走向高考高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题八.docx
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走向高考高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题八
阶段性测试题八(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2014·山东省博兴二中质检)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若两直线垂直,则3m+m(2m-1)=0,∴m=0或-1,故选A.
2.(文)(2014·三峡名校联盟联考)直线x-y+1=0与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是( )
A.相离B.相切
C.相交且过圆心D.相交但不过圆心
[答案] B
[解析] 圆心C(1,0)到直线的距离d==,∴选B.
(理)(2014·天津市六校联考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是( )
A.[-3,-1]B.[-1,3]
C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
[答案] C
[解析] 由条件知,≤,∴-3≤a≤1,故选C.
3.(2014·韶关市曲江一中月考)已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )
A.B.
C.D.
[答案] C
[解析] 由条件知,a2+5=9,∴a2=4,∴e==.
4.(2014·山西曲沃中学期中)对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,则m>0,n>0,从而mn>0,但当mn>0时,可能有m=n>0,也可能有m<0,n<0,这时方程mx2+ny2=1不表示椭圆,故选B.
5.(文)(2014·云南景洪市一中期末)点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25内一条弦AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.x+y-1=0B.2x+y-3=0
C.x-y-3=0D.2x-y-5=0
[答案] C
[解析] 圆心C(1,0),由条件知PC⊥AB,∴kAB=-=1,∴直线AB的方程为y-(-1)=1×(x-2),即x-y-3=0.
(理)(2014·银川九中一模)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2
[答案] B
[解析] 设圆心C(x0,-x0),则
=,
∴x0=1,∴圆心C(1,-1),半径r=,
方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
6.(2014·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,则椭圆方程为( )
A.+=1或+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
[答案] C
[解析] 由条件知a=6,e==,∴c=2,∴b2=a2-c2=32,故选C.
7.(2014·云南景洪市一中期末)从抛物线y2=4x图象上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线焦点为F,则△MPF的面积为( )
A.10B.8
C.6D.4
[答案] A
[解析] 设P(x0,y0),∵|PM|=5,∴x0=4,∴y0=±4,
∴S△MPF=|PM|·|y0|=10.
8.(文)(2014·河南淇县一中模拟)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.-2
[答案] B
[解析] 由条件知,|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,
由条件知,(2c)2=(a-c)·(a+c),∴a2=5c2,∴e=.
(理)(2014·抚顺二中期中)在△ABC中,AB=BC,cosB=-.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=( )
A.B.
C.D.
[答案] C
[解析] 设|AB|=x>0,则|BC|=x,
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB
=x2+x2-2x2·(-)=x2,∴|AC|=x,
由条件知,|CA|+|CB|=2a,AB=2c,
∴x+x=2a,x=2c,∴c====.
9.(2014·威海期中)已知变量x,y满足约束条件则z=的最大值为( )
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分,z=表示平面区域内的点P(x,y)与原点连线的斜率,∴kOA≤≤kOB,
∵kOA==-,kOB=,故-≤≤,选B.
10.(文)(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( )
A.B.
C.2D.2
[答案] B
[解析] ∵抛物线y2=4x的焦点(,0)为双曲线的右焦点,∴c=,
又=,结合a2-b2=c2,得e=,故选B.
(理)(2014·浙北名校联盟联考)过双曲线-=1(a>0,b>0)上任意一点P,作与实轴平行的直线,交两渐近线于M、N两点,若·=2b2,则该双曲线的离心率为( )
A.B.
C.D.
[答案] C
[解析] 由条件知,双曲线两渐近线方程为y=±x,设P(x0,y0),则-=1,∴x-=a2,
由y=y0与y=±x得M(-,y0),N(,y0),
∵·=(--x0,0)·(-x0,0)=x-=a2=2b2,
又b2=c2-a2,∴3a2=2c2,∴e==.
11.(2014·山西曲沃中学期中)已知圆C1:
(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:
(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5-4B.-1
C.6-2D.
