(2.)':
A^B=B,:
.B^A.
若B=0,满足BG/,此时2戸一1刁?
+3,即p>4.若B#0,则2p—lWp+3,则pW4.
':
B^A,.•.p+3<—l,或2p—l>2,
.°.p<—4,或p>|\.°.p<—4,或
、3
综上所述,实数p的取值范围为p<_4,或p>^.
18.设A={x|x2+or+b=Q},B={x|x2+cx+15=0},又A^JB={3,5},AHB={3},求实数a,b,c的值.
解\'A^B={3},:
.3EB,.-.32+3c+15=0,
..c=—8.
由方程—8x+15=0解得x=3或x=5,
:
.B={3,5}9由A^(AUB)={3,5}知,3一,5氣(否则5一2,与AHB={3}矛盾),
故必有力={3},方程^+ax+b=0有两相同的根3,由根与
系数的关系得3+3=—a,3X3=b,即a=~6,b=9,c=—8.
第二章检测试题
一、选择题(每小题5分,共10小题,共50分.从给出的A、B、
C、D四个选项中选出唯一正确的答案填在题后的括号内)
1.函数的定义域为()
A.[1,3)U(3,+°°)
C.[1,2)
答案A
答案D
3.函数乐)=y/l-2x-x的值域为()
1
——OO.———
,2
解析1—2兀上0,则xW*,
.•.乐)在[—8,上单调递减.
•\X%)的值域为一£+8)
答案c
4.如果二次函数y=ax2+加+1的图象的对称轴是x=l,并且通过点/(T,7),那么a,b的值分别是()
C.-2,4
D.-2,-4
解析由题意可知]2a八
〔q—b+1=7,
tz=2,b=—4.
答案B
5.设偶函数的定义域为R,当x£[0,+°°)时是增函数,则几一2),»,几一3)的大小关系是()
A->M-3M-2)
B.AtiM-2M-3)
c.>M-3M-2)
D.心)(—2)(—3)
解析•/>)是偶函数,.y/oOhA—Ji).
••7(劝在[0,+s)上是增函数,
在0)上是减函数.
答案A
6.
已知aMO,b<0,—次函数是y=ax+b,二次函数是尹=aF,则下列图象中可以成立的是()
解析选项A中,一次函数和二次函数中a的符号不一致;选项B中,b>0;选项D中,一次函数和二次函数中a的符号不一致,且b>0,故选C.
答案C
7.函数/:
{1,hi,边}满足恥)]>1,这样的函数有()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析由题意可知,只有几1)=迈,人迈)=迈成立.
答案A
8.函数几对的图象是如图所示折线段048,若A(l,2),5(3,0),函数g(x)=(x-l)Ax),则函数g(x)的最大值为()
解析仆I],
〔一x十3,xU(l,3]
f2x2~2x,[0,1],
[—x十4x—3,xU(l,3].
.•.当%e[0,l]时,g(x)的最大值为g(0)=0;
当%e(i,3]时,g(x)的最大值为g
(2)=l.
综上所述,加:
)在[0,3]上的最大值为1.
答案B
9.已知y=fix)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,则方程沧)=0的所有实根之和是()
A.4B.2
C.1D.0
解析因为是偶函数且图象与兀轴有四个交点,这四个交点每组两个,且关于原点一定是对称的,所以这四个交点的横坐标之和是0,即方程几兀)=0的所有实根之和是0.
答案D
10.设函数J(x)=x|x|+bx+c(b,cWR),则下列说法正确的个数为()
①c=0时,y=f{x)是奇函数;②尹=/(兀)的图象关于(0,c)对称;③b=0,c>0时,方程沧)=0只有一个实数根;④尹=沧)至多有2个占
N八、、•
A.4B.3
C.2D.1
解析当c=0时,f(x)=x\x\-]rbx,
满足
.•.当c=0时,沧)是奇函数,它的图象关于原点对称.
•./>)的图象是由函数y=x\x\+bx的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位得到,
:
.fix)的图象关于点(0,c)对称.
当b=0时,/(x)=xM+c=0..
*.*c>0,x<0,x=—\[c.
当b<0,c=0时,加:
)有三个零点,即兀=0,x=±b.
综上所述,①②③正确,④错误.
答案B
二、填空题(每小题5分,共4小题,共20分.把正确答案写在横线上)
11•若才£|=计7'则函数人兀)=;•
答案十且兀工一1)
12.若函数»=Ax2+伙一l)x+2是偶函数,则兀)的递减区间
为•
解析•/>)是偶函数,••比一1=0,即k=l,
:
.fix)=x+2,:
.fix)递减区间为(一8,0).
