因式分解精选例题附答案docx.docx
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因式分解精选例题附答案docx
因式分解例题讲解及练习
【例题精选】:
(1)5x2y15x3y220x2y3评析:
先查各项系数(其它字母暂时不看),确定5,15,20的最大公因数是5,确定系数是5,再查各项是否都有字母X,各项都有时,再确定X的最低次幕是几,至此确认提取X2,同法确定提Y,最后确定提公因式5X2Y。
提取公因式后,再算出括号内各项。
解:
5x2y15x3y220x2y3
=5x2y(13xy4y2)
(2)3x2y12x2yz9x3y2
评析:
多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最
大公因数为3,且相同字母最低次的项是X2Y
解:
3x2y12x2yz9x3y2
=(9x3y212x2yz3x2y)
=3(3x3y24x2yzx2y)
=3x2y(3xy421)
(3)(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)
评析:
在本题中,y-x和x-y都可以做为公因式,但应避免负号过多的情况出现,所以应提取y-x
解:
原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)
=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)
=(y-x)(b-a)
343
(4)(4)把32xy2x分解因式
评析:
这个多项式有公因式2x3,应先提取公因式,剩余的多项式
16y4-1具备平方差公式的形式
解
32x3y42x3=2x3(16y41)=2x3(4y21)(4y21)
32
2x3(2y1)(2y1)(4y21)
728
(5)(5)把XyXy分解因式
评析:
首先提取公因式xy2,剩下的多项式x6-y6可以看作
3\232
(X)(y)用平方差公式分解,最后再运用立方和立方差公式分解。
2323
对于x6-y6也可以变成(X)(y)先运用立方差公式分解,但比较麻烦。
728
解:
XyXy
=Xy2(χ6-y6)=Xy2[(X3)2(y3)2]=χy2(χ3y3)(χ3y3)
=Xy2(Xy)(X2Xyy2)(χy)(χ2Xyy2)
(6)把(Xy)212(Xy)z36z2分解因式
评析:
把(χ+y)看作一个整体,那么这个多项式相当于(χ+y)的二次三项式,并且为降幕排列,适合完全平方公式。
对于本例中的多项
式切不可用乘法公式展开后再分解,而要注意观察分析,善于把(χ+y)代换完全平方公式中的a,(6Z)换公式中的
y)2
y)2
12(χy)z36z2
2(Xy)(6z)(6z)=(χ+y-6z)2
1222222(X2y)2(χ2y)y2y
把
4
分解因式
解:
(X
=(X
(7)(7)
评析:
把χ2-2y2和y2看作两个整体,那么这个多项式就是关于χ2-2y2和y2的二次三项式,但首末两项不是有理数范围内的完全平方项,不能直接应用完全平方公式,但注意把首项系数提出后,括号里边
实际上就是一
个完全平方式
O
解:
1(χ2
2y2)22(x2
2y2)y22y
2
1
=尹X
22y2)22(x2
2y2)?
2y2
=2(X2
22、2
2y2y)
122
(X4y)
2
=I(X
2y)2(x2y)2
(8)
(8)
分解因式
a2-b2-2b-1
4
2
(2y2)2]
评析:
初看,前两项可用平方差公式分解。
采用“二、二”分组,
原式=(a+b)(a-b)-(2b+1),此时无法继续分解。
再仔细看,后三项是一个完全平方式,应采用“一、三”分组。
解:
a2-b2-2b-1=
a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)
一般来说,四项式“一、三”分解,最后要用“平方差”。
四项式“二、二”分组,只有前后两组出现公因式,才是正确的分组方案。
(9)(9)把a2-ab+ac-bc分解因式解法
a2-ab+ac-bc=(a
2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)
10)
10)
把2x22xy3x
解法一:
2
2x22xy3x3y
=(2x22xy)(3x3y)2x(x
3y分解因式
y)3(xy)(xy)(2x3)
解法二:
2
2x22xy3x3y
=(2x23x)(2xy3y)
=(a-b)(a+c)
x(2x3)y(2x3)(2x3)(xy)
说明:
例
(2)和例(3)的解法一和解法二虽然分组不同,但却
有着相同的内在联系,即两组中的对应系数成比例。
(2)题解法一1:
1,解法二也是1:
1;(3)题解法一是
1:
1,解法二是2:
(-3)
(11)分解因式x3x2x1评析:
四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。
如是,就考虑“一、三”分组;不是,就考虑“二、二”分组
