)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},C={y|y=x2},则A=B=C.(×)
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×)
(3)已知集合A={x|mx=1},B={1,2},且A⊆B,则实数m=1或m=.(×)
(4)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.(√)
2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
解析 由已知得A={2,5,8,11,14,17,…},又B={6,8,10,12,14},所以A∩B={8,14}.故选D.
答案 D
3.(2015·浙江卷)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q=( )
A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]
解析 ∵P={x|x≥2或x≤0},∁RP={x|0<x<2},∴(∁RP)∩Q=(1,2).
答案 C
4.(2015·衡水中学二模)设集合A=,B={x||x|<1},则A∪B=( )
A.B.{x|-1<x≤2}
C.{x|-1<x<2且x≠1}D.{x|-1<x<2}
解析 易得A=,B={x|-1<x<1},∴A∪B={x|-1<x<2}.
答案 D
5.(人教A必修1P12A10改编)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则(∁RA)∩B=________.
解析 ∵∁RA={x|x<3或x≥7},∴(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.
答案 {x|2<x<3或7≤x<10}
考点一 集合的含义
【例1】
(1)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中元素的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
(2)已知a∈R,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2017+b2017=________.
解析
(1)因为x∈A,y∈B,所以当x=-1,y=0,2时,z=x+y=-1,1;当x=1,y=0,2时,z=x+y=1,3,所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},共3个元素,选C.
(2)由已知得=0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2017+b2017=-1.
答案
(1)C
(2)-1
规律方法
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合.
(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【训练1】
(1)(2016·邢台模拟)已知集合A={x∈N|x2+2x-3≤0},B={C|C⊆A},则集合B中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
解析
(1)A={x∈N|(x+3)(x-1)≤0}={x∈N|-3≤x≤1}={0,1},共有22=4个子集,因此集合B中元素的个数为4,选C.
(2)由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-,当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-时,m+2=,而2m2+m=3,故m=-.
答案
(1)C
(2)-
考点二 集合间的基本关系
【例2】
(1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )
A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=∅
(2)(2016·蚌埠一模)已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围为________.
解析
(1)由题意知A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},
则B⫋A,故选B.
(2)
A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},因为A∪B=A,所以B⊆A.当B=∅时,m+1>2m-1,则m<2;当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,可得解得2≤m≤3.
综上可得,实数m的取值范围是(-∞,3].
答案
(1)B
(2)(-∞,3]
规律方法
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.
【训练2】
(1)已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是__________.
(2)已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3}.若A∩C=C,则a的取值范围是________.
解析
(1)由log2x≤2,得0<x≤4,
即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},
由于A⊆B,如图所示,则a>4.
(2)由C∩A=C,得C⊆A.
当C=∅时,-a≥a+3,得a≤-;
当C≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,
可得解得-<a≤-1.
综上,a的取值范围为(-∞,-1].
答案
(1)(4,+∞)
(2)(-∞,-1]
考点三 集合的基本运算
【例3】
(1)(2015·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁UB)=( )
A.{2,5}B.{3,6}
C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}
(2)(2016·九江一模)若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2-x)>1},则A∩B=( )
A.(2,4]B.[2,4]
C.(-∞,0)∪(0,4]D.(-∞,-1)∪[0,4]
(3)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=∅,则m=__________.
解析
(1)由已知得∁UB={2,5,8},则A∩(∁UB)={2,5},故选A.
(2)因为A={x|1≤3x≤81}={x|30≤3x≤34}={x|0≤x≤4},B={x|log2(x2-x)>1}={x|x2-x>2}={x|x<-1或x>2},所以A∩B={x|0≤x≤4}∩{x|x<-1或x>2}={x|2<x≤4}=(2,4].
(3)A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A,
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,
且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.
答案
(1)A
(2)A (3)1或2
规律方法
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)已知集合的运算结果求参数,要注意分类讨论思想的灵活应用.
【训练3】
(1)设全集U是实数集R,集合M={x|x2>2x},N={x|log2(x-1)≤0},则(∁UM)∩N为( )
A.{x|1<x<2}B.{x|1≤x≤2}
C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x<2}
(2)设集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠∅,则实数a的取值范围一定是( )
A.[-1,2)B.(-∞,2]
C.[-1,+∞)D.(-1,+∞)
解析
(1)∵x2>2x,∴x>2或x<0,∴M={x|x<0或x>2}.∵log2(x-1)≤0,
∵0<x-1≤1,∴1<x≤2,∴N={x|1<x≤2},∴(∁UM)∩N={x|1<x≤2}.
(2)∵M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},且M∩N≠∅,如图只要a>-1即可.
答案
(1)C
(2)D
[思想方法]
1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.