答案(一00,0)
13.定义在R上的奇函数舟)满足几4+x)=/x)+b则几2)=
解析令x=—2,则几2)=几一2)+1.
-.*»是奇函数,.•.欲2)=1,
姣案-
口木2
14.王老师给出了一个函数y=»,四个学生甲、乙、丙、丁各指出了这个函数的一个性质:
甲:
对于x£R,都有几1+x)=Al-x);
乙:
沧)在(一°°,0]上是减函数;
丙:
/(X)在(0,+8)上是增函数;
T:
_A0)不是沧)的最小值.
现已知其中恰有三人说的正确,则这个函数可能是(只
需写出一个这样的函数即可).
解析甲、乙、丁正确,这个函数可以是y=(x~l)2,答案不唯
答案y=(x-l)2(答案不唯一)
三、解答题(15、16、17题每题12分,18题14分,共50分.写出必要的演算步骤)
•x+2
15.已知函数几劝=匸二.
⑴点(3,14)在加:
)的图象上吗?
(2)当x=4时,求金)的值;
(3)当»=2时,求兀的值.
.3+25
解
(1)"3)=口=一戶4,
.•.点(3,14)不在夬兀)的图象上.
4+2
(2)当x=4时,/(4)=4_6=_3・
••2x12=x+2,•・兀=14.
16.设函数»=ax2+(b—8)x—a—ab的两个零点分别是一3和
⑴求沧);
(2)当函数Hx)的定义域是[0,1]时,求函数沧)的值域.
解(l)V/x)的两个零点是一3和2,
—3和2是方程ax2+(b—8)x—a—ab=0的两根,
.•.有%—3(b—8)—a—ab=0,①
4a+2(b—8)—a—ab=0.②
①一②得b=a+&③
将③代入②得4q+2q—a—a(a+8)=0,
即/+3a=0.
HMO,ci~—3..Ib=a+8=5.
•——3x2—3x+18.
(2)由
(1)得»=-3x2-3x+18
=-3卜+少+扌+18.
图象的对称轴方程是x=—又0
•,*AX)min=代1)=2XX)max=/(0)=18•
函数几X)的值域是[12,18].
17.某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场销售中发现此商品的销售单价X元与日销售量尹件之间有如下关系:
销售单价x(元)
30
40
45
50
日销售量巩件)
60
30
15
0
(1)在所给坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(X,尹)对应的点,并确定x与y的一个函数关系式y=fix)-,
40
30
2010
O1020304050
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系式写出P关于兀的函数关系式,并指出销售单价兀为多少时,才能获得最大日销售利润.
解
(1)坐标系画点略.
.•/>:
)=一3兀+150,30WxW50检验成立.
(2)P=(x-30)-(-3x+150)=-3x2+240x-4500,30240
对称轴x=—p小=40U[30,50],
当销售单价为40元时,所获利润最大.
18.设几兀)是定义在[2m,2~m]上的奇函数,且对任意a,b^[2m,2
-m],a-bHO时,都[一号)<0,
(1)求实数加的值;
(2)解不等式X2x-3)>/(x+l).
解⑴因为/(X)是定义在[2m,m]上的奇函数,所以2m+2—m
=0,m=~2.
(2)加=一2时,/(兀)的定义域为[-4,4].设Aj,[—4,4],且X[•.•对任意a,呻一4,4],
当a—b#O时,都捫")丁<0,
a—b
X]—X2
Txi—x2<0,X%])—Xx2)>0,所以,函数几兀)在[—4,4]上是单调减函数.
TW2x_3W4,
由X2x-3)>/(x+l)得<-4、2x—3解得一
所以原不等式的解集为]x—.
第三章检测试题
一、选择题(每小题5分,共10小题,共50分.从给出的A、B、
C、D四个选项中选出唯一正确的答案填在题后的括号内)
1.函数y=^+lg(5-3x)的定义域是()
_5、
_5「
A.
B.
0,3
\5)
\5「
C.
_1,M
D.
Lb3j
】gx20,
解析由函数的解析式得:
<兀>0,
、5—3兀>0,
0是方程2/+3x+l=0的两根,则才册的值为()
答案c
2.
设a,
A.8
C.-8
3解析由两根之和a+/3=—2,
答案A
3.
B.[0,4]
D.(0,4)
.•.^16-4¥e[0,4).
函数y=^16~4x的值域是(
A.[0,+°°)
C.[0,4)
解析•.•半>0,:
.0^16~4x<16,
答案C
4.已知沧)是定义在R上的偶函数,且沧)在[0,+°°)上为增函数,^2)=0,贝I]不等式Alog2x)>0的解集为()
A.(0,耳B.(4,+°°)
C.£,4(D(0,扣(4,+°°)
解析log2x>2,或log2x<—2,.'.x>4,或0<兀<才.
