初三数学等腰三角形知识精讲.docx
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初三数学等腰三角形知识精讲
初三数学等腰三角形知识精讲
一.本周教学内容:
等腰三角形
例1.已知:
如图,∠ABC,∠ACB的平分线交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E。
求证:
BD+EC=DE。
分析:
因为DE=DF+FE,即结论为BD+EC=DF+FE,分别证明BD=DF,CE=FE即可,于是运用“在同一三角形中,等角对等边”易证结论成立。
证明:
∵DE∥BC,
∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等)
又∵BF平分∠ABC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DB=DF(等角对等边)
同理:
EF=CE,
∴BD+EC=DF+EF
即BD+EC=DE。
例2.如图,C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE是等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O。
求证:
(1)∠AOB=120°;
(2)CM=CN;
(3)MN∥AB。
分析:
要证明∠AOB=120°,充分利用等边三角形的每个内角是60°的性质,由于∠AOB是△AOD的一个外角,则∠AOB=∠1+∠ADM+∠2,只须证∠1+∠2=60°即可,考虑到∠1+∠3=60°,故着手证明∠2=∠3。
随之易证△ACM≌△DCN得到CM=CN。
由于∠ACD=∠BCN=60°,所以∠MCN=60°,则△CMN为等边三角形,有∠CMN=60°=∠ACM,故MN∥AB。
证明:
(1)∵∠ACE=∠ACD+∠DCE
∠BCD=∠BCE+∠DCE
且∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠BCD
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴∠3=∠2
∵∠1+∠3=60°,∴∠1+∠2=60°
∴∠AOB=∠1+∠ADC+∠2=60°+60°=120°
(2)∵∠ACD=∠BCE=60°
∴∠MCN=60°
在△CMA和△CND中
∴△CMA≌△CND(ASA)
∴CM=CN
(3)∵CM=CN且∠MCN=60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠NMC=60°
又∵∠DCA=60°
∴∠NMC=∠DCA
∴MN∥AB
例3.已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,CD⊥AB(如图所示)。
求证:
(1)AB=2BC;
(2)CE=AE=EB。
分析:
本题考查有一个角是30°的直角三角形的性质,解题思路是先求得∠1,∠2,∠3的度数都为30°,再求得∠B=60°,从而求得∠A=30°,于是可证结论。
证明:
(1)∵CE、CD三等分∠ACB
∴∠1=∠2=∠3=30°
又∵CD⊥AB,∴∠B=60°,∠A=30°
在Rt△ABC中,∠A=30°,∴AB=2BC
(2)∵∠A=∠1=30°
∴CE=EA
又∵∠B=∠BCE=60°
∴△BCE是等边三角形,∴EC=EB
∴CE=EA=EB
例4.已知:
△ABC中,∠ACB>∠B(如图所示)。
求证:
AB>AC。
分析:
在大角内作一个角与小角相等,从而构成一个等腰三角形,再运用两边之和大于第三边即可证得结论成立。
证明:
在较大的∠ACB内作∠BCD=∠B,CD交AB于点D,则BD=DC。
在△ADC中
∵AD+DC>AC,∴AD+BD>AC
即AB>AC
例5.如图所示,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE。
求∠A的度数。
分析:
本题中没有给出一个角的度数,而要求∠A的度数,可运用三角形内角和定理,其解题思路是设某一个角的度数为x,其他各角都能用x的代数式表示,列出方程求解。
解:
设∠A=x°,
∵AD=DE=EB
∴∠DEA=∠A=x°,∠EBD=∠EDB
又∵∠DEA=∠EBD+∠EDB
∴∠EBD=∠EDB
∴∠BDC=∠A+∠ABD
∵BD=BC,AB=AC
∴∠BDC=∠BCD=∠ABC
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴
∴x=45,即∠A=45°。
例6.如图所示,△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们交于H,且AE=BE,求证:
AH=2BD。
分析:
要证AH=2BD,由于AD是等腰△ABC底边上的高,BC=2BD,故只需证AH=BC,为此证明△AHE和△BCE全等。
证明:
∵∠DAE+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°
∴∠DAE=∠EBC
∴△HAE≌△CBE
∴AH=BC
又∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=CD
∴BC=2BD,∴AH=2BD
例7.已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为
,△ABC的高为h。
“若点P在一边BC上(如图
(1)),此时
,可得结论:
”。
(1)请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P在△ABC内(如图
(2))、点P在△ABC外(如图(3))这两种情况时,上述结论是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,
与h之间又有怎样的关系?