[答案] A
[解析] ⊙C1的圆心C1(2,3),半径r=1,⊙C2的圆心C2(3,4),半径R=3,
设E为x轴上任一点,EC1交⊙C1于A,EC2交⊙C2于B,则|EA|+|EB|=|EC1|+|EC2|-4为E到⊙C1与⊙C2上的点的距离之和的最小值,而|EC1|+|EC2|的最小值为|C1′C2|(其中C1′为C1关于x轴的对称点),∴当P为直线C1′C2:
7x-y-17=0与x轴的交点(,0)时,|PM|+|PN|取到最小值,|PC1|+|PC2|-4=+-4=+-4=5-4,故选A.
12.(2014·海南省文昌市检测)设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.4B.8
C.24D.48
[答案] C
[解析] 由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,∴c=5,∴|F1F2|=10,
∴△PF1F2为直角三角形,S△PF1F2=|PF1||PF2|=24.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)
13.(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x2+ky2=3k(k>0)的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是________.
[答案]
[解析] 抛物线的焦点为F(3,0),椭圆的方程为:
+=1,∴3k-3=9,∴k=4,∴离心率e==.
14.(2014·浙北名校联盟联考)已知直线l与圆O:
x2+y2=1在第一象限内相切于点C,并且分别与x,y轴相交于A、B两点,则|AB|的最小值为________.
[答案] 2
[解析] 设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0,
l:
+=1,即bx+ay-ab=0,
∵l与⊙O相切,∴=1,∴a2+b2=a2b2,
∵a2+b2≥2ab,∴(a2+b2)2≥4a2b2=4(a2+b2),
∴a2+b2≥4,∴≥2,即|AB|的最小值为2.
15.(文)(2013·泗阳县模拟)两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,则双曲线-=1的离心率为________.
[答案]
[解析] ∵两个正数a,b的等差中项是,等比中项是2,且a>b,
∴解得a=5,b=4,
∴双曲线方程为-=1,∴c==,
∴双曲线-=1的离心率e==.
(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知点F1、F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是________.
[答案] (1,1+)
[解析] ∵双曲线关于x轴对称,∴A、B两点关于x轴对称,∴|F2A|=|F2B|,△ABF2为锐角三角形⇔∠AF2B为锐角⇔∠AF2F1<45°⇔|AF1|<|F1F2|,
∵F1(-c,0),∴A(-c,),即|AF1|=,
又|F1F2|=2c,
∴<2c,∴c2-2ac-a2<0,∴e2-2e-1<0,
∴1- ∵e>1,∴1 16.(2014·山西曲沃中学期中)在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线W. (1)给出下列三个结论: ①曲线W关于原点对称; ②曲线W关于直线y=x对称; ③曲线W与x轴非负半轴,y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于; 其中,所有正确结论的序号是________; (2)曲线W上的点到原点距离的最小值为________. [答案] (1)②③ (2)2- [解析] 由条件知: |x|+|y|=, 两边平方得,|xy|=-x-y+1, 当xy≥0时,xy=-x-y+1,∴y==-1, 当xy<0时,-xy=-x-y+1, ∴(x-1)(y-1)=0,∴x=1(y<0)或y=1(x<0), ∴曲线W如图所示. 由图易知: W的图象关于直线y=x对称,关于原点不对称,W与x轴、y轴非负半轴围成图形的面积S<×1×1=, 由得x=y=-1,∴A(-1,-1)到原点距离d=为W上点到原点距离的最小值. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)(2014·广东执信中学期中)已知两点M(-1,0)、N(1,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||=·. (1)求动点P的轨迹方程; (2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点,K(m,0)是x轴上的一动点,试讨论直线AK与圆x2+(y-2)2=4的位置关系. [解析] (1)设P(x,y),则=(2,0),=(x-1,y),=(x+1,y). ∵||·||=·, ∴2=2(x+1),化简得y2=4x. 所以动点P的轨迹方程为y2=4x. (2)由A(t,4)在轨迹y2=4x上,则42=4t,解得t=4,即A(4,4). 当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离.当m≠4时,直线AK的方程为y=(x-m),即4x+(m-4)y-4m=0. 圆x2+(y-2)2=4的圆心(0,2)到直线AK的距离d=, 令d=<2,解得m<1; 令d==2,解得m=1; 令d=>2,解得m>1. 综上所述,当m<1时,直线AK与圆x2+(y-2)2=4相交; 当m=1时,直线AK与圆x2+(y-2)2=4相切; 当m>1时,直线AK与圆x2+(y-2)2=4相离. 18.(本小题满分12分)(文)(2014·山东省博兴二中质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上. (1)求圆C的方程; (2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值. [解析] (1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0). 