答案D
A.3
解析当xWO时,令%2+2%—3=0解得x=—3;当x>0时,令-2+liu=0解得x=e2,所以已知函数有两个零点,选B.
答案B
6.函数沧)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线尹二『关于尹轴对称,则»=()
A.ex+1B.
C.eFiD.e厂i
解析与曲线y=ex关于尹轴对称的曲线为y=e~x,函数y=e~x的图象向左平移一个单位长度可得函数沧)的图象,即»=e_(x+1)=e_x_1.
答案D
7.设«=log36,Zj=log510,c=log714,贝lj()
A.c>b>aB.b>c>a
C.a>c>bD.a>b>c
解析a=log36=1+log32,b—logs10—1H-log52,c=log714=l+log72,则只要比较log32,log52,log72的大小即可,在同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y=log7x的图象,由三个图象的相对位置关系,可知a>b>c,故选D.
答案D
(6—a)x—4a(x8.已知X-x)=]1<“、是(一°°,+°°)上的增函
[log/(兀三1),
数,则实数a的取值范围是()
A.|a
C.{a|lD.{a\a>6}
6~a>0,解析ya>\,.°.gWa<6.
、6—5aW0,
答案A
3
9.已知Ax)=a-2X的图象经过原点,则不等式几x)>扌的解集为
()
A.(—8,2)B.(—8,-2)
C.(-2,+°°)D.(2,+s)
解析由题意几0)=0,则a=\,.*.>)=1-2".
31“
.•.1-2x>4,.'.2x<^=2~2,/.x<~2.
答案B
10.已知a>b,函数f[x)=(x—a)(x—b}的图象如图所示,则函数g(x)=loga(x+b)的图象可能为()
解析由函数^x)=(x-a)(x~b)的图象可知,a>l,Q
答案B
二、填空题(每小题5分,共4小题,共20分.把正确答案写在横线上)
11.函数y=log„(2x-3)+1(q>0,且aHl)的图象恒过定点F,则点P的坐标是.
解析当2x—3=1时,即x=2时,y=l.
该函数的图象恒过点(2,1),即P(2,l).
答案(2,1)
1产°,
解析
(1)由]/(x)|^2:
=>|1>j_
Ix^3
n—3Wx<0.
卜三0,
⑵由皿刑费H
卜三0,
不等式阻)12*的解集为{x|—3WxW1}.
答案{x|—3WxWl}
13.已知a>0,且aHl,兀)=丄一当兀丘[1,+°°)时,均有
X
加0<*,则实数a的取值范围为•
解析在[1,+°°)上恒成立,
即*<在[1,+8)上恒成立.
在同一坐标系内画出y=~2与y=aX的图象,经分析可知d>\,或*答案k,Ju(i,+°°)
14.下列说法中,正确的是.
①任取Q0,均有342";②当a>0,且qHI时,有/>/;③尹=(V3)_X是增函数;④在同一坐标系中,y=2x的图象与y=2_x的图象关于尹轴对称.
解析②中,当a=*时,/=£/不满足a3>a:
③中,y
答案①④
三、解答题(15、16、17题每题12分,18题14分,共50分.写
出必要的演算步骤)
15•计算下列各式的值:
=(lg5+lg2)2=l.
16.已知fix)=logflT^^(a>0,且qHI).
1JC
(1)求加:
)的定义域;
(2)求使人x)>0的x的取值范围.
]+兀
解⑴要使几兀)有意义,X的取值必须满X—>0,
1X
故几兀)的定义域为(一1,1).
得戶>1,
解得0得0<严<1,
解得一l故当a>\时,所求X的范围为0<兀<1;
当0<«<1时,所求兀的范围为一1<兀<0.
17.已知沧)=2—尹若2笊2/)+/)$0对于炖[1,2]恒成立,求实数加的范围.
解•••炖[1,2],
n*%—步j+&2刽2o,
即m(22z-l)^-(24z-l).
V22-l>0,.,.m^-(22z+l).
•.*[1,2],.\-(l+22f)e[-17,-5].
:
.m三—5.
某学科知识的掌握程度,其中兀表示某学科知识的学习次数(xWN),人朗表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1)证明:
当时,掌握程度的增加量几兀+1)-»总是下降;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科,其中e005^1.05.
04
解
(1)证明:
当x却时,加■+1)~Ax)=(t二3)(t二I);
当x日时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,I)-/(.X)单调递减.
J.05
(2)由题意可知,0.1+151n^±=0.85,
•a005
••厂e
a—6
•.•126^(121,127),由此可知,该学科是乙学科.