平面向量数量积运算专题附答案精编版.docx
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平面向量数量积运算专题附答案精编版
平面向量数量积运算
题型一平面向量数量积的基本运算
例1
(1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2,/BAD=120°点E,F分别在边BC,DC
上,BC=3BE,DC=入DF若AeAf=1,贝U入的值为.
⑵已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么PAPB的最小值为()
A.—4+.2B.—3+2
C.—4+22D.—3+2,2
变式训练1(2015湖北)已知向量OA丄AB,|OA|=3,则OAOB=
题型二利用平面向量数量积求两向量夹角
(1)(2015重庆)若非零向量a,b满足|a|=弩2》,且(a—b)丄(3a+2b),则a与b的夹角
值等于()
变式训练2(2014课标全国
i)已知a,b,c为圆o上的三点,若AO=;AB+AC),则Ab与
AC的夹角为
题型三利用数量积求向量的模
例3
(1)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于()
A.2
B.4
C.2.5
D.6
(2)已知直角梯形
ABCD中,AD//BC,/ADC=90°AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,
则|PA+3PB|的最小值为.
1
变式训练3(2015浙江)已知&,2是平面单位向量,且e1•>=若平面向量b满足be1=be2
=1,则|b|=.
高考题型精练
1.(2015山东)已知菱形ABCD的边长为a,/ABC=60°,则BDCD等于()
A32A.—?
a
o32
B.—a
4
32
Cja
4
32
D.2a
2.(2014浙江)记max{x,y}=
y,min{x,y}=A*设a,b为平面向量,则()
y,x A.min{|a+b|,|a—b|} B.min{|a+b|,|a—b|}>min{|a|,|b|} 2222 C.max{|a+b|,|a—b|}w|a|+|b| 3.(2015湖南)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB丄BC若点P的坐标为(2,0),则|PA +PB+PC|的最大值为() A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图,在等腰直角△ABO中, OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过C作AB 的垂线l,P为垂线上任一点,设 OA=a,OB=b,OP=p,贝Up(b—a)等于() 上X 1 A.—2 1 B.1 3 C.—2 3 5•在平面上,ABi±AB2,|O>B1|=|QB2|=1,AP=A§i+A§2•若OPg,则O)A|的取值范围是() J A.(0,2] C.(于,2 B.(2,2] D.(于,.2] 6.如图所示,△ABC中,/ACB=90°且AC=BC=4,点M满足BM=3MA,则CMCB等于() A. B.3 2 C.4D.6 7.(2014安徽)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量X1,X2,X3,X4和対,y2,y企均由 2个a和2个b排列而成.若x1y1+X2y2+X3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为() 2nnn A.3B.3C"6D.0 8.(2014江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,APBP=2, 则ABAD的值是 9.设非零向量a,b的夹角为0,记f(a,b)=acos0—bsina若ei,e? 均为单位向量,且eie2 =爭,则向量f(ei,e2)与f(e? —6)的夹角为. 10.如图,在厶ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,〈AB,AC>=60°则|<5A|= 11.已知向量a=(sinx,3), 2 ~》5~》 D,AD=5,且满足AD=石DB. b=(cosx,—1).当a//b时,求cosx—sin2x的值; 12.在厶ABC中,AC=10,过顶点C作AB的垂线,垂足为 (1)求|AB—AC|; (2)存在实数t>1,使得向量x=AB+tAC,y=tAB+AC,令k=xy,求k的最小值. 平面向量数量积运算 题型一平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2,/BAD=120°点E,F分别在边BC,DC 上,BC=3BE,DC=入DF若AeAF=1,贝U入的值为. ⑵已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么pApB的最小值为() A.