32
解法一:
x3x2x1
=(x3x2)(x1)x2(x1)(x1)
=(x1)(x21)(x1)(x1)(x1)(x1)2(x1)解法二:
x3x2x1=x3x(x21)x(x21)(x21)
=(x21)(x1)(X1)(x1)(x1)(X1)2(x1)
解法三:
32
XXX
1=(X31)(X2X)(X1)(X2
X1)X(X1)
=(X1)(X2
XIX)(X1)(x22x1)(X
1)(X1)2
(12)
(12)
分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c
2
评析:
本题将(a-b)看作个整体,可观察出其中三项是完全平方
式,可以“一、三”分组
解:
(a-b)2-1-2c(a-b)+c2
=[(a-b)
2-2c(a-b)+c2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-
c-1)
(13)分解因式8a2-5ab-42b2
8a-21b
解:
8a2-5ab-42b2
a+2b
=(8a-21b)(a+2b)
-21ab+16ab=-5ab
(14)
(14)分解因式a6-10a3+16
解:
a6-10a3+16
a3-2
=(a3-2)(a3-8)
a3-8
=(a3-2)(a-2)(a2+2a+4)
-8a3-2a3=-10a3
(15)
(15)分解因式-x2+x+30
解:
-x2+x+30(先提出负号)
X+5
=-(X2-x-30)
X-6
=-(x+5)(x-6)
+5x-6X=-X
(16)
(16)分解因式12(x+y)
2-8(x+y)-7
解:
12(x+y)2-8(x+y)-7
2(x+y)+1
=[2(x+y)+1][6(x+y)-7]
6(x+y)-7
=(2x+2y+1)(6x+6y-7)
-14+6=8
(17)
r3322厂匚一「
把XyXXyy分解因式
评析:
此题是一个五项式,它能否分组分解,要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。
本题注意到后三项当把-1
33
提出后,实际上是x3y3按立方差公式分解后的一个因式:
解:
x3
y3x
22
2xyy2
=(x3
y3)
(x2xyy2)
=(x
y)(x2
xyy2)(x2
2xyy)
=(x2
xy
y2)(xy1)
18)
(
18)
222
把x2y2z2
2yz2x
1分解因式
评析:
把x22x1看成一组符合完全平方公式,而剩下的三项把
-1提出之后恰好也是完全平方式,这样分组后又可用平方差公
式继续分解。
解:
x2y2z22yz2x1
=(x22x1)(y22yzz2)
=(x1)2(yz)2
=(x1yz)(x1yz)
22
(19)分解因式(x2x1)(x2x2)6评析:
先不要把前面两个二次三项式的乘积展开,要注意到这两个二次三项式的前两项都是x2x这一显著特点,我们不妨设
2
x2x=a可得(a+1)(a+2)-6即a2+3a+2-6,即a2+3a-4,此时可分解为(a+4)(a-1)
22
解:
(x2x1)(x2x2)6
=(x2x)23(x2x)26
=(x2x)23(x2x)4
=[(x2x)4][(x2x)1]
=(x2x4)(x2x1)
22
(20)把(x22x4)(x22x3)8分解因式解:
(x22x4)(x22x3)8
=(x22x)2(x22x)128
222
=(x22x)2(x22x)20
=[(x22x)5][(x22x)4]
=(x22x5)(x22x4)
(21)把(x23x2)(x29x20)72分解因式
评析:
它不同于例3
(1)的形式,但通过观察,我们可以对这两个二次三项式先进行分解,有(x23x2)(x29x20)(x1)(x2)(x4)(x5)。
它又回到例3
(1)的形式,我们把第一项和第三项结合在一起,第二、四项结合在一起,都产生了(x2-3x)
解:
(x23x2)(x29x20)72
=(x1)(x2)(x4)(x5)72
=[(x1)(x4)][(x2)(x5)]72
=(x23x4)(x23x10)72
=(x23x)214(x23x)32
=[(x23x)16][(x23x)2]
=(x23x16)(x23x2)(x23x16)(x2)(x1)
2
(22)把(aI)(a2)(a3)(a6)a分解因式
评析:
不要轻易展开前四个一次因式的积,要注意到常数有1×6=2×3=6利用结合律会出现a2+6
2
解:
(a1)(a2)(a3)(a6)a2
=[(a1)(a6)][(a2)(a3)]a2
=(a267a)(a265a)a2
=(a26)212a(a26)36a2(a266a)2
(23)把(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9分解因式评析:
不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开,要注意到1+7=3+5,如果利用乘法结合律,把(x+1)(x+7)和(x+3)(x+5)
22