请写出你的猜想,不需证明。
(2)若不用上述信息,你能用其他方法证明猜想结论吗?
分析:
弄清信息实质是等边三角形一边上的一点到其他两边距离之和等于一边上的高,类比可知过P作BC的平行线得到一新的等边三角形,结论易证。
解:
(1)如图
(2),当P在△ABC内时,结论
仍成立,过P作NQ∥BC分别交AB、AC、AM于N、Q、K。
依题意,有
,易知KM=PF=
∴
当P在△ABC外时,结论
不成立,它们的关系是
(2)如图(3),连接PA、PB、PC
又
,由AB=BC=AC得,
例8.已知:
如图所示,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE。
求证:
BD=CE
分析:
因为△ABC和△ADE是有公共顶点,并且底边在同一直线上的等腰三角形,所以作△ABC(或△ADE)的高AF,可同时平分BC、DE。
证明:
作AF⊥BC,垂足为F,则AF⊥DE
∵AB=AC,AD=AE
AF⊥BC,AF⊥DE
∴BF=CF,DF=EF(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∴BD=CE
例9.如图所示,在△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,AD=BD。
求证:
CD⊥AC。
分析:
由AB=2AC,AD=BD,选择作AB边上的中线DE,利用等腰三角形的性质。
既将AB折半,又使得已知条件AB=2AC。
转化为AE=AC,又得到∠AED=90°,为证∠ACD=90°作了铺垫。
证明:
取AB的中点E,连DE。
∵AB=2AC,∴AE=AC
∵AB=BD,∴DE⊥AB
在△ADE和△ADC中
∴△ADE≌△ADC(SAS)
∴∠ACD=∠AED=90°,即CD⊥AC
例10.如图所示,BC>AB,BD平分∠ABC,且AD=DC。
求证:
∠A+∠C=180°。
分析:
我们要设法将∠A和∠C“搬”到一块,拼成一个平角,现有以下几种方式。
证法一:
如图
(1)在BC上取BE=AB,连DE。
可证△ABD≌△EBD
(1)
得到DE=AD=DC,∠A=∠DEB
∴∠C=∠DEC
又∠BED+∠DEC=180°,故∠A+∠C=180°。
证法二:
如图
(2)延长BA至F,使BF=BC。
(2)
则有△BDF≌△BCD。
得CD=DF=AD。
∠C=∠F。
由∠BAF为平角可证结论成立。
证法三:
如图(3)过D分别作∠ABC的两边垂线,E、F为垂足,则DE=DF,△ADF≌△CDE,有∠C=∠DAF。
故命题得证。
(3)
证法四:
如图(4)过A作BD垂线交BC于G,交BD于H,连DG易证△ABH≌△GBH,则AB=BG,AH=HG。
根据“三线合一”知DG=AD=DC,∴△ABD≌△GBD,∠A=∠BGD。
故命题得证。
(4)
例11.阅读下题及证明过程:
已知:
如图所示,D是△ABC中BC边上的一点,E是AD上一点,EB=EC,∠BAE=∠CAE。
求证:
∠ABE=∠ACE。
证明:
在△ABE和△ACE中,
∴△ABE≌△ACE……第一步
∴∠ABE=∠ACE……第二步
上面的证明过程是否正确?
