二次函数与方程组或不等式中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练最新整理.docx
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二次函数与方程组或不等式中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练最新整理.docx
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二次函数与方程组或不等式中考数学复习知识讲解+例题解析+强化训练最新整理
二次函数与方程(组)或不等式
◆知识讲解
(1)最大值或最小值的求法
第一步确定a的符号:
a>0有最小值,a<0有最大值;第二步求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
(2)y轴与抛物线y=ax2+bx+c的交点为(0,c).
(3)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).
(4)抛物线与x轴的交点.
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点⇔△>0⇔抛物线与x轴相交.
②有一个交点(顶点在x轴上)⇔△=0⇔抛物线与x轴相切;
③没有交点⇔△<0⇔抛物线与x轴相离.
(5)平行于x轴的直线与抛物线的交点.
同(4)一样可能有0个交点,1个交点,2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.
(6)一次函数y=kx+n(k≠0)的图像L与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像G的交点,
⎧y=kx+n
⎩
由方程组⎨y=ax2+bx+c的解的数目确定:
①当方程组有两组不同的解时⇔L与G有两
个交点;②方程组只有一组解时⇔L与G只有一个交点;③方程组无解时⇔L与G没有交点.
(7)利用函数图像求不等式的解集,先观察图像,找出抛物线与x轴的交点,再根据交点坐标写出不等式的解集.注意:
观察图像时不要看漏了其中的部分.
◆例题解析
例1如图所示,已知抛物线y=-1x2+(5-
2
)x+m-3与x轴有两个交点A,B,
点A在x轴的正半轴上,点B在x轴的负半轴上,且OA=OB.
(1)求m的值;
(2)求抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标;(3)问在抛物线上是否存在一点M,△MAC≌△OAC,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】抛物线与x轴交于A,B两点,OA=OB,故A,B两点关于y轴对称,就可求得m的值,由抛物线交y轴的正半轴,得m的确定值.
【解答】
(1)∵抛物线与y轴交于正半轴,且OA=OB.
⎧⎪m-3a>0
∴⎨
⎪⎩5-=0
由②得m=±5,由①m>3,故m=-5应舍去.∴m=5.
(2)抛物线的解析式为y=-1x2+2,对称轴是y轴,顶点C的坐标为C(0,2).
2
(3)令y=0得-1x2+2=0,∴x=±2.
2
∴A(2,0),B(-2,0),C(0,2),△OAC是等腰直角三角形.若存在一点M,使△MAC≌△OAC,∵AC为公共边,OA=OC,
∴点M与O关于直线AC对称,∴M点的坐标为(2,2).
当x=2时,-1x2+2=0≠2.
2
∴M(2,2)不在抛物线上,即不存在一点M,使△MAC≌△OAC.
【点评】存在性问题,通常是先假定存在,若能找出具备某种条件或性质的对象,就说明存在,其叙述过程就是理由;若不存在,就需要进一步说明理由.
例2已知二次函数y=x2-(2m+4)x+m2-4(x为自变量)的图像与y轴的交点在原
点下方,与x轴交于A,B两点,点A在点B的左边,且A,B两点到原点的距离AO,OB
满足3(OB-AO)=2AO·OB,直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P,且锐角
∠POB的正切值4.
(1)求m的取值范围;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)确定直线y=kx+k的解析式.
【分析】利用抛物线与x轴的交点A,B的位置及与y轴交点的位置和A,B两点到原点的距离可以求出m的值,再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解.
【解】
(1)设点A,B的坐标分别为A(x1,0),B(x2,0)(x1 ∴△=[-(2m+4)]2-4(m2-4)>0.解得m>-2.① 又∵函数的图像与y轴的交点在原点下方, ∴m2-4<0,∴-2 (2)∵图像交y轴于负半轴,与x轴交于A,B两点,且x1 ∴x1<0,x2>0. 由3(OB-AO)=2AO·OB可得3[x2-(-x1)]=2(-x1)·x2 即3(x1+x2)=-2x1x2 由于x1,x2是方程x2-(2m+4)x+m2-4=0的两个根,所以x1+x2=2m+4,x1·x2=m2-4. ∴3(2m+4)=-2(m2-4)整理,得m2+3m+2=0. ∴m=-1或m=-2(舍去). ∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3. (3)由y=x2-2x-3,得A(-1,0),B(3,0). ∵直线y=kx+k与抛物线相交, ⎧y=x2-2x+3, ⎩ ∴由⎨y=kx+k, ⎧x1=-1,⎧x2=k+3, 解得⎨ ⎩ 2=0. 或⎨ ⎩=k2+4k. ∵∠POB为锐角. ∴点P在y轴右侧, ∴点P坐标为(k+3,k2+4k),且k+3>0. ∵tan∠POB=4, |k2+4k| ∴k+3=4. 如图所示,当点P在x轴上方时. k2+4kk+3 =4.解得k1=2 ,k2=-2. 经检验,k1=2 ,k2=-2 都是方程的解,但k2+3<0. ∴k2=-2 舍去. ∴直线的解析式为y=2+2. 当点P在x轴下方时, k2+4kk+3 =-4, 解得k3=-2,k4=-6. 经检验,k3=-2,k4=-6是方程的解,但k4+3<0. ∴k4=-6舍去. ∴y=-2x-2. ∴所求直线的解析式为y=2 x+2 ,或y=-2x-2. 【点评】本题以求解析式为目标,综合了函数,一元二次方程根与系数的关系,三角函数等知识,综合性强,灵活性大,解题关键是认真审题,认真分析纷繁复杂的条件,从中找到解题的突破口,易错点是在第(3)小题中忽视分类讨论而失解. ◆强化训练一、填空题 1. 