分别乘开就会出现(x28x7)(x28x15)9的形式,这就不难发现
(x2+8x)作为一个整体a同时出现在两个因式中,即(a+7)(a+15)
a6
-9的形式,展开后有a2+22a+96,利用十字相乘a16,得到(a+6)(a+16)而分解。
解:
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9
=[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]-9
=(x2
8x
7)(x28x15)
9
以下同于例
3
=[(x2
8x)
222(x2
8x)
105]9
=(x2
8x)2
22(x2
8x)+
96
=[(x2
8x)
16)][(x
28x)
6]
=(x2
8x
16)(x2
8x6)
(24)把x(x+1)(x+2)(x+3)-24分解因式评析:
通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现(x2+3x),第二和第三个一次式相乘出现(x2+3x)。
可以设x2+3x=a,会有a(a+2)-24,此时已易于分解
解:
x(x+1)(x+2)(x+3)-24
=[x(x+3)][(x+1)(x+2)]-24
22
=(x23x)(x23x2)24
=(x23x)[(x23x)2]24
=(x23x)22(x23x)24
=(x23x6)(x23x4)
222
(25)把(x23x1)22(x23x)10分解因式
22
评析:
不要急于展开(x23x1)2,通过观察前两项,发现它们有公共的x2+3x,此时把它看成一个整体将使运算简化。
解:
(x23x1)22(x23x)10
=(x23x)22(x23x)12(x23x)10
=(x23x)29(x23x3)(x23x3)
2
(26)把分解因式(abcd)24(ab)(cd)评析:
我们可以观察到+前后的两项都有(a+b)和(c+d)。
据此可把它们看作为一个整体。
2
解:
(abcd)24(ab)(cd)
=[(a
b)
(C
d)F
4(a
b)(c
d)
=(a
b)2
2(a
b)(c
d)
(C
d)24(ab)(cd)
=(a
b)2
2(a
b)(c
d)
(C
d)2
=[(a
b)
(C
d)]2
(a
bC
d)2
(27)把1a
a(a
1)
a(a
1)2
a(a
3
I)分解因式
评析:
把(1+a)看成一个整体,第一项1与第二项一个整体(1+a)
解:
1aa(a1)a(a1)2a(a1)3
=(1a)[1aa(1a)a(1a)2]
=(1a)(1a)[1aa(1a)]
=(1a)(1a)(1a)(1a)(1a)4
22
(28)把2xXy6y2x11y4分解因式
评析:
此题容易想到分组分解法,但比较困难,考虑到
2x2Xy6y2(2x3y)(x2y)
22
此时可设(2x3ym)(x2yn)2xXy6y2x11y再用待定系数法求出m和n
22
解:
设2xXy6y2x11y4
(2X3ym)(x2yn)2x2Xy6y2(m2n)x(3n2m)y
比较两边对应系数得到
m+2n=2①
-3n+2m=11②
mn=-4③
由①和②得到m=4,n=-1代入③也成立
22
.∙.2xxy6y2xWy4=(2χ-3y+4)(X+2y-1)
22
(29)把X2xy8y4x10y3分解因式
22
解.X2xy8y4x10y3
a也合成
mn
=(X4y)(x2y)4x10y3
(x-2y+n)
(mn)x(4n2m)y
有m+n=-4①
I4n-2m=-10②
mn=3③
由①和②得到m=-3,n=-1代入③也成立
22
.∙.x2xy8y4x10y3=(χ+4y-3)(x-2y-1)
33
(30)当x+y=2时,求X6xyy的值
3C3
评析:
τχ+y=2这是唯一的条件。
.要从X6xyy中找到x+y或有关(x+y)的表达式
3322
解:
X6xyy=(x+y)(XXyy)+6xy
4xy2y2
2(x22xy
τχ+y=2
.∙.原式=2x22xY2Y26xy=2χ2
=2(Xy)22
(2)2=8
131
X-Xr
(31)己知x=2求X3的值
解:
31/12
X3(X)(x
112
1
■)(X)[(x
丄)2
3]
X=X
X
X
X
X
1
x=2
.原
式=2[
(2)2-3]=2
1
2(X2
2
Yaxay
2xy
6a2)
(32)
己知x-y=2,求a
的值
解:
1/22
2(XYaxay
2xy
6a2)
a
122
2【(x2xyY)=a
(ax
ay)6a2]
1
[(x
、2
>
a(x
Y)
亠2„
2
Y)
6a]
(x-y)
-3a
a
1
2
[(x
Y
3a)(x
Y
2a)]
/∖
(x-y)
a
+2a
∙X-y=a
112
-2(2a)(3a)-r(6a)
二原式=aa
初中因式分解的常用方法(例题详解)
一、提公因式法•
如多项式ambmCmm(abc),
其中m叫做这个多项式各项的公因式,m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.