故可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2= (2)2+t2,解得t=1. 则圆C的半径为3. ∴圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组: 消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0. 从而x1+x2=4-a,x1x2=.① 由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0, 又y1=x1+a,y2=x2+a, 所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.② 由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1. (理)(2014·北京西城区期末)已知A,B是抛物线W: y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k,O为坐标原点. (1)若抛物线W的焦点在直线AB的下方,求k的取值范围; (2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,求|OD|的最小值. [解析] (1)抛物线y=x2的焦点为(0,). 由题意得直线AB的方程为y-1=k(x-1), 令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k). 因为抛物线W的焦点在直线AB的下方, 所以1-k>,解得k<. (2)由题意,设B(x1,x),C(x2,x),D(x3,y3), 联立方程消去y得x2-kx+k-1=0,由韦达定理得1+x1=k,所以x1=k-1. 同理,得AC的方程为y-1=-(x-1),x2=--1. 对函数y=x2求导,得y′=2x, 所以抛物线y=x2在点B处的切线斜率为2x1,所以切线BD的方程为y-x=2x1(x-x1),即y=2x1x-x. 同理,抛物线y=x2在点C处的切线CD的方程为y=2x2x-x. 联立两条切线的方程解得x3==(k--2),y3=x1x2=-k, 所以点D的坐标为((k--2),-k). 因此点D在定直线2x+y+2=0上. 因为点O到直线2x+y+2=0的距离d==,所以|OD|≥,当且仅当点D(-,-)时等号成立.由y3=-k=-,得k=,验证知符合题意.所以当k=时,|OD|有最小值. 19.(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C: +=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标. [解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C的方程,得=1,∴b=4, 又e==,则=,∴1-=,∴a=5, ∴椭圆C的方程为+=1. (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3), 设直线与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入椭圆方程得+=1,即x2-3x-8=0,由韦达定理得x1+x2=3,所以线段AB中点的横坐标为=,纵坐标为(-3)=-,即所截线段的中点坐标为(,-). (理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程. [解析] (1)设椭圆方程为+=1,(a>0,b>0), ∵c=1,=,∴a=2,b=, ∴所求椭圆方程为+=1. (2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l方程为y=kx+1,则由消去y得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且Δ>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),∴ 由=2得x1=-2x2, ∴消去x2得()2=, 解得k2=,∴k=±, 所以直线l的方程为y=±x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0. 20.(本小题满分12分)(文)(2014·浙北名校联盟联考)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点P(1,). (1)求椭圆C的方程; (2)设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点,问在椭圆C上是否存在一点M,使四边形AMBF2为平行四边形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由. [解析] (1)∵c=1,=,a2=b2+c2, ∴a=2,b=,∴椭圆C的方程为+=1. (2)假设存在符合条件的点M(x0,y0), 设直线l的方程为x=my-1, 由消去x得: (3m2+4)y2-6my-9=0, 由条件知Δ>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=, ∴AB的中点为(-,), ∵四边形AMBF2为平行四边形, ∴AB的中点与MF2的中点重合, 即∴M(-,), 把点M的坐标代入椭圆C的方程得: 27m4-24m2-80=0,解得m2=, ∴存在符合条件的直线l,其方程为: y=±(x+1). (理)(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为e=,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过右焦点F作斜率为-的直线l交曲线C于M、N两点,且++=0,又点H关于原点O的对称点为点G,试问M、G、N、H四点是否共圆? 若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由. [解析] (1)由题意可得圆的方程为x2+y2=b2, ∵直线x-y+=0与圆相切,∴d==b,即b=1, 又e==,及a2=b2+c2,得a=, 所以椭圆方程为+y2=1. (2)∵直线l过点F(1,0),且斜率为k=-, ∴l的方程为y=-(x-1). 