2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是:
首先,过好转化关,即把图形语言转化为符号语言;其次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法解决,枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法,使用时应做到不重不漏.
[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.
2.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
3.空集不含任何元素,但它是存在的,在利用A⊆B解题时,若不明确集合A是否为空集时应对集合A的情况进行分类讨论.
基础巩固题组
(建议用时:
30分钟)
一、选择题
1.(2015·安徽卷)设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩(∁UB)等于( )
A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}
解析 由题意得,∁UB={1,5,6},A={1,2},故A∩(∁UB)={1}.
答案 B
2.(2016·沈阳监测)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( )
A.0B.1C.2D.3
解析 集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示的是直线y=x,据此画出图象,可得图象有两个交点,即A∩B的元素个数为2.
答案 C
3.(2016·长春监测)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( )
A.[-2,-1]B.[-1,2)
C.[-1,1]D.[1,2)
解析 由不等式x2-2x-3≥0解得x≥3或x≤-1,因此集合A={x|x≤-1或x≥3},又集合B={x|-2≤x<2},所以A∩B={x|-2≤x≤-1},故选A.
答案 A
4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A={x|-1<x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于( )
A.{2}B.{1,2,3}
C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2,3}
解析 A={x|-1<x≤2,x∈N}={0,1,2},故A∪B={0,1,2,3}.
答案 D
5.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
解析 P=M∩N={1,3},故P的子集共有4个.
答案 B
6.(2016·宜春检测)设集合P={x|x>1},Q={x|x2-x>0},则下列结论正确的是( )
A.P⊆QB.Q⊆PC.P=QD.P∪Q=R
解析 由集合Q={x|x2-x>0},知Q={x|x<0或x>1},所以P⊆Q,故选A.
答案 A
7.(2015·银川一中一模)已知集合A={x|x<a},B={x|1≤x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.[2,+∞)D.(2,+∞)
解析 ∵B={x|1≤x<2},∴∁RB={x|x<1或x≥2}.又A∪(∁RB)=R,如图只要a≥2.
答案 C
8.(2015·西安模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析 A={1,2},B={1,2,3,4},A⊆C⊆B,则集合C可以为:
{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.故选D.
答案 D
二、填空题
9.(2015·湖南卷)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁UB)=________.
解析 由已知可得∁UB={2},故A∪(∁UB)={1,2,3}.
答案 {1,2,3}
10.设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B=________.
解析 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出Venn图,如图所示,阴影部分就是所要求的集合,即(∁UA)∩B={7,9}.
答案 {7,9}
11.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
解析 A={x|-5 答案 -1 1 12.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a的值为__________. 解析 由题意得a+2=3,则a=1.此时A={-1,1,3},B={3,5},A∩B={3},满足题意. 答案 1 能力提升题组 (建议用时: 15分钟) 13.(2016·皖南八校联考)设集合M={(x,y)|y=lgx},N={x|y=lgx},则下列结论中正确的是( ) A.M∩N≠∅B.M∩N=∅C.M∪N=ND.M∪N=M 解析 因为M为点集,N为数集,所以M∩N=∅. 答案 B 14.(2015·余姚三模)设全集为U=R,集合A={x||x|≤2},B=,则(∁UA)∩B等于( ) A.[-2,1]B.(2,+∞)C.(1,2]D.(-∞,-2) 解析 A={x|-2≤x≤2},B={x|x>1},则(∁UA)∩B={x|x<-2或x>2}∩{x|x>1}={x|x>2}. 答案 B 15.(2015·湖北卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为( ) A.77B.49C.45D.30 解析 当x1=0时,y1∈{-1,0,1},而x2,y2∈{-2,-1,0,1,2}, 此时x2+x2∈{-2,-1,0,1,2},y1+y2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},则A⊕B中元素的个数为5×7=35. 当x1=±1时,y1=0,而x2,y2∈{-2,-1,0,1,2},此时x1+x2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},y1+y2∈{-2,-1,0,1,2}. 由于x1+x2∈{-2,-1,0,,1,2},y1+y2∈{-2,-1,0,1,2}时,A⊕B中的元素与前面重复,故此时与前面不重复的元素个数为2×5=10,则A⊕B中元素的个数为35+10=45. 答案 C 16.已知集合A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,b≠1},若集合A∩B只有一个真子集,则实数a的取值范围是________. 解析 由于集合B中的元素是指数函数y=bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点,要使集合A∩B只有一个真子集,那么y=bx+1(b>0,b≠1)与y=a的图象只能有一个交点,所以实数a的取值范围是(1,+∞). 答案 (1,+∞)
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- 拔高 讲义 第一章 集合 常用 逻辑 用语 及其 运算 教师