—4+2B.—3+,2 C.—4+2,2D.—3+22 答案 (1)2 (2)D 解析 (1)如图, fffff1ff1f111 AEAF=(AB+BE)(AD+DF)=(AB+;BC)(AD+_DC)=ABAD+_ABDC+;BCAD+二3人人33入 BCDC 111442102 =2x2Xcos120°U2x2+1x2X2+获2x2xcos120一2+寸4—盂E X=2. (2)方法一设|PA|=|PB|=x,/APB=0, A1 则tan0=", 2x 2_0 1—tan2d 2x—I从而cos0==? .. 2Ax十1 1十tan cos0 —>—>—>—> PAPB=|PA||PB| X2+12—3X2+1十2x2+1 =x2+1+壬-3>22-3, x十1 当且仅当x2+1=2, 即x2=2-1时取等号,故PAPB的最小值为22-3. 方法二设/APB=0,0<0 PAPB=|FA||PB|cos 20 cos220二00-2sinsin 则pApB=1-x1-2x x 故PAPB的最小值为22-3. 方法三以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy, 则圆O的方程为x2+y2=1, 设Ag,y”,B(X1,—y”,P(xo,O), 则PApb=(x1—Xo,y1)(x1—Xo,-y“=击一2x1x0+x0-y1. 由OA丄PA? OAPa=(X1,y”(X1—Xo,y”=0? xf—X1X0+y? =0,又x2+y2=1, 所以x1x0=1. 从而PAPB=xf—2X1X0+X2—y2 =x2—2+x2—(1—Xi) =2xi+Xo—3》2—3. 故PAPB的最小值为22—3. 点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式: 一是依据长度和夹角,二是利用坐标运算,具 体应用哪种形式由已知条件的特征来选择•注意两向量a,b的数量积ab与代数中a,b的乘 积写法不同,不应该漏掉其中的“”. ⑵向量的数量积运算需要注意的问题: ab=0时得不到a=0或b=0,根据平面向量数量积 的性质有|a|2=a2,但|ab|w|a||b|. 变式训练1(2015湖北)已知向量O)A丄AB,|OA|=3,则OAOB= 答案9 解析因为OA丄Ab,所以Oaab=o•所以oaOb=Oa(oa+AB)=oA2+OAAb=|OA|2+o=32=9. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015重庆)若非零向量a,b满足|a|=彳^弓口,且(a—b)丄(3a+2b),则a与b的夹角 为() n A・n 3n C.4 D.n n ⑵若平面向量a与平面向量b的夹角等于3,|a|=2,|b|=3,则2a—b与a+2b的夹角的余弦 3 值等于() 1 a.26 1 B.—26 解析 (1)由(a—b)丄(3a+2b)得(a—b)(3a+2b)=0,即即3a2—ab-2b2=0.又•/|a|=刃^灿,设 3 〈a,b>=0, 即3|a|2—|a||b|•s0-2|b|2=0, .822222 …3|b|—訂|b|cos0—2|b|=0. nV2n •••cos0=亍.又T0<9 ⑵记向量2a—b与a+2b的夹角为0, 又(2a—b)2 =4X22+32—4X2X3Xcosn=13, 3 222n (a+2b)2=22+4X32+4X2X3Xcos3=52, 3 (2a—b)(a+2b)=2a2—2b2+3ab =8—18+9=—1, 故cos0=2a—b,a+2b=—26, |2a—b||a+2b|26 即2a—b与a+2b的夹角的余弦值是—£. 26 点评求向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律,⑵数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角 变式训练2(2014课标全国I)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=1(AB+AC),则AB与 AC的夹角为. 答案90° 解析•/Ao=*(AB+AC), •••点O是厶ABC中边BC的中点, •BC为直径,根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为90°. 题型三利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于() A.2B.4 C.2.5D.6 ⑵已知直角梯形ABCD中,AD//BC,/ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点, 则|PA+3PB|的最小值为. 