与抛物线y=2x2-2x-4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是. 2. 已知二次函数y=(a-1)x2+2ax+3a-2的图像最低点在x轴上,那么a= ,此时 函数的解析式为. 3.(2006,湖北襄樊)某涵洞的截面是抛物线型,如图1所示,在图中建立的直角坐标系中, 抛物线的解析式为y=-1x2,当涵洞水面宽AB为12m时,水面到桥拱顶点O的距离 4 为m. 图1图2 4.(2006,ft西)甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一颗十分关键的球,出手点为P, 1 羽毛球飞行的水平距离s(m)与其距地面高度h(m)之间的关系式为h=- 12 3 .如图2,已知球网AB距原点5m,乙(用线段CD表示)扣球的最大高度为 2 s2+2s+ 3 9 m, 4 设乙的起跳点C的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导 致接球失败,则m的取值范围是. 5. 若抛物线y=1x2与直线y=x+m只有一个公共点,则m的值为. 2 6.设抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+5的图像与x轴只有一个交点,则a18+323a-6的值 4 为. 7.已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于. 8.(2008,安徽)图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像,在下列说法中: ①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3;③a+b+c>0;④当x>1时,y随着x 的增大而增大. 正确的说法有.(请写出所有正确说法的序号) 图3图4图5 二、选择题 9.(2006,绍兴)小敏在某次投篮球中,球的运动路线是抛物线y=-1x2+3.5的一部分(图 5 4),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离是() A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m 10. 当m在可以取值范围内取不同的值时,代数 的最小值是() A.0B.5C.3D.9 11.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示,则下列结论: ①a>0,②c>0,③b2-4ac>0,其中正确的个数是() A.0个B.1个C.2个D.3个 12.抛物线y=x2+(2m-1)x+m2与x轴有两个交点,则m的取值范围是() 1 A. m> 4 1 B.m>- 4 1 C.m< 4 1 D.m<- 4 13. x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04 根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是() A.6 14.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的顶点在第一象限且经过点(0,1)和(-1,0),则S=a+b+c的值的变化范围是() A.0 15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值是零,那么代数式│a│+ 4ac-b2 4a 的化简结果是 () A.aB.-aC.D.0 16.(2006,甘肃兰州)已知y=2x2的图像是抛物线,若抛物线不动,把x轴,y轴分别向上,向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是()A.y=2(x-2)2+2B.y=2(x+2)2-2 C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2 三、解答题 17.(2006,吉林省)如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状,大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20m,顶点M距水面6m(即MO=6m),小孔顶点N距水面4.5m(即NC=4.5m).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF. 18.(2008,安徽)杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处, 其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-3x2+3x+1的一部分,如图所示. 5 (1)求演员弹跳离地面的最大高度; (2) 已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4m,问这次表演是否成功? 请说明理由. 19.(2006,沈阳市)某企业信息部进行市场调研发现: 信息一: 如果单独投资A种产品,则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系: yA=kx,并且当投资5万元时,可获利润2万元; 信息二: 如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系: yB=ax2+bx,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元时,可获得3.2万元. (1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式; (2)如果企业同时对A,B两种产品共投资10万元.请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少. 20.(2008,烟台)如图所示,抛物线L1: y=-x2-2x+3交x轴于A,B两点,交y轴于M 点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2,L2交x轴于C,D两点. (1)求抛物线L2对应的函数表达式; (2)抛物线L1或L2在x轴下方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四 边形是平行四边形.