若正确,请写出每一步推理的依据。
若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的证明过程。
由∠BAE=∠CAE,想到过E作AB、AC边的垂线可找到正确的证明方法。
解:
上面证明过程不正确,错在第一步,正确的证明过程如下:
过E作EG⊥AB于G,EH⊥AC于H
则∠BGE=∠CHE=90°
在△AGE和△AHE中
∴△AGE≌△AHE(AAS)
∴EG=EH
在Rt△BGE和Rt△CHE中,
∴Rt△BGE≌Rt△CHE(HL)
∴∠ABE=∠ACE
(答题时间:
30分钟)
1.在△ABC中,AC=BC,且∠B=∠C,则△ABC是____________三角形。
2.若直角三角形斜边上的中线垂直于斜边,则它的两个锐角的度数是____________。
3.等腰三角形的一个角是80°,则其他两个角的度数是____________。
4.若一个三角形的三个外角度数比为2:
3:
3,则这个三角形是()
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
5.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状,两条长直角边在同一条直线上,则图中等腰三角形的个数是()
图1
A.4个B.3个C.2个D.1个
6.在以①30°,120°;②25°,75°;③38°,52°;④55°,70°;⑤42°,96°;⑥28°,62°;⑦56°,68°;⑧45°,45°;⑨60°,60°为两内角的三角形中,有等腰三角形()
A.3个B.4个C.5个D.6个
7.具有下列条件的两个等腰三角形,不能判断它们全等的是()
A.顶角、一腰对应相等
B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等
D.一底角、底边对应相等
8.如图2所示,△ABC和△BDE都是等边三角形。
图2
求证:
AE=CD。
9.如图3所示,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是点E、F,且BF=CE。
判断△ABC的形状并证明。
图3
10.(2005年,绵阳)如图4
(1)所示,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC,将此纸片沿AD剪开,得到两个三角形(如图4
(2)),若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是()
图4
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.(易错题)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角为____________。
12.(创新题)“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否,甲、乙、丙三位同学给出了如下论断:
甲:
正确。
因为若两边都是直角边,则用(S.A.S.)全等识别法就可以证它们全等。
乙:
正确。
因为若其中一边是直角边,另一边是斜边,则可用(H.L.)定理证全等。
丙:
不正确。
若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等,较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等,则显而易见两个三角形不全等。
请你就这三个同学的见解发表自己的意见。
13.(综合题)等腰三角形的底角是y、顶角是x,写出y与x的函数关系式,并回答:
y是不是x的一次函数?
自变量x的取值范围是什么?
14.(应用题)如图5所示,是城市部分街道示意图,AB=BC=AC,CD=CE=DE,A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点,“甲公共汽车”从A站出发,按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站,“乙公共汽车”从B站出发,沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。
如果甲、乙分别同时从A、B站出发,在各站耽误的时间相同,两车速度也一样,试问哪一辆公共汽车先到达指定站?
为什么?
图5
[参考答案]
1.等边
2.45°;45°
点拨:
等腰三角形三线合一。
3.80°,20°或50°,50°
点拨:
80°是锐角,即可以是顶角,也可以是底角。
4.D
点拨:
三个外角度数分别为
360°×
=90°,360°×
=135°,135°,
∴三角形为等腰直角三角形。
5.B
6.D
点拨:
根据三角形内角和定理及等腰三角形性质定理,排除②③⑥。
7.C
点拨:
本题综合考查三角形全等识别法和等腰三角形性质定理。
A(S.A.S.),B(S.S.S.),D(A.S.A.)。
8.证明:
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=60°
∵∠BDE是等边三角形
∴BE=BD,∠DBC=60°
由(S.A.S.)全等识别法可知△ABE≌△CBD,
∴AE=CD(全等三角形对应边相等)
9.解:
△ABC是等腰三角形
证明:
∵DF⊥AB,DE⊥AC
∴∠BFD=∠CED=90°
∵D是BC边上的中点,∴BD=CD
又∵BF=CE,
由(H.L.)全等识别法可知△BFD≌△CED。
∴∠B=∠C,即△ABC是等腰三角形。
10.D
11.75°或15°
点拨:
错解:
只填75°或只填15°。
错因分析:
只考虑顶角是锐角或只考虑顶角是钝角而造成漏解。
正解:
如答图所示。
(1)当顶角为锐角时,
∵
,∠BDA=90°
∴∠A=30°,则∠ABC=∠C=75°
(2)当顶角为钝角时
∵BD=
AB,∠BDA=90°
∴∠BAD=30°,则∠C=∠ABC=15°。
12.解:
甲、乙两同学的回答都是片面的。
他们都想当然地理解成两边是对应的。
恰恰原命题中丢掉了“对应”二字,丙同学的论断是正确的。
所以我们一定要重视全等三角形中的“对应”二字。
点拨:
本题的创新点是让学生讲自己的见解。
而本题恰又是一个易错题,甲、乙两同学的错误常出现在日常学习中,需引起注意。
13.解:
∵
∴
,∴y是x的一次函数。
自变量的取值范围是:
0°<x<180°。
14.答:
同时到达。
理由如下:
∵AB=BC=AC,CD=CE=DE
∴△ABC和△ECD都是正三角形
∴∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACE=60°
∴∠BCE=∠ACD=120°
∴△BCE≌△ACD(S.A.S.)
∴BE=AD。
∠CBE=∠CAD
在△BCF与△ACG中,∠CBF=∠CAG
BC=AC,∠BCA=∠ACE=60°
∴△BCF≌△ACG(A.S.A.)
∴CF=CG
又甲公共汽车的路程和为AD+DE+EC+CF
乙公共汽车的路程和为BE+ED+DC+CG,
∴两车同时到达指定站。
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