高中数学人教版必修2配套练习 第二章23直线平面垂直的判定及其性质试题解析.docx
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高中数学人教版必修2配套练习第二章23直线平面垂直的判定及其性质试题解析
§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、基础过关
1.已知直线a∥b,平面α∥β,a⊥α,则b与β的位置关系是( )
A.b⊥βB.b∥β
C.b⊂βD.b⊂β或b∥β
2.直线a⊥直线b,b⊥平面β,则a与β的关系是( )
A.a⊥βB.a∥β
C.a⊂βD.a⊂β或a∥β
3.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A.垂直且相交
B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交
D.不垂直也不相交
4.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.无法确定
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________;
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________;
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______.
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=______.
7.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱B1C1、B1B的中点.
求证:
CF⊥平面EAB.
8.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.
求证:
(1)CD⊥PD;
(2)EF⊥平面PCD.
二、能力提升
9.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
10.已知矩形ABCD,AB=1,BC=
,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
11.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件________时,有AB1⊥BC1(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).
12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O为ABCD的中心,求证:
B1O⊥平面PAC.
三、探究与拓展
13.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2,A、B两点在α内的射影之间距离为
,求直线AB和平面α所成的角.
答案
1.A 2.D 3.C 4.B
5.
(1)45°
(2)30° (3)90°
6.90°
7.证明 在平面B1BCC1中,
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点,
∴△BB1E≌△CBF,
∴∠B1BE=∠BCF,
∴∠BCF+∠EBC=90°,∴CF⊥BE,
又AB⊥平面B1BCC1,CF⊂平面B1BCC1,
∴AB⊥CF,又AB∩BE=B,
∴CF⊥平面EAB.
8.证明
(1)∵PA⊥底面ABCD,
∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中,CD⊥AD,且AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.
(2)取PD的中点G,连接AG,FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点,
∴GF綊
CD,
∴GF綊AE,
∴四边形AEFG是平行四边形,∴AG∥EF.
∵PA=AD,G是PD的中点,
∴AG⊥PD,∴EF⊥PD,
∵CD⊥平面PAD,AG⊂平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面PCD.
9.A 10.B
11.∠A1C1B1=90°
12.证明 连接AB1,CB1,设AB=1.
∴AB1=CB1=
,
∵AO=CO,∴B1O⊥AC.
连接PB1.
∵OB
=OB2+BB
=
,
PB
=PD
+B1D
=
,
OP2=PD2+DO2=
,
∴OB
+OP2=PB
.
∴B1O⊥PO,
又∵PO∩AC=O,∴B1O⊥平面PAC.
13.解
(1)如图①,当A、B位于平面α同侧时,由点A、B分别向平面α作垂线,垂足分别为A1、B1,则AA1=1,BB1=2,B1A1=
.过点A作AH⊥BB1于H,则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH=
=
.
∴∠BAH=30°.
(2)如图②,当A、B位于平面α异侧时,经A、B分别作AA1⊥α于A1,BB1⊥α于B1,AB∩α=C,则A1B1为AB在平面α上的射影,∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.
∵△BCB1∽△ACA1,
∴
=
=2,
∴B1C=2CA1,而B1C+CA1=
,
∴B1C=
.
∴tan∠BCB1=
=
=
,
∴∠BCB1=60°.
综合
(1)、
(2)可知:
AB与平面α所成的角为30°或60°.
2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、基础过关
1.过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A.有且只有一个B.有无数个
C.一个或无数个D.可能不存在
2.不能肯定两个平面一定垂直的情况是( )
A.两个平面相交,所成二面角是直二面角
B.一个平面经过另一个平面的一条垂线
C.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
D.平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
3.设有直线m、n和平面α、β,则下列结论中正确的是( )
①若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥β;
②若m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α⊥β;
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.
A.①②B.①③C.②③D.①②③
4.设l是直线,α,β是两个不同的平面,下列结论中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
5.过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________.
6.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,图中互相垂直的平面有________对.
7.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:
平面EFG⊥平面PDC.
8.如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=
.
(1)证明:
平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A—BE—P的大小.
二、能力提升
9.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,把菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=
,则二面角B-AC-D的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
10.在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )
A.BC∥面PDFB.DF⊥面PAE
C.面PDF⊥面ABCD.面PAE⊥面ABC
11.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.
求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12.如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.
(1)求证:
BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角?
并说明理由.
三、探究与拓展
13.如图所示,三棱锥P—ABC中,D是AC的中点,PA=PB=PC=
,AC=2
,AB=
,BC=
.
(1)求证:
PD⊥平面ABC;
(2)求二面角P—AB—C的正切值.
答案
1.C 2.D 3.B 4.B
5.45°6.5
7.证明 因为MA⊥平面ABCD,PD∥MA,所以PD⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形,
所以BC⊥DC.
又PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.
在△PBC中,因为G、F分别为PB、PC的中点,
所以GF∥BC,所以GF⊥平面PDC.
又GF⊂平面EFG,
所以平面EFG⊥平面PDC.
8.
(1)证明 如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,
△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.
又AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,
BE⊂平面ABCD,
所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解 由
(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=
=
,则∠PBA=60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
9.B10.C
11.证明
(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.
因为EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1,故CC1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D⊂平面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12.
(1)证明 ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC,又由
(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,
∴DE⊥AE,DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角.
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,
∴∠PAC=90°.
∴在棱PC上存在一点E,
使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°,
故存在点E,使得二面角A—DE—P为直二面角.
13.
(1)证明 连接BD,
∵D是AC的中点,PA=PC=
,
∴PD⊥AC.
∵AC=2
,AB=
,BC=
,
∴AB2+BC2=AC2.
∴∠ABC=90°,即AB⊥BC.
∴BD=
AC=
=AD.
∵PD2=PA2-AD2=3,PB=
,
∴PD2+BD2=PB2.∴PD⊥BD.
∵AC∩BD=D,∴PD⊥平面ABC.
(2)解 取AB的中点E,连接DE、PE,由E为AB的中点知DE∥BC,
∵AB⊥BC,∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABC,∴PD⊥AB.
又AB⊥DE,DE∩PD=D,∴AB⊥平面PDE,∴PE⊥AB.
∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角.
在△PED中,DE=
BC=
,PD=
,∠PDE=90°,
∴tan∠PED=
=
.
∴二面角P—AB—C的正切值为
.
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、基础过关
1.已知两个平面互相垂直,那么下列说法中正确的个数是( )
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线,垂足必落在交线上;
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线,则此直线必垂直于另一个平面.
A.4B.3C.2D.1
2.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A.相交B.平行C.异面D.相交或平行
3.若m、n表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为( )
①
⇒n⊥α;②
⇒m∥n;
③
⇒m⊥n;④
⇒n⊥α.
A.1B.2C.3D.4
4.在△ABC所在的平面α外有一点P,且PA=PB=PC,则P在α内的射影是△ABC的( )
A.垂心B.内心C.外心D.重心
5.如图所示,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=________.
6.若α⊥β,α∩β=AB,a∥α,a⊥AB,则a与β的关系为________.
7.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证:
BC⊥AB.
8.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
求证:
(1)MN∥AD1;
(2)M是AB的中点.
二、能力提升
9.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为
和
.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′、B′,则AB∶A′B′等于( )
A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3
10.设α-l-β是直二面角,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l都不垂直,那么( )
A.a与b可能垂直,但不可能平行
B.a与b可能垂直,也可能平行
C.a与b不可能垂直,但可能平行
D.a与b不可能垂直,也不可能平行
11.直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内,使a∥b成立的条件是________.(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面;
②a和b在正方体两个相对的面内,且共面;
③a和b平行于同一条棱;
④a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.
12.如图所示,在多面体P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4
.
(1)设M是PC上的一点,
求证:
平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P—ABCD的体积.
三、探究与拓展
13.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=
AA1,D是棱AA1
的中点,DC1⊥BD.
(1)证明:
DC1⊥BC;
(2)求二面角A1-BD-C1的大小.
答案
1.B 2.B 3.C 4.C
5.6
6.a⊥β
7.证明 在平面PAB内,作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC=PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC,
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC,
BC⊂平面ABC,
∴PA⊥BC,∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB,
∴BC⊥AB.
8.证明
(1)∵ADD1A1为正方形,
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1,
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD=D,
∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC,
∴MN∥AD1.
(2)连接ON,在△A1DC中,
A1O=OD,A1N=NC.
∴ON綊
CD綊
AB,
∴ON∥AM.
又∵MN∥OA,
∴四边形AMNO为平行四边形,
∴ON=AM.
∵ON=
AB,∴AM=
AB,
∴M是AB的中点.
9.A 10.C
11.①②③
12.
(1)证明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4
,
∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,BD⊂面ABCD,
∴BD⊥面PAD,又BD⊂面BDM,
∴面MBD⊥面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD,
∵面PAD⊥面ABCD,
∴PO⊥面ABCD,
即PO为四棱锥P—ABCD的高.
又△PAD是边长为4的等边三角形,
∴PO=2
.
在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,∴四边形ABCD为梯形.
在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为
=
,
此即为梯形的高.
∴S四边形ABCD=
×
=24.
∴VP—ABCD=
×24×2
=16
.
13.
(1)证明 由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.
又AC=
AA1,可得DC
+DC2=CC
,所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD,CD∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.
因为BC⊂平面BCD,所以DC1⊥BC.
(2)解 DC1⊥BC,CC1⊥BC⇒BC⊥平面ACC1A1⇒BC⊥AC,取A1B1的中点O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,C1H,A1C1=B1C1⇒C1O⊥A1B1,面A1B1C1⊥面A1BD⇒C1O⊥面A1BD,又∵DB⊂面A1DB,∴C1O⊥BD,又∵OH⊥BD,∴BD⊥面C1OH,C1H⊂面C1OH,∴BD⊥C1H,得点H与点D重合,且∠C1DO是二面角A1-BD-C的平面角,设AC=a,则C1O=
a,C1D=
a=2C1O⇒∠C1DO=30°,故二面角A1-BD-C1的大小为30°.
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