答案⑴A (2)5 解析⑴因为平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120° 所以|2a+b|=2a2+b2+2X|2a|x|b|cos120 22X12+22+2X2X1X2X 系,设DC=a,DP=x. •PA+3PB=(5,3a—4x), ~~22 |PA+3PB|2=25+(3a—4x)2>25, ••|PA+3PB|的最小值为5. 方法二设DP=xDC(0 •PC=(1—x)DC, Pa=DA—DP=DA—xDC, PB=PC+CB=(1—x)DC+? DA, •PA+3PB=|DA+(3—4x)DC, ~~-225~-25~---2~-22~-2 |PA+3PB|2=—DA2+2XX(3—4x)DADC+(3—4x)2DC2=25+(3—4x)2DC2>25, •|PA+3PB|的最小值为5. 点评⑴把几何图形放在适当的坐标系中,给有关向量赋以具体的坐标求向量的模,如向量a=(x,y),求向量a的模只需利用公式|a|=x2+y2即可求解. (2)向量不放在坐标系中研究,求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式,关键是会把向量a的模进行如下转化: |a|=a2. 1 变式训练3(2015浙江)已知ei,2是平面单位向量,且ei•>=勺若平面向量b满足bei=be2 =1,则|b|=. 答案于 1 解析因为心|=怜2|=1且e1e2=㊁.所以e1与e2的夹角为60°又因为b會=bg=1,所以be1 —be2=0,即b(e1—e2)=0,所以b丄(e1—e2).所以b与e的夹角为30°所以be1=|b|lefcos30°=1. 所以|b|=刍3. 高考题型精练 1.(2015山东)已知菱形ABCD的边长为a,/ABC=60°则BDCD等于() A.—|a2B.—4a2 3232 C.RaD.^a 答案D 解析如图所示,由题意,得BC=a,CD=a,/BCD=120°. BD2=BC2+CD2—2BCCDcos120=a2+a2—2aax—*=3a2, BD=飞/3a. 二BDCD=|BD||CD|cos30=°°3a2x^3=器2 2.(2014浙江)记max{x,y}=严 y,x y,x>y, min{x,y}=c设a,b为平面向量,则( lx,x A.min{|a+b|,|a—b|} B.min{|a+b|,|a—b|}>min{|a|,|b|} 2222 C.max{|a+b|,|a—b|}w|a|+|b| 2922 D.max{|a+b|,|a—b\}>|a|+|b| 答案D 解析由于|a+b|,a—b|与|a|,|b|的大小关系与夹角大小有关,故A,B错.当a,b夹角为锐 角时,|a+b|>|a—b|,此时,|a+b|2>\a|2+|b|2;当a,b夹角为钝角时,|a+b|<|a—b|,此时,|a—b|2>|a|2+|b|2;当a丄b时,|a+b|2=|a—bf=|a|2+|b|2,故选D. 3.(2015湖南)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB丄BC若点P的坐标为(2,0),则|PA +PB+PC|的最大值为() A.6B.7 C.8D.9 答案B 解析•/A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB丄BC, •••AC为圆直径,故FA+PC=2PO=(—4,0),设B(x,y),贝Ux2+y2=1且x€[—1,1],PB=(x —2,y), •PA+PB+Pc=(x—6,y).故|PA+PB+PC|=—12x+37,•x=—1时有最大值.49=7, 故选B. 4.如图,在等腰直角△ABO中,OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过C作AB 的垂线l,P为垂线上任一点, Di 答案A 解析以OA,OB所在直线分别作为x轴,y轴, O为坐标原点建立平面直角坐标系, 31 则A(1,0),B(0,1),C(4,-), 13 直线I的方程为y—-=x—-, 44 即x—y—-=0. 511 设P(x,x—2),则p=(x,x—2), 而b—a=(—1,1), 11所以p(b—a)=—x+(x—动=—㊁ 5•在平面上,AB1±AB2,|OB1|=|OB2|=1,Ap=屉+Ab2•若丽冷,则|OA|的取值范围是() A.(0,芬]B.C2,T] 0(于,.2]。 .(于,,2] 答案D 解析由题意,知B1,B2在以0为圆心的单位圆上,点P在以0为圆心,-为半径的圆的内 部• 又Ab1±Ab2,AP=Ab1+Ab2, 所以点A在以B1B2为直径的圆上, 当P与0点重合时,|0A|取得最大值2, 当P在半径为2的圆周上时,|0A|取得最小值2, 故选D. 6.如图所示,△ABC中,/ACB=90°且AC=BC=4,点M满足BM=3MA,则CMCB等于() A.2B.3 C.4D.6 答案C 解析在厶ABC中,因为/ACB=90°且AC=BC=4,所以AB=42,且B=A=45°.