高中数学选修11专题辅导 十.docx
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高中数学选修11专题辅导十
高中数学选修1-1专题辅导十导数的应用三
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能为
( )
2.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则( )
A.a<-1B.a>-1C.a>-
D.a<-
3.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.-2B.0C.2D.4
4.若函数f(x)=
x3-
ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2B.5≤a≤7
C.4≤a≤6D.a≤5或a≥7
5.(2013·重庆)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( )
6.函数y=xe-x,x∈[0,4]的最小值为( )
A.0B.
C.
D.
7.f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+x·f′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为( )
A.(-4,0)∪(4,+∞)B.(-4,0)∪(0,4)
C.(-∞,-4)∪(4,+∞)D.(-∞,-4)∪(0,4)
8.已知函数f(x)的定义域为R,f′(x)为f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图象
如图所示,且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式f(x2-6)>1的解集为( )
A.(-3,-2)∪(2,3)B.(-
,
)
C.(2,3)D.(-∞,-
)∪(
,+∞)
二、填空题(每小题5分,共15分)
9.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为________.
10.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m=________.
11.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.
12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-2,2])对应的曲线C过坐标原点,且在x=±1处切线的斜率均为-1,则f(x)的最大值和最小值之和等于________.
13.设函数f(x)=p
-2lnx(p是实数),若函数f(x)在其定义域内单调递增,则实数p的取值范围为______.
14.已知函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是________.
15.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是__________.
16.若f(x)=
,0 三、解答题 17.设函数f(x)=ax3-3x2(a∈R),且x=2是y=f(x)的极值点. (1)求实数a的值,并求函数的单调区间; (2)求函数g(x)=ex·f(x)的单调区间. 18.已知函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+3x+2的图象相切,记F(x)=f(x)g(x). (1)求实数b的值及函数F(x)的极值; (2)若关于x的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根,求实数k的取值范围. 19.已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值 . (1)求a,b的值; (2)求函数y=f(x)的单调区间. 20.(2012·江西)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f (1)=0. (1)求a的取值范围; (2)设g(x)=f(x)-f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 高中数学选修1-1专题辅导十导数的应用三 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能为 ( ) 答案 C 解析 根据f′(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除A,D;从适合f′(x)=0的点可以排除B. 2.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则( ) A.a<-1B.a>-1 C.a>- D.a<- 答案 A 解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a. ∵函数y=ex+ax有大于零的极值点, 则方程y′=ex+a=0有大于零的解, ∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1. 3.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2B.0C.2D.4 答案 C 解析 ∵f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,得x=0或x=2. ∴f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函数. ∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2. 4.若函数f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,则实数a的取值范围是( ) A.a≤2B.5≤a≤7 C.4≤a≤6D.a≤5或a≥7 答案 B 解析 因为f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1, 所以f′(x)=x2-ax+a-1, 由题意知当1 即x2-ax+a-1≤0在(1,4)上恒成立, ∴a(x-1)≥x2-1,a≥x+1(1 所以a≥5.同理a≤7. 5.(2013·重庆)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是( ) 答案 C 解析 ∵f(x)在x=-2处取得极小值, ∴当x<-2时,f(x)单调递减,即f′(x)<0; 当x>-2时,f(x)单调递增,即f′(x)>0. ∴当x<-2时,y=xf′(x)>0; 当x=-2时,y=xf′(x)=0; 当-2 当x=0时,y=xf′(x)=0; 当x>0时,y=xf′(x)>0. 结合选项中图象知选C. 6.函数y=xe-x,x∈[0,4]的最小值为( ) A.0B. C. D. 答案 A 解析 y′=-e-x(x-1), y′与y随x变化情况如下表: x 0 (0,1) 1 (1,4) 4 y′ + 0 - y 0 取极大值 当x=0时,函数y=xe-x取到最小值0. 7.f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+x·f′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为( ) A.(-4,0)∪(4,+∞)B.(-4,0)∪(0,4) C.(-∞,-4)∪(4,+∞)D.(-∞,-4)∪(0,4) 答案 D 解析 令g(x)=x·f(x),则g(x)为奇函数且当x<0时,g′(x)=f(x)+ x·f′(x)<0, ∴g(x)的图象的变化趋势如图所示: 所以xf(x)>0的解集为(-∞,-4)∪(0,4). 8.已知函数f(x)的定义域为R,f′(x)为f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图象 如图所示,且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式f(x2-6)>1的解集为( ) A.(-3,-2)∪(2,3) B.(- , ) C.(2,3) D.(-∞,- )∪( ,+∞) 答案 A 解析 由题图知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又f(-2)=1,f(3)=1,所以所求不等式等价于-2 二、填空题(每小题5分,共15分) 9.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为________. 答案 -37 解析 ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), ∴f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数, ∴当x=0时,f(x)=m最大.