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点P是抛物线L1上的一个动点(P不与点A,B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上,请说明理由. 21.已知: 二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(0,4),顶点在x轴上,且对称轴在y轴的右侧.设直线y=x与二次函数图像自左向右分别交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,且OP: PQ=1: 3. (1)求二次函数的解析式; (2)求△PAQ的面积; (3)在线段PQ上是否存在一点D,使△APD≌△QPA,若存在,求出点D坐标,若不存在,说明理由. 22.(2005,武汉市)已知二次函数y=ax2-ax+m的图像交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点,x1 (1)求此二次函数的解析式; (2)在第一象限,抛物线上是否存在点P,使S△PAC=6? 若存在,请你求出点P的坐标; 若不存在,请你说明理由. 答案: 1.y=-2x2+2x+42.2;y=x2+4x+43.94.5 1 5.- 2 6.57967.68.①②④9.B10.B11.C 12.C13.C14.A15.B16.B 17.设抛物线解析式为y=ax2+6,依题意得,B(10,0). ∴a×102+6=0,解得a=-0.06.即y=-0.06x2+6, 当y=4.5时,-0.06x2+6=4.5,解得x=±5, ∴DF=5,EF=10, 即水面宽度为10m. 18. (1)y=-3x2+3x+1=-3(x-5)2+19. 5524 ∵-3<0,∴函数的最大值是19. 54 19 答: 演员弹跳离地面的最大高度是m. 4 (2)当x=4时,y=-3×42+3×4+1=3.4=BC,所以这次表演成功. 5 19. (1)当x=5时,yA=2,2=5k,k=0.4. ∴yA=0.4x,当x=2时,yB=2.4;当x=4时,yB=3.2. ⎧2.4=4a+2b, ∴ ⎩3.2=16a+4b. ∴yB=-0.2x2+1.6x. ⎧a=-0.2, 解得 ⎩b=1.6. (2)设投资B种商品x万元,则投资A种商品(10-x)万元,获得利润W万元,根据题意可得W=-0.2x2+1.6x+0.4(10-x)=-0.2x2+1.2x+4. ∴W=-0.2(x-3)2+5.8. 当投资B种商品3万元时,可以获得最大利润5.8万元. 所以投资A种商品7万元,B种商品3万元,这样投资可以获得最大利润5.8万元.20. (1)令y=0时,得-x2-2x+3=0, ∴x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),B(1,0). ∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2, ∴C(-1,0),D(3,0). ∴抛物线L2为y=-(x+1)(x-3).即y=-x2+2x+3. (2)存在.如图所示. 令x=0,得y=3,∴M(0,3). ∵抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的, ∴点N(2,3)在L2上,且MN=2,MN∥AC.又∵AC=2,∴MN=AC. ∴四边形ACNM为平行四边形. 同理,L1上的点N′(-2,3)满足N′M∥AC,N′M=AC, ∴四边形ACMN′是平行四边形. ∴N(2,3),N′(-2,3)即为所求. 11 (3)设P(x1,y1)是L1上任意一点(y1≠0),则点P关于原点的对称点Q(-x1,-y1),且y1=-x2-2x+3, 1 将点Q的横坐标代入L2,得yQ=-x2-2x1+3=y1≠-y1. ∴点Q不在抛物线L2上.21. (1)抛物线过(0,4)点. ∴c=4, ∴y=ax2+bx+4 又OP: PQ=1: 3, ∴x1: x2=1: 4 ⎧y=x ⎩ 由⎨y=ax2+bx+4 得ax2+(b-1)x+4=0, ∵x1,x2是该方程的两个根, ∴x+x=-b-1,x·x=4. 121 消去x1得25a=(b-1)2. ∵抛物线的对称轴在y轴右侧 ∴-b 2a >0, ∴b<0,又抛物线的顶点在x轴上, a ∴b2=16a得a=1,b=-4(b=4舍去). 9 ∴y=x2-4x+4. (2)如图所示, S△PAQ=S△AQO-S△APO 11 =×4×x-×4×x=2(x-x)=2 =2=2 =6. 22 (3)存在点D,设D(m,n)易得P(1,1),Q(4,4), 由△APD∽△QPA得PA2=PQ·PD,运用勾股定理得│m-1│=5,得m=8或2. 333 ∵1 ∴D(8,8). 33 22. (1)∵AB=3,x1 ∵x2-x1=3. 由根与系数的关系有x1+x2=1, ∴x1=-1,x2=2. ∴OA=1,OB=2,x·x=m=-2. 12 ∵tan∠BAC-tan∠ABC=1, ∴=1, ∴OC=2 ∴m=-2,a=1. ∴此二次函数的解析式为y=x2-x-2. (2)在第一象限,抛物线上存在一点P使S△APC=6. 解法一: 过点P作直线MN∥AC交x轴于点M,交y轴于点N,连接PA,PC,MC,NA,如图所示. ∵MN∥AC, ∴S△MAC=S△NAC=S△PAC=6. 由 (1)有OA=1,OC=2 ∴1×AM×2=1×CN×1=6, 22 ∴AM=6,CN=12. ∴M(5,0),N(0,10). ∴直线MN的解析式为y=-2x+10. ⎨ ⎧y=-2x+10,⎧x1=3,⎧x2=-4, 由2得⎨y=⎨ (舍去). ⎩y=x-x-2.⎩14.⎩y2=18. ∴在第一象限,抛物线上存在点P(3,4),使S△PAC=6.解法二: 设AP与y(0,n)(n>0). ∴直线AP的解析式为y=nx+n. ⎧y=x2-x-2, ⎩ ⎨y=nx+n. ∴x2-(n+1)x-n-2=0, ∴xA+xP=n+1, ∴xP=n+2. 111 又S△PAC=S△ADC+S△PDC=2CD·AO+2CD·xp=2CD(AO+xp). ∴1(n+2)(1+n+2)=6,n2+5n-6=0. 2 ∴n=-6(舍去)或n=1. ∴在第一象限,抛物线上存在点P(3,4),使S△PAC=6. 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