因为BM=3IMA,所以BM=3BA.所以CMCB=(CB+BM)CB=CB2+BMCB=CB2+^EBACB=16+3 X42X4cos135=4. 7.(2014安徽)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量xi,x? X3,X4和知,y? %『4均由2个a和2个b排列而成.若xiyi+X2y2+X3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为() A2nnn、 A.B.C.D.0 336 答案B 4 解析设a与b的夹角为0,由于xi,yi(i=1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成,记S=Z i=1 (xiyi),则S有以下三种情况: ①S=2a2+2b2;②S=4ab;③S=|a|2+2ab+|b|2. 2|a|,•••①中S=10|a|2,②中S=8|a|2cos0③中S=5|a|2+4|a|2cos0 1n 易知②最小,即8|a|cos0=4|a|,•-cos0=7,可求0=: 故选B. 2 3 则ABAD的值是 答案22 解析由CP=3PD,得DP=1DC=1AB,Ap=AD+DP=AD+1Ab,BP=AP—AB=AD+? AB 4444 —AB=AD—4AB.因为APBP=2,所以(AD+4AB)(AD—]AB)=2,即AD2—? ADAB—^AB2 =2•又因为Ad2=25,Ab2=64,所以Abad=22. 9.设非零向量a,b的夹角为0,记f(a,b)=acos0—bsina若ei,e? 均为单位向量,且e^e2 =爭,则向量f(ei,e2)与f(e2,—6)的夹角为. 答案扌解析由eie2=3,可得cos〈ei,e2>=晋2= 2|ei||e2|2 n5n 故〈ei,e2>=? 〈e2,—ei>=n—〈e2,ei>^—. 66 nny/3i f(ei,e2)=eicos6—轴n6=庁&—尹2, f(e2, 、5n/、.5ni —ei)=e2cos——(—ei)sin—=? ei— eie2=0, x/3iix/3 f(ei,e2)f(e2,—ei)=(三ei—尹2)(gei—~^e2)=三"所以f(ei,e2)丄f(e2,—ei). n 故向量f(ei,e2)与f(e2,—ei)的夹角为? . iO.如图,在厶ABC中,O为BC中点,若AB=i,AC=3,〈Ab,AC>=60°则|OA|= 答案 解析因为〈AB,AC>=60°所以ABAC=|AB||AC|cos60=°iX3X*=3,又AO=*AB+AC),所以AO2=1(Ab+AC)2=4(ab2+2Abac+Ac2),即ao2=*(i+3+9)=乎,所以更匸亠尹. (i)当a//b时,求cos2x—sin2x的值; ⑵设函数f(x)=2(a+b)b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=.3,b=2,sinB=f,求f(x)+4cos(2A+#(x€[0,才)的取值范围. 3 解⑴因为a//b,所以4COSx+sinx=0. 所以tanx=—3 4 2cos2x—2sinxcosx 故cosx—sin2x=22 sinx+cosx 1—2tanx8 =2~=— 1+tanx5' (2)f(x)=2(a+b)b -•1 =2(sinx+cosx,—j)(cosx,—1) 3 =sin2x+cos2x+- 2 n3 =,2sin(2x+j)+q D,AD=5,且满足AD=鲁元. 所以a=抖A=亍因为b>a,所以A=所以f(x)+4cos(2A+#=2sin(2x+4)— 因为x€[o,n,所以2x+n[n,詈[所以—1Wf(x)+4cos(2A+f)w.2—1所以f(x)+4cos(2A+才)的取值范围为1,,2—2】. 12.在厶ABC中,AC=10,过顶点C作AB的垂线,垂足为 (2)存在实数t>1,使得向量x=Ab+tAc,y=tAB+AC,令k=xy,求k的最小值. f5f 解 (1)由AD=石DB,且A,B,D三点共线, 可知|AD|=寻|面又AD=5,所以DB=11. 在Rt△ADC中,CD2=AC2—AD2=75, 在Rt△BDC中,BC2=DB2+CD2=196, 所以|AB—AC|=|CB|=14. ⑵由 (1),知|AB|=16,|AC|=10,|BC|=14. 由余弦定理,得 102+162-1421 C0SA=2X10X16=2. 由x=AB+tAC,y=tAB+AC, 知k=xy =(AB+tAC)(tAB+AC) —>22~~>—>2 =t|AB|2+(t2+1)ACAB+t|AC|2 21 =256t+(t2+1)X16X10X+100t =80t2+356t+80. 由二次函数的图象,可知该函数在[1,+s)上单调递增, 所以当t=1时,k取得最小值516.
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