二、运用公式法•
运用公式法,即用
a2b2(ab)(ab),
222a2abb(ab),
a3b3(ab)(a2abb2)
写出结果.
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
amanbmbn
分析:
从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局
部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,
后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:
原式=(aman)(bmbn)
=(mn)(a
思考:
此题还可以怎样分组?
此类型分组的关键:
可以提。
=a(mn)b(mn)k每组之间还有公因式!
b)
分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式
例2、分解因式:
2axIOay
解法一:
第一、二项为一组;第三、四项为一组。
解:
原式=(2ax10ay)(5bybx)=2a(x5y)b(x5y)=(X5y)(2ab)
练习:
分解因式1、a2abacbc
5bybx
解法二:
第一、四项为一组;第二、三项为一组。
原式=(2axbx)(10ay5by)
=x(2ab)5y(2ab)
=(2ab)(x5y)
2、XyXy1
组,虽然可以提公因式,但提完后就能
(axay)y)a(xy)ya)
(二)分组后能直接运用公式
22
例3、分解因式:
Xyaxay分析:
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为继续分解,所以只能另外分组。
22
解:
原式=(Xy)
=(Xy)(x
=(Xy)(x
例4、分解因式
2
a2ab
b2
2C
解:
原式=(a
2
2abb)
2C
=(a
22
b)C
=(a
bc)(ab
C)
注意这两个例题的区别!
练习:
分解因式3、X2X9y2
3y
22
4、Xy
2
Z2yz
综合练习:
(1)X3
x2yxy2
3
y
(2)ax2bx2bx
axab
(3)
2X
6xy
9y2
16a28a1
(4)
2a
6ab
2
12b9b4a
(5)
4a
2a3
2a
9
(6)
4a2
X4a
222
ybxby
(7)
2X
2xy
XZ
2
yzy
(8)
2a
2a
2
b22b2ab1
(9)
y(y
2)
(m
1)(m1)
(10)
(a
c)(a
C)b(b2a)
b2(aC)c2(a
b)2abc(12)a3b3
c33abc
(11)a2(bC)
四、十字相乘法•
(一)二次项系数为直接利用公式一一
1的二次三项式
X(Pq)xPq(XP)(Xq)进行分解。
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
2
例5、分解因式:
X5x6
分析:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有
1
3)x23
3)
2×3的分解适合,即
2+3=5。
解:
用此方法进行分解的关键:
次项的系数。
例6、分解因式:
解:
原式=χ2
=(X
X25x6=X2
=(X
将常数项分解成两个因数的积,
(2
2)(x
1×2+1×3=5
且这两个因数的代数和要等于
练习5、分解因式
(1)
2
X
1)
[(
1)(x
7x6
6)]x
(1)(6)
(
6)
x2
14χ
24⑵a215a
1X二-1
1-6
(-1)+(-6)=-7
2
36(3)X4x5
练习6、分解因式
(1)X2
2
⑵y2y15
2
⑶X10x24
(二)二次项系数不为
1的二次三项式一一
2
aχbχC
条件:
(1)
a
a〔a2
a1∙
C1
(2)
C
C[C?
a2
C2
(3)
b
a1C2
a2C1
ba1C2
a2C1
分解结果:
aχ
2bχ
C=(a1XC1)(a2X
C2)
例7、分解因式:
3χ211χ10
分析:
1,-2
3-5
(-6)+(-5)=-11
解:
3χ2
11χ
10=(X2)(3χ5)
练习7、分解因式:
(1)
5χ27χ6
(2)
3χ2
7χ2
(3)
10χ217χ3
(4)
6y2
11y10
(三)二次项系
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