∴m=3,从而f(-2)=-37,f (2)=-5.∴最小值为-37. 10.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m=________. 答案 -2 解析 若f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数, 则m2-4=0,m=±2. 若g′(x)=-3x2+4x+m≤0恒成立, 则Δ=16+4×3m≤0,解得m≤- ,故m=-2. 11.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是________. 答案 a>2或a<-1 解析 ∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1], ∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2). 令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0. ∵函数f(x)有极大值和极小值, ∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根. 即Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2或a<-1. 12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-2,2])对应的曲线C过坐标原点,且在x=±1处切线的斜率均为-1,则f(x)的最大值和最小值之和等于________. 答案 0 解析 由曲线f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-2,2])过坐标原点可知c=0. ∵f′(x)=3x2+2ax+b,由已知得 解得a=0,b=-4, ∴f(x)=x3-4x,f(x)在x∈[-2,2]上有最大值,最小值,且函数f(x)=x3-4x为奇函数,∴函数f(x)=x3-4x的最大值和最小值之和为0. 13.设函数f(x)=p -2lnx(p是实数),若函数f(x)在其定义域内单调递增,则实数p的取值范围为______. 答案 [1,+∞) 解析 易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为f′(x)= ,要使f(x)为单调增函数,须f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即px2-2x+p≥0在(0,+∞)上恒成立,即p≥ = 在(0,+∞)上恒成立,又 ≤1, 所以当p≥1时,f(x)在(0,+∞)上为单调增函数. 14.已知函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是________. 答案 (0,1) 解析 f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 显然a>0,f′(x)=3(x+ )(x- ), 由已知条件0< <1,解得0 15.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是__________. 答案 (-2,2) 解析 由于函数f(x)是连续的,故只需要两个极值异号即可.f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,得x=±1,只需f(-1)·f (1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2). 16.若f(x)= ,0 答案 f(a) 解析 f′(x)= ,∵0 ∴ >0,即f′(x)>0, ∴f(x)为增函数,∴f(a) 三、解答题 17.设函数f(x)=ax3-3x2(a∈R),且x=2是y=f(x)的极值点. (1)求实数a的值,并求函数的单调区间; (2)求函数g(x)=ex·f(x)的单调区间. 解 (1)f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f′ (2)=0,即6(2a-2)=0, 因此a=1. 经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点. 所以f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 所以y=f(x)的单调增区间是(-∞,0),(2,+∞); 单调减区间是(0,2). (2)g(x)=ex(x3-3x2),g′(x)=ex(x3-3x2+3x2-6x) =ex(x3-6x)=x(x+ )(x- )ex, 因为ex>0,所以y=g(x)的单调增区间是(- ,0),( ,+∞);单调减区间是(-∞,- ),(0, ). 18.已知函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+3x+2的图象相切,记F(x)=f(x)g(x). (1)求实数b的值及函数F(x)的极值; (2)若关于x的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根,求实数k的取值范围. 解 (1)依题意,令f′(x)=g′(x),得1=2x+3, 故x=-1,∴函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的切点为(-1,0).将切点坐标代入函数f(x)=x+b可得b=1. (或: 依题意方程f(x)=g(x), 即x2+2x+2-b=0有惟一实数解, 故Δ=22-4(2-b)=0,即b=1) ∴F(x)=(x+1)(x2+3x+2)=x3+4x2+5x+2, 故F′(x)=3x2+8x+5=3(x+1) , 令F′(x)=0,解得x=-1或x=- , 列表如下: x (-∞,- ) - (- ,-1) -1 (-1,+∞) F′(x) + 0 - 0 + F(x) 极大值 极小值0 从上表可知F(x)在x=- 处取得极大值 ,在x=-1处取得极小值0. (2)由 (1)可知函数y=F(x)的大致图象如图所示.作函数y=k的图象,当y=F(x)的图象与函数y=k的图象有三个交点时,关于x的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根,结合图形可知: k∈ . 19.已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值 . (1)求a,b的值; (2)求函数y=f(x)的单调区间. 解 (1)f′(x)=2ax+ .又f(x)在x=1处有极值 . 得 即 解之得a= ,b=-1. (2)由 (1)可知f(x)= x2-lnx,其定义域是(0,+∞), 且f′(x)=x- = . 由f′(x)<0,得0 所以函数y=f(x)的单调减区间是(0,1), 单调增区间是(1,+∞). 20.(2012·江西)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f (1)=0. (1)求a的取值范围; (2)设g(x)=f(x)-f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由f(0)=1,f (1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex, 依题意需对任意x∈(0,1),有f′(x)<0. 当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f′(0)=-a<0, 所以需f′ (1)=(a-1)e<0,即0 当a=1时,对任意x∈(0,1)有f′(x)=(x2-1)ex<0,f(x)符合条件; 当a=0时,对任意x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,f(x)符合条件; 当a<0时,因为f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故a的取值范围为0≤a≤1. (2)因为g(x)=(-2ax+1+a)ex, 所以g′(x)=(-2ax+1-a)ex. (i)当a=0时,g′(x)=ex>0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g (1)=e. (ii)当a=1时,对于任意x∈(0,1)有g′(x)=-2xex<0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2,在x=1处取得最小值g (1)=0. (iii)当0 >0. ①若 ≥1,即0 时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,在x=1处取得最大值g (1)=(1-a)e. ②若 <1,即
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