联立方程组消去y得2x2-2x-1=0. 设M(x1,y1)、N(x2,y2),可得 于是 又++=0,得=(-x1-x2,-y1-y2), 即H(-1,-), 而点G与点H关于原点对称,于是可得点G(1,). ∴kGH=. 若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2,则有l1: y-=(x-),l2: y=-x. 联立方程组解得l1和l2的交点为O1(,-). 因此,可求得|O1H|==, |O1M|==. 所以M、G、N、H四点共圆,且圆心坐标为O1(,-),半径为. 21.(本小题满分12分)(文)(2014·绵阳市南山中学检测)已知椭圆C: +=1(a>b>0)经过(1,1)与(,)两点. (1)求椭圆C的方程; (2)过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证: ++为定值. [解析] (1)将(1,1)与(,)两点坐标代入椭圆C的方程得,解得 ∴椭圆C的方程为+=1. (2)由|MA|=|MB|知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A、B关于原点对称. ①若点A、B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点,此时 ++=++=2(+)=2. 同理,若点A、B是椭圆的长轴顶点,则点M是椭圆的一个短轴顶点,此时 ++=++=2(+)=2. ②若点A、B、M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k≠0), 则直线OM的方程为y=-x,设A(x1,y1),B(x2,y2), 由解得x=,y=, ∴|OA|2=|OB|2=x+y=, 同理|OM|2=, 所以++=2×+=2,故++=2为定值. (理)(2014·浙江台州中学期中)已知焦点在y轴上的椭圆C1: +=1经过点A(1,0),且离心率为. (1)求椭圆C1的方程; (2)过抛物线C2: y=x2+h(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N,记线段MN与PA的中点分别为G、H,当GH与y轴平行时,求h的最小值. [解析] (1)由题意可得解得a=2,b=1, 所以椭圆C1的方程为x2+=1. (2)设P(t,t2+h),由y′=2x知,抛物线C2在点P处的切线的斜率为k=y′|x=t=2t,所以MN的方程为y=2tx-t2+h,代入椭圆方程得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0, 化简得4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0, 又MN与椭圆C1有两个交点, ∴Δ=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0,① 设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点G的横坐标为x0,则 x0==, 设线段PA的中点H横坐标为x3=, ∵GH与y轴平行,∴x0=x3,即=,② 显然t≠0,∴h=-(t++1),③ 当t>0时,t+≥2,当且仅当t=1时取得等号,此时h≤-3不符合①式,故舍去; 当t<0时,(-t)+(-)≥2,当且仅当t=-1时取得等号,此时h≥1,满足①式. 综上,h的最小值为1. 22.(本小题满分14分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当直线l的斜率为1时,坐标原点O到直线l的距离为. (1)求椭圆C的方程; (2)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=+成立? 若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由. [解析] (1)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0, ∴O到l的距离为=, 由已知得,=,∴c=1. 由e==,得a=,∴b==. ∴所求椭圆C的方程为+=1. (2)假设C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=+成立, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则P(x1+x2,y1+y2), 由 (1),知C的方程为+=1. 由题意知,l的斜率一定不为0,故不妨设l: x=ty+1. 由消去x并化简整理得,(2t2+3)y2+4ty-4=0. 由韦达定理,得y1+y2=-, ∴x1+x2=ty1+1+ty2+1=t(y1+y2)+2 =-+2=, ∴P(,-). ∵点P在C上,∴+=1, 化简整理得,4t4+4t2-3=0,即(2t2+3)(2t2-1)=0,解得t2=. 当t=时,P(,-),l的方程为x-y-=0; 当t=-时,P(,),l的方程为x+y-=0. 故C上存在点P(,±),使=+成立,此时l的方程为x±y-=0. (理)(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线-x2=1的焦点重合,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求·的取值范围. [解析] (1)由条件知e==,b=, ∴a2=4,b2=3,故椭圆的方程为+=1. (2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4), 由消去y得: (4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0, 由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0得: k2<, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=, ∴y1y2=k(x1-4)k(x2-4)=k2x1x2-4k
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